В математике алгебра Ивахори-Гекке , или алгебра Гекке , названная в честь Эриха Гекке и Нагайоши Ивахори , является деформацией групповой алгебры группы Кокстера .
Алгебры Гекке являются факторами групповых колец групп кос Артина . Эта связь нашла применение в захватывающей Vaughan Jones строительства »от новых инвариантов узлов . Представления алгебры Гекке привели к открытию квантовых групп по Мичио Джимбо . Майкл Фридман предложил алгебры Гекке в качестве основы для топологических квантовых вычислений .
Алгебры Гекке групп Кокстера
Начнем со следующих данных:
- ( W , S ) - система Кокстера с матрицей Кокстера M = ( m st ),
- R - коммутативное кольцо с единицей.
- { q s | s ∈ S } - это семейство единиц R, такое что q s = q t, если s и t сопряжены в W
- A - кольцо многочленов Лорана над Z с неопределенными q s (и указанное выше ограничение, что q s = q t, если s и t сопряжены), то есть A = Z [ q± 1
с]
Многопараметрические алгебры Гекке
Многопараметрическая алгебра Гекк Н R (W, S, д) является унитальной, ассоциативной R - алгебра с образующим Т з для всех ева ∈ S и отношений:
- Braid отношения: Т ы Т т Т ы ... = Т т т с т т ..., где каждая сторона имеет м ст <∞ факторы и S, T принадлежат S .
- Квадратичное соотношение: для всех s в S имеем: ( T s - q s ) ( T s + 1) = 0.
Предупреждение : в более поздних книгах и статьях Люстиг использовал модифицированную форму квадратичного отношения, которое читается какПосле расширения скаляров включением полуцелых степеней q± ½
сполученная алгебра Гекке изоморфна ранее определенной (но T s здесь соответствует q-½
с T s в наших обозначениях). Хотя это не меняет общей теории, многие формулы выглядят иначе.
Общие многопараметрические алгебры Гекке
H A (W, S, q) - общая многопараметрическая алгебра Гекке. Эта алгебра является универсальной в том смысле , что каждая другая многопараметрическая алгебра Гекка может быть получена из него с помощью (единственным) кольцевого гомоморфизма → R , который отображает неопределенное Q сек ∈ A к блоку Q сек ∈ R . Этот гомоморфизм превращает R в A -алгебру, а скалярное расширение H A (W, S) ⊗ A R канонически изоморфно алгебре Гекке H R (W, S, q), построенной выше. Этот процесс называется специализацией общей алгебры.
Однопараметрические алгебры Гекке
Если специализировать каждое неопределенное q s на единственное неопределенное q над целыми числами (или q½
сдо q ½ соответственно), то получается так называемая однопараметрическая алгебра Гекке общего положения для (W, S) .
Поскольку в группах Кокстера с одиночными зашнурованными диаграммами Дынкина (например, группы типа A и D) каждая пара генераторов Кокстера сопряжена, вышеупомянутое ограничение q s равным q t всякий раз, когда s и t сопряжены в W, заставляет многопараметрический и однопараметрические алгебры Гекке равны. Поэтому также очень часто рассматривают только однопараметрические алгебры Гекке.
Группы Кокстера с весами
Если на W определена целочисленная весовая функция (т.е. отображение L: W → Z с L (vw) = L (v) + L (w) для всех v, w ∈ W с l (vw) = l (v) + L (ж) ), то общая специализация смотреть на это один индуцированный гомоморфизм Q сек ↦ д L (S) , где Q представляет собой одиночный неопределенными над Z .
Если использовать соглашение с полуцелыми степенями, то весовая функция L: W → ½ Z также может быть разрешена. По техническим причинам также часто удобно рассматривать только положительные весовые функции.
Характеристики
1. Алгебра Гекке имеет базис над индексируются элементами группы Кокстера W . В частности, H - свободный A -модуль. Еслиявляется приведенное разложение по ж ∈ W , то. Этот базис алгебры Гекке иногда называют естественным базисом . Нейтральный элемент из W соответствует идентичности Н : Т е = 1.
