В математике многочлены Макдональда P λ ( x ; t , q ) представляют собой семейство ортогональных симметричных многочленов от нескольких переменных, введенных Макдональдом в 1987 году. Позже он ввел несимметричное обобщение в 1995 году. Макдональд первоначально связывал свои многочлены с весами λ конечных корневых систем и использовал только одну переменную t , но позже понял, что более естественно связать их с аффинными корневыми системами, а не с конечными системами корней, и в этом случае переменная t может быть заменена несколькими различными переменными t = ( t1 , ..., t k ), по одной для каждой из k орбит корней аффинной корневой системы. Многочлены Макдональда - это многочлены от n переменных x = ( x 1 , ..., x n ), где n - ранг аффинной корневой системы. Они обобщают многие другие семейства ортогональных многочленов, таких как полиномы Джек и полиномами Холла-Литтлвуда и полиномов Аски-Вильсона , которые , в свою очередь , включают в себя большинство из названных 1-переменных ортогональных многочленов в качестве частных случаев. Многочлены Коорнвиндера - это многочлены Макдональда некоторых неприведенных систем корней. Они имеют глубокую связь с аффинными алгебрами Гекке и схемами Гильберта , которые использовались для доказательства нескольких гипотез, сделанных Макдональдом о них.
Определение
Сначала исправим некоторые обозначения:
- R является конечной корневой системой в реальном векторном пространстве V .
- R + - это выбор положительных корней , которым соответствует положительная камера Вейля .
- W представляет собой группу Вейль из R .
- Q - решетка корней R (решетка, натянутая на корни).
- Р представляет собой вес решетки из R (содержащий Q ).
- Заказ на весах : если и только если является неотрицательной линейной комбинацией простых корней .
- P + - это набор доминирующих весов: элементы P в положительной камере Вейля.
- ρ - вектор Вейля : половина суммы положительных корней; это особый элемент P + внутри положительной камеры Вейля.
- F - поле характеристики 0, обычно рациональных чисел.
- = Р ( Р ) является групповая алгебра из Р , с основой из элементов , написанных е А , для λ ∈ P .
- Если f = e λ , то f означает e −λ , и это распространяется по линейности на всю групповую алгебру.
- m μ = Σ λ ∈ W μ e λ - сумма орбит; эти элементы образуют базис подалгебры W элементов , установленных W .
- , бесконечный символ q-Поххаммера .
- является скалярным произведением двух элементов A , по крайней мере, когда t является положительной целой степенью q .
Эти многочлены Macdonald Р А , для λ ∈ P + однозначно определяются следующими двумя условиями:
- где u λμ - рациональная функция от q и t с u λλ = 1;
- P λ и P μ ортогональны, если λ <μ.
Другими словами, многочлены Macdonald получаются ортогонализации очевидное основание для A W . Существование полиномов с этими свойствами легко показать (для любого внутреннего произведения). Ключевым свойством многочленов Макдональда является их ортогональность : 〈P λ , P μ〉 = 0, если λ ≠ μ. Это нетривиальное следствие определения, потому что P + не полностью упорядочен и поэтому имеет множество несравнимых элементов. Таким образом, необходимо проверить, что соответствующие многочлены по-прежнему ортогональны. Ортогональность может быть доказана, если показать, что многочлены Макдональда являются собственными векторами для алгебры коммутирующих самосопряженных операторов с одномерными собственными подпространствами, и используя тот факт, что собственные подпространства для различных собственных значений должны быть ортогональными.
В случае систем корней с непростой связью (B, C, F, G) параметр t может быть выбран таким образом, чтобы он изменялся в зависимости от длины корня, давая трехпараметрическое семейство многочленов Макдональда. Можно также расширить определение до нередуцированной корневой системы BC, и в этом случае можно получить семейство с шестью параметрами (по одному t для каждой орбиты корней плюс q ), известное как полиномы Коорнвиндера . Иногда лучше рассматривать полиномы Макдональда как зависящие от, возможно, нередуцированной аффинной корневой системы. В этом случае есть один параметр t, связанный с каждой орбитой корней в аффинной корневой системе, плюс один параметр q . Количество орбит корней может варьироваться от 1 до 5.
