Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Исчисление на многообразиях
Исчисление на многообразиях (книга) .jpg
Первое издание
АвторМихаил Спивак
СтранаСоединенные Штаты
Языканглийский
ПредметМатематика
ИздательБенджамин Каммингс
Дата публикации1965 г.
Страницы146
ISBN0-8053-9021-9
OCLC607457141

Исчисление на многообразиях: современный подход к классическим теоремам продвинутого исчисления (1965) Майкла Спивака - это краткий, строгий и современный учебник многомерного исчисления, дифференциальных форм и интегрирования на многообразиях для продвинутых студентов .

Описание [ править ]

Исчисление на многообразиях - это краткая монография по теории вектор-функций многих действительных переменных ( f  : R n → R m ) и дифференцируемых многообразиях в евклидовом пространстве. Помимо распространения понятий дифференцирования (включая теоремы об обратной и неявной функциях ) и интегрирования Римана (включая теорему Фубини ) на функции нескольких переменных, в книге рассматриваются классические теоремы векторного исчисления, включая теоремы Коши – Грина ,Остроградский-Гаусс (теорема дивергенции) и Кельвин-Стокс , на языке дифференциальных форм на дифференцируемых многообразиях , внедренных в евклидове пространства , а также в качестве следствий из теоремы обобщенного Стокса на многообразиях с краем . Книга завершается формулировкой и доказательством этого обширного и абстрактного современного обобщения нескольких классических результатов: [a]

Теорема Стокса для многообразий с границей.  -  Если - компактное ориентированное -мерное многообразие с краем, является ли границей заданной индуцированной ориентацией и является ( ) -формой на , то .

На обложке « Исчисления на многообразиях» представлены отрывки из письма лорда Кельвина сэру Джорджу Стокса от 2 июля 1850 г., содержащего первое раскрытие классической теоремы Стокса (то есть теоремы Кельвина – Стокса ). [1]

Прием [ править ]

Исчисление на многообразиях направлено на то, чтобы представить темы многомерного и векторного исчисления в том виде, в каком они видны современному работающему математику, но при этом достаточно просто и выборочно, чтобы их могли понять студенты бакалавриата, чья предыдущая курсовая работа по математике включает только исчисление с одной переменной и вводная линейная алгебра. Хотя элементарная трактовка современных математических инструментов, предложенная Спиваком, является в целом успешной - и этот подход сделал « Исчисление на многообразиях» стандартным введением в строгую теорию многомерного исчисления, этот текст также хорошо известен своим лаконичным стилем, отсутствием мотивирующих примеров и частым упущением. неочевидных шагов и аргументов. [2] [3]Например, чтобы сформулировать и доказать обобщенную теорему Стокса о цепях, быстро последовательно вводится множество незнакомых понятий и конструкций (например, тензорные произведения , дифференциальные формы , касательные пространства , обратные вызовы , внешние производные , куб и цепи ). в объеме 25 страниц. Более того, внимательные читатели отметили ряд нетривиальных упущений по всему тексту, включая отсутствующие гипотезы в теоремах, неточно сформулированные теоремы и доказательства, которые не справляются со всеми случаями. [4] [5] [6]

Другие учебники [ править ]

Более поздний учебник, который также охватывает эти темы на уровне бакалавриата, - это текст « Анализ многообразий » Джеймса Манкреса (366 стр.). [7] Работа Мункреса, более чем вдвое превышающая объем « Исчисления на многообразиях» , представляет собой более тщательное и детальное рассмотрение предмета в неторопливом темпе. Тем не менее, Мункрес признает влияние более раннего текста Спивака в предисловии к « Анализу многообразий» . [8]

В пятитомном учебнике Спивака « Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию» в предисловии говорится, что « Исчисление на многообразиях» является предпосылкой для курса, основанного на этом тексте. Фактически, некоторые концепции, представленные в « Исчислении на многообразиях», вновь появляются в первом томе этой классической работы в более сложных условиях. [9]

См. Также [ править ]

  • Дифференцируемые многообразия
  • Многолинейная форма

Сноски [ править ]

Заметки [ править ]

  1. ^ Формализмы дифференциальных форм и внешнего исчисления, используемые в исчислении на многообразиях, были впервые сформулированы Эли Картаном . Используя этот язык, Картан сформулировал обобщенную теорему Стокса в ее современной форме, опубликовав простую и элегантную формулу, показанную здесь в 1945 году. Для подробного обсуждения исторического развития теоремы Стокса. См. Кац (1979 , стр. 146–156).