2. Элементы природной основы являются мультипликативными , а именно, Т уша = Т у Т ш , когда л (уш) = л (у) + L (ш) , где L обозначает функцию длины на группу Кокстер W .
3. Элементы естественного базиса обратимы. Например, из квадратичного соотношения заключаем, что T−1
с= q−1
с T s + ( q−1
с-1).
4. Предположим, что W - конечная группа, а основное кольцо - это поле комплексных чисел C. Жак Титс доказал, что если неопределенное q специализировано для любого комплексного числа вне явно заданного списка (состоящего из корней из единицы), то полученная однопараметрическая алгебра Гекке полупроста и изоморфна комплексной групповой алгебре C [ W ] ( что также соответствует специализации q ↦ 1) [ необходима цитата ] .
5. В более общем смысле, если W - конечная группа, а основное кольцо R - поле характеристики нуль , то однопараметрическая алгебра Гекке является полупростой ассоциативной алгеброй над R [ q ± 1 ]. Более того, расширяя более ранние результаты Бенсона и Кертиса, Джордж Люстиг предоставил явный изоморфизм между алгеброй Гекке и групповой алгеброй после расширения скаляров на поле частных R [ q ± ½ ]
Каноническая основа
Великое открытие Каждана и Люстига заключалось в том, что алгебра Гекке допускает другой базис, который в некотором смысле контролирует теорию представлений множества связанных объектов.
Родовой многопараметрическая алгебра Гекка, Н (W, S, кв) , имеет инволюцию бар , который отображает д ½ к ц -½ и действует как тождество по Z . Тогда H допускает единственный кольцевой автоморфизм i, который является полулинейным относительно бар-инволюции A и отображает T s в T−1
с. Далее можно доказать, что этот автоморфизм инволютивен (имеет второй порядок) и переводит любое T w в
Теорема Каждана - Люстига: для каждого w ∈ W существует единственный элементкоторый инвариантен относительно инволюции i, и если записать его разложение в терминах естественного базиса:
у одного есть следующее:
- P w, w = 1,
- P y, w в Z [ q ] имеет степень меньше или равную ½ (l (w) -l (y) -1), если y
в порядке Брюа , - P y, w = 0, если
Элементы где ш изменяется в Вт образует базис алгебры Н , которая называется двойным каноническим базисом Гекк алгебра H . Канонический базис { C ш | w ∈ W } получается аналогично. Полиномы P y, w ( q ), фигурирующие в этой теореме, являются полиномами Каждана – Люстига .
В Кажданах-Люстиг понятие слева, справа и двусторонние клеток в группах Кокстера определяется через поведение канонического базиса под действием H .
Алгебра Гекке локально компактной группы
Алгебры Ивахори – Гекке впервые появились как важный частный случай очень общей конструкции в теории групп. Пусть (G, K) пара , состоящая из унимодулярного локально компактной топологической группы G и замкнутая подгруппа K в G . Тогда пространство K -biinvariant непрерывных функций с компактным носителем , С с (К \ G / K) , может быть наделено структурой ассоциативной алгебры при операции свертки . Эта алгебра обозначается H (G // K) и называется кольцом Гекке пары (G, K) .
Пример: если G = SL ( n , Q p ) и K = SL ( n , Z p ), то кольцо Гекке коммутативно и его представления изучены Яном Г. Макдональдом . Более общо , если (G, K) является пара Гельфанда то результирующее алгебра оказывается коммутативной.
Пример: если G = SL (2, Q ) и K = SL (2, Z ), мы получаем абстрактное кольцо за операторами Гекке в теории модулярных форм , которое дало название алгебрам Гекке в целом.
Случай, приводящий к алгебре Гекке конечной группы Вейля, - это когда G - конечная группа Шевалле над конечным полем с p k элементами, а B - ее борелевская подгруппа . Ивахори показал, что кольцо Гекке H (G // B) получается из общей алгебры Гекке H q группы Вейля W группы G путем специализации неопределенного q последней алгебры на p k , мощность конечного поля. Джордж Люстиг заметил в 1984 г. ( Характеры редуктивных групп над конечным полем , xi, сноска):
- Я думаю, что было бы наиболее подходящим называть это алгеброй Ивахори, но название кольца Гекке (или алгебра), данное самим Ивахори, используется уже почти 20 лет, и, вероятно, уже слишком поздно его менять.
