Гипотеза Буняковского (или гипотеза Буняковского ) дает критерий полинома в одной переменной с целыми коэффициентами, чтобы дать бесконечное количество простых значений в последовательностиЭто высказал в 1857 году русский математик Виктор Буняковский . Следующие три условия необходимы для иметь желаемую производственную недвижимость:
- Старший коэффициент является положительным ,
- Многочлен неприводим по целым числам.
- Ценности не имеют общего фактора . (В частности, коэффициенты при должно быть относительно простым.)
Поле | Аналитическая теория чисел |
---|---|
Предполагается | Виктор Буняковский |
Предполагается в | 1857 г. |
Известные случаи | Многочлены степени 1 |
Обобщения | Гипотеза Бейтмана – Хорна Обобщенная гипотеза Диксона Гипотеза Шинцеля H |
Последствия | Гипотеза о простых числах близнецов |
Гипотеза Буняковского состоит в том, что этих условий достаточно: если удовлетворяет (1) - (3), то проста для бесконечного числа натуральных чисел .
Утверждение, эквивалентное гипотезе Буняковского, состоит в том, что для любого целочисленного многочлена что удовлетворяет (1) - (3), простое хотя бы для одного положительного целого числа . В этом можно убедиться, рассмотрев последовательность многочленови т. д. Гипотеза Буняковского является частным случаем гипотезы Шинцеля H , одной из самых известных открытых проблем теории чисел.
Обсуждение трех условий
Нам нужно первое условие, потому что если старший коэффициент отрицательный, то для всех больших , и поэтому не является (положительным) простым числом для больших натуральных чисел . (Это просто удовлетворяет условному знаку, согласно которому простые числа положительны.)
Нам нужно второе условие, потому что если где многочлены а также имеют целые коэффициенты, то мы имеем для всех целых чисел ; но а также принимают значения 0 и только конечное число раз, поэтому составной для всех больших .
Третье условие, что числа иметь gcd 1, очевидно, необходимо, но это несколько тонко, и лучше всего его можно понять с помощью контрпримера. Рассмотреть возможность, который имеет положительный старший коэффициент и является неприводимым, а коэффициенты взаимно просты; тем не мениеэто даже для всех целых чисел, и поэтому является простым только конечное число раз (а именно, когда , фактически только в ).
На практике самый простой способ проверить третье условие - найти одну пару натуральных чисел а также такой, что а также являются взаимно простыми . В общем случае для любого целочисленного многочлена мы можем использовать для любого целого , поэтому НОД задается значениями на любом последующем целые числа. [1] В приведенном выше примере мы имеем и поэтому gcd , откуда следует, что имеет четные значения целых чисел.
В качестве альтернативы, можно записать в базисе полиномов биномиальных коэффициентов:
где каждый целое число, а
В приведенном выше примере у нас есть:
а коэффициенты во второй формуле имеют НОД 2.
Используя эту формулу НОД, можно доказать тогда и только тогда, когда есть положительные целые числа а также такой, что а также относительно просты.
Примеры
Примером гипотезы Буняковского является многочлен f ( x ) = x 2 + 1, некоторые простые значения которого перечислены ниже. (Значения x образуют последовательность OEIS A005574 ; значения x 2 + 1 образуют A002496 )
Икс | 1 | 2 | 4 | 6 | 10 | 14 | 16 | 20 | 24 | 26 год | 36 | 40 | 54 | 56 | 66 | 74 | 84 | 90 | 94 | 110 | 116 | 120 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
х 2 + 1 | 2 | 5 | 17 | 37 | 101 | 197 | 257 | 401 | 577 | 677 | 1297 | 1601 | 2917 | 3137 | 4357 | 5477 | 7057 | 8101 | 8837 | 12101 | 13457 | 14401 |
Что должно быть бесконечно простым числом - проблема, впервые поднятая Эйлером, а также пятая гипотеза Харди – Литтлвуда и четвертая из проблем Ландау . Несмотря на обширные числовые данные, неизвестно, может ли эта последовательность продолжаться бесконечно.
