В математике , постоянная каталана G , определяется
где β - бета-функция Дирихле . Его числовое значение [1] приблизительно (последовательность A006752 в OEIS )
- G =0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …
Каталонский постоянный иррациональный? Если да, то трансцендентно ли это?
Не известно ли G является иррациональным , не говоря уже о трансцендентном . [2] G был назван «возможно, самой основной константой, иррациональность и трансцендентность которой (хотя и сильно подозревается) остаются недоказанными». [3]
Константа Каталонии была названа в честь Эжена Шарля Каталана , который нашел быстро сходящиеся ряды для ее расчета [4] и опубликовал мемуары о ней в 1865 году [5].
Использует
В топологии малой размерности константа Каталана составляет 1/4 объема идеального гиперболического октаэдра и, следовательно, 1/4 гиперболического объема дополнения связи Уайтхеда . [6] Это 1/8 объема дополнения колец Борромео . [7]
В комбинаторике и статистической механики , оно возникает в связи с подсчета домино разбиений , [8] остовных деревьев , [9] и гамильтонова цикла из графиков сетки . [10]
В теории чисел константа Каталана появляется в предполагаемой формуле для асимптотического числа простых чисел видав соответствии с Харди и Литтлвуда гипотезы F . Однако остается нерешенным вопрос (одна из проблем Ландау ), существует ли хоть сколько-нибудь простых чисел такого вида. [11]
Постоянная каталана также появляется в расчете распределения массы в спиральных галактиках . [12] [13]
Известные цифры
Число известных цифр каталонской постоянной G за последние десятилетия резко увеличилось. Это связано как с увеличением производительности компьютеров, так и с улучшениями алгоритмов. [14]
Дата | Десятичные цифры | Вычисление выполнено |
---|---|---|
1832 г. | 16 | Томас Клаузен |
1858 г. | 19 | Карл Йохан Даниэльссон Хилл |
1864 г. | 14 | Эжен Шарль Каталан |
1877 г. | 20 | Джеймс В.Л. Глейшер |
1913 г. | 32 | Джеймс В.Л. Глейшер |
1990 г. | 20 000 | Грег Дж. Фи |
1996 г. | 50 000 | Грег Дж. Фи |
14 августа 1996 г. | 100 000 | Грег Дж. Фи и Саймон Плафф |
29 сентября 1996 г. | 300 000 | Томас Папаниколау |
1996 г. | 1 500 000 | Томас Папаниколау |
1997 г. | 3 379 957 | Патрик Демишель |
4 января 1998 г. | 12 500 000 | Ксавье Гурдон |
2001 г. | 100 000 500 | Ксавье Гурдон и Паскаль Себа |
2002 г. | 201 000 000 | Ксавье Гурдон и Паскаль Себа |
Октябрь 2006 г. | 5 000 000 000 | Сигеру Кондо и Стив Пальяруло [15] |
Август 2008 г. | 10 000 000 000 | Сигеру Кондо и Стив Пальяруло [16] |
31 января 2009 г. | 15 510 000 000 | Александр Дж. Йи и Раймонд Чан [17] |
16 апреля 2009 г. | 31 026 000 000 | Александр Дж. Йи и Раймонд Чан [17] |
7 июня 2015 г. | 200 000 001 100 | Роберт Дж. Сетти [18] |
12 апреля 2016 г. | 250 000 000 000 | Рон Уоткинс [18] |
16 февраля 2019 г., | 300 000 000 000 | Тициан Хансельманн [18] |
29 марта 2019 г., | 500 000 000 000 | Майк Эй и Ян Катресс [18] |
16 июля 2019 г., | 600 000 000 100 | Сынмин Ким [19] [20] |
16 июля 2019 г., | 600 000 000 100 | Роберт Рейнольдс [21] |
Интегральные тождества
Как пишет Шон Стюарт, «существует богатый и, казалось бы, бесконечный источник определенных интегралов, которые можно приравнять или выразить в терминах константы Каталонии». [22] Некоторые из этих выражений включают:
где последние три формулы связаны с интегралами Мальмстена. [23]
Если K ( k ) - полный эллиптический интеграл первого рода как функция эллиптического модуля k , то
С гамма-функцией Γ ( x + 1) = x !
Интегральный
- известная специальная функция, называемая интегралом обратной касательной , и она была подробно изучена Шринивасой Рамануджаном .
Отношение к другим специальным функциям
G появляется в значениях второй функции полигаммы , также называемой функцией тригаммы , с дробными аргументами:
Саймон Плафф дает бесконечный набор тождеств между тригамма-функцией π 2 и константой Каталонии; они выражаются как пути на графе.