Примеры
- Если д = т многочлены Macdonald становятся символами вейлевскими из представлений компактной группы корневой системы, или функций Шуры в случае корневых систем типа А .
- Если д = 0 Macdonald полиномы стали (пересчитано) зональными сферическими функциями для полупростой р -адической группы, или многочлены Холла-Литтлвуд , когда корневая система имеет тип A .
- Если т = 1 многочлены Макдональда становятся суммы по W орбит, которые являются мономиальными симметрическими функциями , когда корневая система имеет тип A .
- Если мы положим t = q α и пусть q стремится к 1, многочлены Макдональда станут многочленами Джека, когда корневая система имеет тип A , и многочленами Хекмана – Опдама для более общих корневых систем.
- Для аффинной корневой системы A 1 многочлены Макдональда являются многочленами Роджерса .
- Для неприведенной аффинной корневой системы ранга 1 типа ( C∨
1, C 1 ), многочлены Макдональда являются многочленами Аски – Вильсона , которые, в свою очередь, включают в качестве частных случаев большинство названных семейств ортогональных многочленов от 1 переменной. - Для неприведенной аффинной корневой системы типа ( C∨
п, C n ), многочлены Макдональда являются многочленами Коорнвиндера .
Гипотеза о постоянном члене Макдональда
Если t = q k для некоторого натурального числа k , то норма многочленов Макдональда задается формулой
Это было высказано Макдональдом (1982) как обобщение гипотезы Дайсона и доказано для всех (редуцированных) корневых систем Чередником (1995) с использованием свойств двойных аффинных алгебр Гекке . Гипотеза была ранее доказана в каждом конкретном случае для всех систем корней, кроме систем типа E n , несколькими авторами.
Существуют две другие гипотезы, которые вместе с гипотезой о норме в совокупности называются гипотезами Макдональда в этом контексте: в дополнение к формуле для нормы Макдональд предположил формулу для значения P λ в точке t ρ и симметрия
Опять же, это было доказано для общих редуцированных систем корней Чередником ( 1995 ) с использованием двойных аффинных алгебр Гекке , с последующим расширением на случай BC вскоре после этого с помощью работ ван Диджена, Нуми и Сахи.
Гипотеза Макдональда о положительности
В случае систем корней типа A n −1 многочлены Макдональда - это просто симметричные многочлены от n переменных с коэффициентами, которые являются рациональными функциями от q и t . Некоторая преобразованная версияполиномов Макдональда (см. Комбинаторную формулу ниже) образуют ортогональный базис пространства симметрических функций над, и поэтому может быть выражена через функции Шура . Коэффициенты K λμ ( q , t ) этих соотношений называются коэффициентами Костки – Макдональда или коэффициентами qt- Костки. Макдональд предположил, что коэффициенты Костки – Макдональда являются полиномами от q и t с неотрицательными целыми коэффициентами. Теперь эти предположения доказаны; самым сложным и последним шагом было доказательство положительности, что было сделано Марком Хайманом (2001), доказав n ! предположение .
Поиск комбинаторной формулы для коэффициентов qt -Костки по- прежнему является центральной открытой проблемой алгебраической комбинаторики .
п! догадка
П ! Гипотеза о Адриано Гарсия и Марк Хайман утверждает , что для каждого разбиения ц из п пространства
охватывает все высшие частные производные от
имеет размерность n !, где ( p j , q j ) пробегают n элементов диаграммы разбиения μ, рассматриваемого как подмножество пар неотрицательных целых чисел. Например, если μ - это разбиение 3 = 2 + 1 из n = 3, то пары ( p j , q j ) - это (0, 0), (0, 1), (1, 0), а пространство D μ натянута на
который имеет размерность 6 = 3 !.