Цитаты [ править ]

  1. ↑ Спивак (2018 , с. Viii)
  2. ^ Gouvêa, Фернандо Q. (2007-06-15). "Исчисление на многообразиях: современный подход к классическим теоремам продвинутого исчисления | Математическая ассоциация Америки" . www.maa.org . Проверено 9 апреля 2017 .
  3. ^ Мункрес (1968)
  4. ^ Лебль, Иржи. «Спивак - Исчисление на многообразиях - Комментарии и исправления» .
  5. ^ Аксолотль, Петра. "Исчисление на многообразиях с ошибками" . Архивировано из оригинала на 2017-01-10.
  6. ^ Колетенберт (2012-10-02). «Ошибка в формулировке теоремы 2-13 в исчислении на многообразиях» .
  7. ^ Манкрес (1991)
  8. ^ Манкрес (1991 , стр. VII)
  9. ↑ Спивак (1999)

Ссылки [ править ]

  • Ослендер, Луи (1967), «Обзор исчисления на многообразиях - современный подход к классическим теоремам продвинутого исчисления», Quarterly of Applied Mathematics , 24 (4): 388–389
  • Боттс, Трумэн (1966), "Обзорная работа: исчисление на многообразиях Майкла Спивака", Science , 153 (3732): 164–165, DOI : 10.1126 / science.153.3732.164-a
  • Хаббард, Джон Х .; Хаббард, Барбара Берк (2009) [1998], Векторное исчисление, линейная алгебра и дифференциальные формы: унифицированный подход (4-е изд.), Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси: Прентис Холл (4-е издание, Matrix Editions (Итака, Нью-Йорк)) , ISBN 978-0-9715766-5-0[ Элементарный подход к дифференциальным формам с упором на конкретные примеры и вычисления ]
  • Кац, Виктор Дж (1979), "История теоремы Стокса", Математика Журнал , Математическая ассоциация Америки , 52 (3): 146-156, DOI : 10,2307 / 2690275
  • Лумис, Линн Гарольд ; Штернберг, Шломо (2014) [1968], Advanced Calculus (Revised ed.), Reading, Mass .: Addison-Wesley (исправленное издание Джонс и Бартлетт (Бостон); перепечатано World Scientific (Хакенсак, Нью-Джерси)), стр. 305–567, ISBN 978-981-4583-93-0[ Общая трактовка дифференциальных форм, дифференцируемых многообразий и избранных приложений к математической физике для продвинутых студентов ]
  • Манкрес, Джеймс (1968), "Обзор Исчисление на многообразиях", Американский Математический Месячный , 75 (5): 567-568, DOI : 10,2307 / 2314769 , JSTOR  2314769
  • Манкрес, Джеймс (1991), Анализ многообразий , Редвуд-Сити, Калифорния: Addison-Wesley (перепечатано Westview Press (Боулдер, Колорадо)), ISBN 978-0-201-31596-7[ Курс бакалавриата по многомерному и векторному исчислению с охватом, аналогичным исчислению на многообразиях , с математическими идеями и доказательствами, представленными более подробно ]
  • Никерсон, Хелен К .; Спенсер, Дональд С .; Стинрод, Норман Э. (1959), Advanced Calculus , Princeton, NJ: Van Nostrand, ISBN 978-0-486-48090-9[ Единое описание линейной и полилинейной алгебры, многомерного исчисления, дифференциальных форм и вводной алгебраической топологии для продвинутых студентов ]
  • Рудин, Уолтер (1976) [1953], Принципы математического анализа (3-е изд.), Нью-Йорк: МакГроу Хилл, стр. 204–299, ISBN 978-0-07-054235-8[ Неортодоксальный, но строгий подход к дифференциальным формам, избегающий многих обычных алгебраических конструкций ]
  • Спивак, Майкл (2018) [1965], Исчисление на многообразиях: современный подход к классическим теоремам продвинутого исчисления (серия монографий по математике) , Нью-Йорк: WA Benjamin, Inc. (перепечатано Эддисоном-Уэсли (Ридинг, Массачусетс) и Westview Press (Боулдер, Колорадо)), ISBN 978-0-8053-9021-6[ Краткое, строгое и современное рассмотрение многомерного исчисления, дифференциальных форм и интегрирования на многообразиях для продвинутых студентов ]
  • Спивак, Майкл (1999) [1970], Комплексное введение в дифференциальную геометрию, Vol. 1 (3-е изд.), Хьюстон, Техас: Publish or Perish, Inc., ISBN 978-0-9140-9870-6[ Подробное описание дифференцируемых многообразий на уровне выпускников; содержит более сложное переосмысление и расширение глав 4 и 5 Исчисления на многообразиях]
  • Ту, Лоринг В. (2011) [2008], Введение в многообразия (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-1-4419-7399-3[ Стандартное рассмотрение теории гладких многообразий на уровне выпускников 1-го курса ]