Кардинальная функция

В математике кардинальная функция (или кардинальный инвариант ) - это функция, которая возвращает количественные числа .

Кардинальные функции в теории множеств [ править ]

• Наиболее часто используемая кардинальная функция - это функция, которая присваивает множеству «A» его мощность , обозначаемую | А  |,
• Алеф номер и Beth номер как можно рассматривать как кардинальные функции , определенные на порядковых номерах .
• Кардинальные арифметические операции - это примеры функций от кардинальных чисел (или их пар) до кардинальных чисел.
• Кардинальные характеристики (собственного) идеала I подмножеств X следующие:

${\ displaystyle {\ rm {add}} (I) = \ min \ {| {\ mathcal {A}} |: {\ mathcal {A}} \ substeq I \ wedge \ bigcup {\ mathcal {A}} \ notin I {\ big \}}.}$

«Аддитивности» из I наименьшее число множеств из I , объединение не в I больше. Поскольку любой идеал замкнут относительно конечных объединений, это число всегда не меньше ; если I - σ-идеал, то${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle \ operatorname {add} (I) \ geq \ aleph _ {1}.}$

${\ displaystyle \ operatorname {cov} (I) = \ min \ {| {\ mathcal {A}} |: {\ mathcal {A}} \ substeq I \ wedge \ bigcup {\ mathcal {A}} = X { \большой \}}.}$

«Охватывает число» I наименьшее число множеств из I , объединение которых все X . Поскольку сам X не находится в I , мы должны иметь add ( I ) ≤ cov ( I ).

${\ Displaystyle \ OperatorName {non} (I) = \ min \ {| A |: A \ substeq X \ \ клин \ A \ notin I {\ big \}},}$

«Номер однородности» из I (иногда также написаны ) является размер наименьшего множества не I . Предполагая, что I содержит все синглтоны, add ( I ) ≤ non ( I ).${\displaystyle {\rm {unif}}(I)}$

${\displaystyle {\rm {cof}}(I)=\min\{|{\mathcal {B}}|:{\mathcal {B}}\subseteq I\wedge (\forall A\in I)(\exists B\in {\mathcal {B}})(A\subseteq B){\big \}}.}$

«Конфинальность» из I является конфинальностями от частичного порядка ( I , ⊆). Легко видеть, что мы должны иметь non ( I ) ≤ cof ( I ) и cov ( I ) ≤ cof ( I ).

В случае, если это идеал, тесно связанный со структурой вещественных чисел, такой как идеал нулевых множеств Лебега или идеал скудных множеств , эти кардинальные инварианты называются кардинальными характеристиками континуума .${\displaystyle I}$

• Для предупорядоченного множества ограничивающего числа и доминирующие число определяются как${\displaystyle ({\mathbb {P} },\sqsubseteq )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}({\mathbb {P} })}$ ${\displaystyle {\mathfrak {d}}({\mathbb {P} })}$

${\displaystyle {\mathfrak {b}}({\mathbb {P} })=\min {\big \{}|Y|:Y\subseteq {\mathbb {P} }\ \wedge \ (\forall x\in {\mathbb {P} })(\exists y\in Y)(y\not \sqsubseteq x){\big \}},}$

${\displaystyle {\mathfrak {d}}({\mathbb {P} })=\min {\big \{}|Y|:Y\subseteq {\mathbb {P} }\ \wedge \ (\forall x\in {\mathbb {P} })(\exists y\in Y)(x\sqsubseteq y){\big \}}.}$

• В теории ПКФ используется кардинальная функция . ^[1]${\displaystyle pp_{\kappa }(\lambda )}$

Кардинальные функции в топологии [ править ]

Кардинальные функции широко используются в топологии как инструмент для описания различных топологических свойств . ^{[2] [3]} Ниже приведены некоторые примеры. (Примечание: некоторые авторы, утверждая, что «в общей топологии нет конечных кардинальных чисел», ^[4] предпочитают определять кардинальные функции, перечисленные ниже, так, чтобы они никогда не принимали конечные кардинальные числа в качестве значений; это требует изменения некоторых определений приведенных ниже, например, путем добавления " " в правую часть определений и т. д.)${\displaystyle \;\;+\;\aleph _{0}}$

• Возможно, простейшими кардинальными инвариантами топологического пространства X являются его мощность и мощность топологии, обозначаемые соответственно через | X  | и o ( X ).
• Вес ш ( X  ) топологического пространства X есть мощность наименьшего основания для X . Когда w ( X  ) = пространство X называется вторым счетным .${\displaystyle \aleph _{0}}$
  • -Вес из пространства X называется мощность наименьшего -BASE для X .${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$
  • Сеть веса из X является наименьшим мощность сети для X . Сеть представляет собой семейство множеств, для которых, для всех точек х и открытых окрестностей U , содержащих х , существует B в течение которого х ∈ B ⊆ U .${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$
• Характер топологического пространства X в точке х есть мощность самого маленького локального основания для х . Характер пространства X является${\displaystyle \chi (X)=\sup \;\{\chi (x,X):x\in X\}.}$ Когда пространство X называется первым счетным .${\displaystyle \chi (X)=\aleph _{0}}$
• Плотности д ( Х  ) пространства X есть мощность самого маленького плотного подмножества из X . Когда пространство X называется сепарабельным .${\displaystyle {\rm {{d}(X)=\aleph _{0}}}}$
• Число Линделёфа L ( X  ) пространства X - это наименьшая бесконечная мощность, такая что каждое открытое покрытие имеет подпокрытие мощности не более L ( X  ). Когда пространство X называется пространством Линделёфа .${\displaystyle {\rm {{L}(X)=\aleph _{0}}}}$
• Клеточности или число Суслина из пространства X является