Iwahori и Мацумото (1965) рассмотрен случай , когда G представляет собой группа точек восстановительной алгебраической группы над неархимедовым локального полем K , такими как Q р , и К является то , что теперь называется Iwahori подгруппа из G . В результате чего кольцо Гекка изоморфно алгеброй Гекке из аффинной Вейля группы из G , или аффинной алгебры Гекка , где неопределенный д специализируется на мощность от поля вычетов из K .
Работа Роджера Хоу в 1970-х годах и его работы с Алленом Мой по представлениям p -адической GL ( n ) открыли возможность классификации неприводимых допустимых представлений редуктивных групп над локальными полями в терминах правильно построенных алгебр Гекке. (Существенный вклад также были сделаны Джозеф Бернстайн и Андрей Зелевинским .) Эти идеи были приняты гораздо дальше в Colin Бушнелл и Филип Куцко «s теории типов , что позволяет им завершить классификацию в общем линейном случае. Многие из методов можно распространить на другие редуктивные группы, что остается областью активных исследований. Было высказано предположение, что все алгебры Гекке, которые когда-либо понадобятся, являются мягкими обобщениями аффинных алгебр Гекке.
Представления алгебр Гекке
Из работы Ивахори следует, что комплексные представления алгебр Гекке конечного типа тесно связаны со структурой представлений сферических главных серий конечных групп Шевалле.
Джордж Люстиг продвинул эту связь намного дальше и смог описать большинство характеров конечных групп лиева типа в терминах теории представлений алгебр Гекке. В этой работе использовалась смесь геометрических методов и различных редукций, что привело к введению различных объектов, обобщающих алгебры Гекке, и подробному пониманию их представлений (поскольку q не является корнем из единицы). Модульные представления алгебр Гекке и представления в корнях единицы оказались связанными с теорией канонических базисов в аффинных квантовых группах и комбинаторикой.
Теория представлений аффинных алгебр Гекке была разработана Люстигом с целью применения ее к описанию представлений p -адических групп. Он во многом отличается [ как? ] из конечного случая. Обобщение аффинных алгебр Гекке, называемое двойной аффинной алгеброй Гекке , было использовано Иваном Чередником в его доказательстве гипотезы о постоянном члене Макдональда .
Рекомендации
- Групповые символы Дэвида Гольдшмидта , симметричные функции и алгебра Гекке MR 1225799 , ISBN 0-8218-3220-4
- Ивахори, Нагайоши; Мацумото, Хидея О некоторых разложениях Брюа и строении колец Гекке p-адических групп Шевалле. Publications Mathématiques de l'IHÉS, 25 (1965), стр. 5–48. МИСТЕР0185016
- Александр Клещев, Линейные и проективные представления симметрических групп , Кембриджские трактаты по математике, вып. 163. Cambridge University Press, 2005. MR.2165457 , г. ISBN 0-521-83703-0
- Джордж Люстиг, Алгебры Гекке с неравными параметрами , Серия монографий CRM, том 18, Американское математическое общество, 2003. MR1658581 , г. ISBN 0-8218-3356-1
- Эндрю Матас, алгебры Ивахори-Гекке и алгебры Шура симметрической группы , Университетская серия лекций, том 15, Американское математическое общество, 1999. MR1711316 , г. ISBN 0-8218-1926-7
- Люстиг, Джордж, Об одной теореме Бенсона и Кертиса , J. Algebra 71 (1981), вып. 2, 490–498. МИСТЕР0630610 , DOI : 10,1016 / 0021-8693 (81) 90188-5
- Колин Бушнелл и Филип Куцко, Допустимые двойственные группы GL (n) через компактные открытые подгруппы , Annals of Mathematics Studies, vol. 129, Princeton University Press, 1993. MR.1204652 , г. ISBN 0-691-02114-7