Доказательство Хаймана гипотезы Макдональда о положительности и n ! Гипотеза участвует показывая , что изоспектральная схема Гильберта из п точек на плоскости была Коэн-Маколея (и даже горенштейны ). Более ранние результаты Haiman и Garsia уже показали, что это подразумевает n ! предположение, и что n ! Из гипотезы следует, что коэффициенты Костки – Макдональда являются градуированными кратностями характеров для модулей D μ . Отсюда сразу следует гипотеза Макдональда о положительности, потому что кратности символов должны быть неотрицательными целыми числами.
Ян Гройновски и Марк Хайман нашли другое доказательство гипотезы Макдональда о положительности, доказав гипотезу о положительности для полиномов LLT .
Комбинаторная формула для многочленов Макдональда
В 2005 г. Дж. Хаглунд, М. Хайман и Н. Лоер [1] дали первое доказательство комбинаторной интерпретации многочленов Макдональда. Хотя эта комбинаторная формула очень полезна для вычислений и интересна сама по себе, она не сразу подразумевает положительность коэффициентов Костки-Макдональда. поскольку он дает разложение многочленов Макдональда на мономиальные симметрические функции, а не на функции Шура.
Формула, в которой используются преобразованные многочлены Макдональда а не обычный , задается как
где σ - заполнение диаграммы Юнга формы μ, inv и maj - некоторые комбинаторные статистики (функции), определенные на заполнении σ. Эта формула выражает многочлены Макдональда от бесконечного числа переменных. Чтобы получить полиномы от n переменных, просто ограничьте формулу заполнениями, которые используют только целые числа 1, 2, ..., n . Термин x σ следует интерпретировать какгде σ i - количество ящиков в заполнении μ содержимым i .
Преобразованные многочлены Макдональда в приведенной выше формуле связаны с классическими многочленами Макдональда через последовательность преобразований. Во-первых, интегральная форма многочленов Макдональда, обозначенная, является повторным масштабированием который очищает знаменатели коэффициентов:
где набор квадратов диаграммы Юнга , а также а также обозначают руку и ногу квадрата, как показано на рисунке. Примечание. На рисунке справа используется французская нотация для таблицы, которая перевернута по вертикали по сравнению с английской нотацией, используемой на странице Википедии для диаграмм Юнга. Французские обозначения чаще используются при изучении многочленов Макдональда.
Преобразованные многочлены Макдональда затем можно определить в терминах с. У нас есть
где
Приведенные выше скобки обозначают плетистическое замещение .
Эта формула может быть использована для доказательства формулы Кнопа и Сахи для многочленов Джека .
Несимметричные многочлены Макдональда
В 1995 году Макдональд представил несимметричный аналог симметричных многочленов Макдональда, и симметричные многочлены Макдональда могут быть легко восстановлены из несимметричного аналога. В своем первоначальном определении он показывает, что несимметричные многочлены Макдональда - это уникальное семейство многочленов, ортогональных определенному внутреннему произведению, а также удовлетворяющее свойству треугольности при расширении в мономиальном базисе.
В 2007 году Хаглунд, Хайман и Лоер дали комбинаторную формулу для несимметричных многочленов Макдональда.
Несимметричные многочлены Макдональда специализируются на персонажах Демазюра, взяв q = t = 0, и на ключевые многочлены, когда q = t = ∞.
Комбинаторные формулы, основанные на процессе исключения
В 2018 году С. Кортил , О. Мандельштам и Л. Уильямс использовали процесс исключения, чтобы дать прямую комбинаторную характеристику как симметричных, так и несимметричных многочленов Макдональда. [2] Их результаты отличаются от более ранних работ Хаглунда отчасти потому, что они дают формулу непосредственно для многочленов Макдональда, а не ее преобразование. Они развивают концепцию многострочной очереди, которая представляет собой матрицу, содержащую шары или пустые ячейки вместе с отображением между шарами и их соседями и комбинаторным механизмом разметки. Несимметричный многочлен Макдональда тогда удовлетворяет:
где сумма по всем многострочные очереди типа а также - весовая функция, отображающая эти очереди на определенные многочлены. Симметричный многочлен Макдональда удовлетворяет:
где внешняя сумма берется по всем различным композициям которые являются перестановками , а внутренняя сумма такая же.
