В математике , в частности в теории модулярных форм , оператор Гекке , изученный Эрихом Гекке ( 1937a, 1937b ), представляет собой своего рода «усредняющий» оператор, играющий значительную роль в структуре векторных пространств модулярных форм и более общие автоморфные представления .
Морделл ( 1917 ) использовал операторы Гекке на модулярных формах в статье о специальной параболической форме Рамануджана , опередив общую теорию, данную Гекке ( 1937a, 1937b ). Морделл доказал, что тау-функция Рамануджана , выражающая коэффициенты формы Рамануджана,
Идея восходит к более ранней работе Адольфа Гурвица , который рассматривал алгебраические соответствия между модулярными кривыми , реализующими некоторые отдельные операторы Гекке.
Операторы Гекке могут быть реализованы в ряде контекстов. Простейший смысл — комбинаторный, а именно: взять для заданного целого числа n некоторую функцию f ( Λ ) , определенную на решетках фиксированного ранга, в
с суммой, взятой по всем Λ′ , которые являются подгруппами Λ индекса n . Например, при n=2 и двух измерениях таких Λ′ три . Модулярные формы - это особые виды функций решетки при соблюдении условий, делающих их аналитическими функциями и однородными по отношению к гомотетиям , а также умеренным ростом на бесконечности; эти условия сохраняются при суммировании, поэтому операторы Гекке сохраняют пространство модулярных форм данного веса.
Другой способ выразить операторы Гекке — использовать двойные смежные классы в модулярной группе . В современном адельном подходе это переводится в двойные смежные классы по некоторым компактным подгруппам.