${\displaystyle \operatorname {c} (X)=\sup\{|{\mathcal {U}}|:{\mathcal {U}}}$

это семейство попарно непересекающихся непустых открытых подмножеств .${\displaystyle X\}}$

• • Наследственная клеточности (иногда спрэд ) есть верхняя грань cellularities его подмножеств:${\displaystyle s(X)={\rm {hc}}(X)=\sup\{{\rm {c}}(Y):Y\subseteq X\}}$ или же ${\displaystyle s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X}$с топологией подпространства дискретна .${\displaystyle \}}$
• Степени из пространства X является

${\displaystyle e(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X{\text{ is closed and discrete}}\}}$.

Итак, X имеет счетную протяженность именно тогда, когда у него нет несчетного замкнутого дискретного подмножества.

• Герметичность т ( х , X ) топологического пространства X в точке является наименьшим кардинальным числом таким образом, что всякий раз, когда в течение некоторого подмножества Y из X , существует подмножество Z из Y , с | Z  | ≤ , такое что . Символично,${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}(Z)}$${\displaystyle t(x,X)=\sup {\big \{}\min\{|Z|:Z\subseteq Y\ \wedge \ x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)\}:Y\subseteq X\ \wedge \ x\in {\rm {cl}}_{X}(Y){\big \}}.}$ Плотность пространства X равна . Когда t (X) =, говорят, что пространство X счетно порождено или счетно плотно .${\displaystyle t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$
  • Дополненная герметичность космического X , является наималейшим регулярным кардинальным таким образом, что для любого , существует подмножество Z из Y с мощностью меньше , чем , например , что .${\displaystyle t^{+}(X)}$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle Y\subseteq X}$${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)}$

Основные неравенства [ править ]

c ( X ) ≤ d ( X ) ≤ w ( X ) ≤ o ( X ) ≤ 2 ^{| X |}

${\displaystyle e(X)\leq s(X)}$

${\displaystyle \chi }$( X ) ≤ w ( X )

nw ( X ) ≤ w ( X ) и o ( X ) ≤ 2 ^{nw ( X )}

Кардинальные функции в булевых алгебрах [ править ]

Кардинальные функции часто используются при изучении булевых алгебр . ^{[5] [6]} Можно упомянуть, например, следующие функции:

• Клеточность булевой алгебры - это верхняя грань мощностей антицепей в .${\displaystyle c({\mathbb {B} })}$${\displaystyle {\mathbb {B} }}$${\displaystyle {\mathbb {B} }}$
• Длина булева алгебры равна${\displaystyle {\rm {length}}({\mathbb {B} })}$${\displaystyle {\mathbb {B} }}$

${\displaystyle {\rm {length}}({\mathbb {B} })=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq {\mathbb {B} }}$это цепь ${\displaystyle {\big \}}}$

• Глубина булевой алгебры равна${\displaystyle {\rm {depth}}({\mathbb {B} })}$${\displaystyle {\mathbb {B} }}$

${\displaystyle {\rm {depth}}({\mathbb {B} })=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq {\mathbb {B} }}$- упорядоченное подмножество .${\displaystyle {\big \}}}$

• Несопоставимость алгебры булевой является${\displaystyle {\rm {Inc}}({\mathbb {B} })}$${\displaystyle {\mathbb {B} }}$

${\displaystyle {\rm {Inc}}({\mathbb {B} })=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq {\mathbb {B} }}$такой что .${\displaystyle {\big (}\forall a,b\in A{\big )}{\big (}a\neq b\ \Rightarrow \neg (a\leq b\ \vee \ b\leq a){\big )}{\big \}}}$

• Псевдовес булевой алгебры равен${\displaystyle \pi ({\mathbb {B} })}$${\displaystyle {\mathbb {B} }}$

${\displaystyle \pi ({\mathbb {B} })=\min {\big \{}|A|:A\subseteq {\mathbb {B} }\setminus \{0\}}$ такой, что ${\displaystyle {\big (}\forall b\in B\setminus \{0\}{\big )}{\big (}\exists a\in A{\big )}{\big (}a\leq b{\big )}{\big \}}.}$

Кардинальные функции в алгебре [ править ]

Примеры кардинальных функций в алгебре:

• Индекс подгруппы H группы G - это количество смежных классов.
• Размерность векторного пространства V над полем K является мощностью любого Гамель основы из V .
• В более общем смысле, для свободного модуля M над кольцом R мы определяем ранг как мощность любого базиса этого модуля.${\displaystyle {\rm {rank}}(M)}$
• Для линейного подпространства W векторного пространства V определим коразмерность из W (относительно V ).
• Для любой алгебраической структуры можно рассматривать минимальную мощность образующих этой структуры.
• Для алгебраических расширений часто используются алгебраическая степень и отделимая степень (обратите внимание, что алгебраическая степень равна размерности расширения как векторного пространства над меньшим полем).
• Для неалгебраических расширений поля также используется степень трансцендентности .

Внешние ссылки [ править ]

• Словарь определений из общей топологии [1] [2]

См. Также [ править ]

• Диаграмма Цихона

Ссылки [ править ]

• Jech, Томас (2003). Теория множеств . Монографии Спрингера по математике (изд. Третьего тысячелетия). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44085-7. Zbl  1007.03002 .