Постоянная каталана часто возникает в связи с функцией Клаузна , в арктангенсе интеграла , в интеграл обратного синуса , в Barnes G -функции , а также интегралы и ряд суммирует с точкой зрения указанных выше функций.
В качестве конкретного примера, сначала выражая интеграл обратной касательной в его замкнутой форме - в терминах функций Клаузена - а затем выражая эти функции Клаузена в терминах G -функции Барнса , получается следующее выражение (подробнее см. Функцию Клаузена ) :
Если определить трансцендент Лерха Φ ( z , s , α ) (связанный с дзета-функцией Лерха ) следующим образом:
тогда
Быстро сходящиеся серии
Следующие две формулы включают быстро сходящиеся ряды и поэтому подходят для численных вычислений:
а также
Теоретические основы таких рядов даны Бродхерстом для первой формулы [24] и Рамануджаном для второй формулы. [25] Алгоритмы для быстрого вычисления каталонской константы были построены Э. Карацуба. [26] [27]
Смотрите также
- Частные значения дзета-функции Римана
- Математическая константа
Рекомендации
- ↑ Папаниколау, Томас (март 1997 г.). «Константа Каталонии на 1 500 000 мест» . Gutenberg.org .
- ^ Нестеренко, Ю. V. (январь 2016), "На постоянной Каталана", Труды Математического института , 292 (1): 153-170, DOI : 10.1134 / s0081543816010107 , S2CID 124903059.
- ^ Бейли, Дэвид Х .; Borwein, Jonathan M .; Маттингли, Эндрю; Уайтвик, Гленн (2013), «Вычисление ранее недоступных цифри постоянная каталана», Извещения Американского математического общества , 60 (7): 844-854, DOI : 10.1090 / noti1015 , MR 3086394
- ^ Гольдштейн, Кэтрин (2015), «Математические достижения Эжена Каталана» , Бюллетень Королевского общества наук Льежа , 84 : 74–92, MR 3498215
- ^ Catalan, E. (1865), Mémoire sur la transformation des séries et sur quelques intégrales définies , Mémoires de l'Académie royale des Sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique (на французском языке), 33 , Брюссель, hdl : 2268 / 193841
- ^ Агол, Ян (2010), « Ориентируемые по минимальному объему гиперболические 3-многообразия с 2 каспами», Труды Американского математического общества , 138 (10): 3723–3732, arXiv : 0804.0043 , doi : 10.1090 / S0002-9939-10 -10364-5 , Руководство по ремонту 2661571 , S2CID 2016662.
- ^ Уильям Терстон (март 2002 г.), «7. Вычисление объема» (PDF) , Геометрия и топология трехмерных многообразий , с. 165
- ^ Темперли, HNV ; Фишер, Майкл Э. (август 1961 г.), «Проблема Димера в статистической механике - точный результат», Philosophical Magazine , 6 (68): 1061–1063, Bibcode : 1961PMag .... 6.1061T , doi : 10.1080 / 14786436108243366
- ^ Wu, FY (1977), «Число остовных деревьев на решетке», Journal of Physics , 10 (6): L113 – L115, Bibcode : 1977JPhA ... 10L.113W , doi : 10.1088 / 0305-4470 / 10 / 6/004 , MR 0489559
- ^ Kasteleyn, PW (1963), « Решаемая проблема самопроизвольной ходьбы», Physica , 29 (12): 1329–1337, Bibcode : 1963Phy .... 29.1329K , doi : 10.1016 / S0031-8914 (63) 80241- 4 , MR 0159642
- ^ Шанкс, Дэниел (1959), "Метод сита для разложения чисел на множители вида», Математические таблицы и другие средства для вычислений , 13 : 78-86, DOI : 10,2307 / 2001956 , JSTOR 2001956 , MR 0105784
- ^ Wyse, AB; Майол, Нью-Йорк (январь 1942 г.), «Распределение массы в спиральных туманностях Мессье 31 и Мессье 33», The Astrophysical Journal , 95 : 24–47, Bibcode : 1942ApJ .... 95 ... 24W , doi : 10.1086 / 144370
- ^ van der Kruit, PC (март 1988 г.), "Трехмерное распределение света и массы в дисках спиральных галактик", Astronomy & Astrophysics , 192 : 117–127, Bibcode : 1988A & A ... 192..117V
- ^ Гурдон, X .; Себах, П. "Константы и записи вычислений" .
- ^ «Сайт Сигеру Кондо» . Архивировано из оригинала на 2008-02-11 . Проверено 31 января 2008 .