Рекомендации
- ^ Haglund, J .; Хайман, М .; Лоер, Н. (2005), "Комбинаторный формула для многочленов Макдональда", журнал Американского математического общества , 18 (3): 735-761, DOI : 10,1090 / S0894-0347-05-00485-6 , ISSN 0894- 0347 , Руководство MR 2138143
- ^ Кортиль, Сильви; Мандельштам, Оля; Уильямс, Лорен (2018), «От многострочных очередей к многочленам Макдональда через процесс исключения», arXiv : 1811.01024 [ math.CO ]
Библиография
- Чередник, Иван (1995), "Double аффинной Hecke Алгебра и Гипотезы Макдональда", Анналы математики , вторая серия, Annals математики, 141 (1): 191-216, DOI : 10,2307 / 2118632 , ISSN 0003-486X , JSTOR 2118632
- Гарсия, Адриано; Remmel, Джеффри Б. (15 марта 2005), " Прорывы в теории многочленов Макдональда ", PNAS , 102 (11): 3891-3894, Bibcode : 2005PNAS..102.3891G , DOI : 10.1073 / pnas.0409705102 , PMC 554818 , PMID 15753285
- Марк Хайман Комбинаторика, симметрические функции и схемы Гильберта Современные достижения в математике 2002, вып. 1 (2002), 39–111.
- Хайман, Марк Заметки о многочленах Макдональда и геометрии схем Гильберта. Симметричные функции 2001: обзоры событий и перспектив, 1–64, NATO Sci. Сер. II Математика. Phys. Chem., 74, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2002. MR.2059359
- Хайман, Марк (2001), " Схемы Гильберта, полиграфы и гипотеза положительности Макдональда ", J. Amer. Математика. Soc. , 14 (4): 941–1006, arXiv : math.AG/0010246 , doi : 10.1090 / S0894-0347-01-00373-3 , S2CID 9253880
- Кириллов, А.А. (1997), "Лекции по аффинным алгебрам Гекке и гипотезы Макдональда" , Бюлл. Амер. Математика. Soc. , 34 (3): 251-292, DOI : 10,1090 / S0273-0979-97-00727-1
- Макдональд, И. Г. (1982), "Некоторые гипотезы для корневых систем", SIAM Журнал по математическому анализу , 13 (6): 988-1007, DOI : 10,1137 / 0513070 , ISSN 0036-1410 , МР 0674768
- Макдональд, И. Г. Симметричные функции и многочлены Холла. Второе издание. Оксфордские математические монографии. Оксфордские научные публикации. The Clarendon Press, Oxford University Press, Нью-Йорк, 1995. x + 475 стр. ISBN 0-19-853489-2 MR1354144
- Макдональд, И. Г. Симметричные функции и ортогональные многочлены. Лекции декана Жаклин Б. Льюис в память о Рутгерском университете, Нью-Брансуик, штат Нью-Джерси. Серия университетских лекций, 12. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1998. xvi + 53 стр. ISBN 0-8218-0770-6 MR1488699
- Макдональд, И. Г. Аффинные алгебры Гекке и ортогональные многочлены. Séminaire Bourbaki 797 (1995).
- Макдональд, И.Г. (2000–2001), «Ортогональные многочлены, связанные с корневыми системами», Séminaire Lotharingien de Combinatoire , 45 : Art. B45a, arXiv : math.QA/0011046 , MR 1817334
- Макдональд, И. Г. (2003), аффинные алгебры Гекка и ортогональные полиномы , Кембридж урочище по математике, 157 , Кембридж. Cambridge University Press, стр х + 175, DOI : 10,2277 / 0521824729 , ISBN 978-0-521-82472-9, MR 1976581
Внешние ссылки
- Страница Майка Заброцкого о многочленах Макдональда .
- Некоторые статьи Хаймана о многочленах Макдональда.