Циклотомические многочлены
В циклотомические многочлены для удовлетворяют трем условиям гипотезы Буняковского, поэтому для всех k должно быть бесконечно много натуральных чисел n таких, чтопростое. Можно показать [ необходима цитата ], что если для всех k существует целое число n > 1 спростое, то для всех k существует бесконечно много натуральных чисел n, для которых основной.
Следующая последовательность дает наименьшее натуральное число n > 1 такое, что простое, для :
- 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 4, 3, 2, 10, 2, 22, 2, 2, 4, 6, 2, 2, 2, 2, 2, 14, 3, 61, 2, 10, 2, 14, 2, 15, 25, 11, 2, 5, 5, 2, 6, 30, 11, 24, 7, 7, 2, 5, 7, 19, 3, 2, 2, 3, 30, 2, 9, 46, 85, 2, 3, 3, 3, 11, 16, 59, 7, 2, 2, 22, 2, 21, 61, 41, 7, 2, 2, 8, 5, 2, 2, ... (последовательность A085398 в OEIS ).
Эта последовательность, как известно, содержит несколько больших членов: 545-й член - 2706, 601-й - 2061, а 943-й - 2042. Этот случай гипотезы Буняковского широко распространен, но опять же неизвестно, что последовательность продолжается бесконечно.
Обычно существует целое число 2≤n≤ φ (k) такое, чтопервично (обратите внимание , что степень по есть φ (k)), но бывают исключения, номера исключений k равны
- 1, 2, 25, 37, 44, 68, 75, 82, 99, 115, 119, 125, 128, 159, 162, 179, 183, 188, 203, 213, 216, 229, 233, 243, 277, 289, 292, ...
Частичные результаты: только теорема Дирихле
На сегодняшний день единственный доказанный случай гипотезы Буняковского - это случай многочленов степени 1. Это теорема Дирихле , которая утверждает, что когда а также являются относительно простыми целыми числами, существует бесконечно много простых чисел . Это гипотеза Буняковского о (или же если ). Третье условие гипотезы Буняковского для линейного многочлена эквивалентно а также быть относительно простым.
Ни один случай гипотезы Буняковского для степени больше 1 не доказан, хотя численное свидетельство более высокой степени согласуется с гипотезой.
Обобщенная гипотеза Буняковского
Дано многочлены с положительными степенями и целыми коэффициентами, каждый из которых удовлетворяет трем условиям, предполагают, что для любого простого существует такое, что ни одно из значений полиномы при делятся на . Учитывая эти предположения, предполагается, что существует бесконечно много натуральных чисел такие, что все значения этих полиномы при простые.
Обратите внимание, что многочлены не удовлетворяют предположению, так как одно из их значений должно делиться на 3 для любого целого числа . Тоже не делаю, так как одно из значений должно делиться на 3 для любого . С другой стороны, действительно удовлетворяют предположению, и из гипотезы следует, что многочлены имеют одновременные простые значения для бесконечного числа натуральных чисел .
Эта гипотеза включает в качестве частных случаев гипотезу о простых близнецах (когда, а два полинома равны а также ), а также бесконечность простых четверок (когда, а четыре полинома равны , а также ), сексуальные простые числа (когда, а два полинома равны а также ), Простые числа Софи Жермен (когда, а два полинома равны а также ) и гипотезы Полиньяка (когда, а два полинома равны а также , с участием любое четное число). Когда все многочлены имеют степень 1, это гипотеза Диксона .
Фактически, эта гипотеза эквивалентна обобщенной гипотезе Диксона .
За исключением теоремы Дирихле , ни один случай гипотезы не был доказан, включая указанные выше случаи.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Хензель, Курт (1896). "Ueber den grössten gemeinsamen Theileraller Zahlen, welche durch eine ganze Function von n Veränderlichen darstellbar sind" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1896 (116): 350–356. DOI : 10,1515 / crll.1896.116.350 .
Библиография
- Эд Пегг младший "Гипотеза Буняковского" . MathWorld .
- Руперт, Вольфганг М. (1998-08-05). «Сводимость многочленов f ( x , y ) по модулю p ». arXiv : math / 9808021 .
- Буняковский, В. (1857). "Sur les diviseurs numériques invariables des fonctions rationnelles entières". Mém. Акад. Sc. Санкт-Петербург . 6 : 305–329.