- ^ Константы и записи вычислений
- ^ a b Большие вычисления
- ^ a b c d Постоянные записи Каталонии с использованием YMP
- ^ Постоянные записи Каталонии с использованием YMP
- ^ Постоянный мировой рекорд Каталана по Seungmin Ким
- ^ Определенный интеграл, включающий логарифмическую функцию в терминах функции Лерха Робертом Рейнольдсом и Алланом Штауффером
- ^ Стюарт, Сеан М. (2020), "Константа А Каталонская вдохновила интегральную одиссею", Математическая газета , 104 (561): 449-459, DOI : 10,1017 / mag.2020.99 , MR 4163926 , S2CID 225116026
- ^ Благушин, Ярослав (2014). «Повторное открытие интегралов Мальмстена, их оценка методами контурного интегрирования и некоторые связанные результаты» (PDF) . Журнал Рамануджана . 35 : 21–110. DOI : 10.1007 / s11139-013-9528-5 . S2CID 120943474 . Архивировано из оригинального (PDF) 2018-10-02 . Проверено 1 октября 2018 .
- ^ Бродхерст, ди-джей (1998). «Полилогарифмические лестницы, гипергеометрические ряды и десятимиллионные цифры ζ (3) и ζ (5) ». arXiv : math.CA/9803067 .
- ^ Берндт, Британская Колумбия (1985). Ноутбук Рамануджана, часть I . Springer Verlag. п. 289.[ ISBN отсутствует ]
- ^ Карацуба, Е.А. (1991). «Быстрая оценка трансцендентных функций». Пробл. Инф. Трансм . 27 (4): 339–360. Руководство по ремонту 1156939 . Zbl 0754.65021 .
- ^ Карацуба, Е.А. (2001). «Быстрое вычисление некоторых специальных интегралов математической физики». In Krämer, W .; фон Гуденберг, JW (ред.). Научные вычисления, проверенные числа, интервальные методы . стр. 29 -41.[ ISBN отсутствует ]
дальнейшее чтение
- Адамчик, Виктор (2002). «Некий ряд, связанный с каталонской константой» . Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen . 21 (3): 1–10. DOI : 10,4171 / ZAA / 1110 . MR 1929434 .
- Плата, Грегори Дж. (1990). «Вычисление постоянной Каталонии с использованием формулы Рамануджана». В Ватанабэ, Шунро; Нагата, Морио (ред.). Труды Международного симпозиума по Символическим и алгебраическим вычислениям, ISSAC '90, Токио, Япония, 20-24 августа 1990 года . ACM. С. 157–160. DOI : 10.1145 / 96877.96917 . ISBN 0201548925. S2CID 1949187 .
- Брэдли, Дэвид М. (1999). «Класс серийных формул ускорения для постоянной Каталонии». Журнал Рамануджана . 3 (2): 159–173. arXiv : 0706.0356 . DOI : 10,1023 / A: 1006945407723 . Руководство по ремонту 1703281 . S2CID 5111792 .
- Брэдли, Дэвид М. (2007). «Класс серийных формул ускорения для постоянной Каталонии». Журнал Рамануджана . 3 (2): 159–173. arXiv : 0706.0356 . Bibcode : 2007arXiv0706.0356B . DOI : 10,1023 / A: 1006945407723 . S2CID 5111792 .
Внешние ссылки
- Адамчик Виктор. «33 представления каталонской постоянной» . Архивировано из оригинала на 2016-08-07.
- Plouffe, Саймон (1993). «Несколько тождеств (III) с каталонским» . Архивировано из оригинала на 2019-06-26. (Предоставляет более ста различных идентификаторов).
- Plouffe, Саймон (1999). «Несколько тождеств с каталонской константой и Pi ^ 2» . Архивировано из оригинала на 2019-06-26. (Обеспечивает графическую интерпретацию отношений)
- Плата, Грег (1996). «Константа Каталонии (формула Рамануджана)» . (Предоставляет первые 300 000 цифр каталонской константы)
- Брэдли, Дэвид М. (2001). Представления каталонской константы . CiteSeerX 10.1.1.26.1879 .
- Йоханссон, Фредрик. «0,915965594177219015054603514932» . Ordner, каталог реальных чисел в Fungrim .
- «Константа Каталонии» . YouTube . Учимся, Немо !. 10 августа 2020.
- Вайсштейн, Эрик В. «Постоянная Каталонии» . MathWorld .
- «Каталонская константа: изображения серий» . Сайт функций Wolfram .
- «Каталонская константа» . Энциклопедия математики . EMS Press . 2001 [1994].