Бета-функция Дирихле

Бета-функция Дирихле

В математике , то Дирихле бета - функция (также известный как бета - функции каталонского ) является специальной функцией , тесно связаны с дзета - функции Римана . Это особенно Дирихле L-функция , Л-функция для переменного характера периода четыре.

Определение [ править ]

Бета-функция Дирихле определяется как

${\ displaystyle \ beta (s) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1) ^ {s}}},}$

или, что то же самое,

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx.}$

В каждом случае предполагается, что Re ( s )> 0.

В качестве альтернативы, следующее определение в терминах дзета-функции Гурвица справедливо для всей комплексной s- плоскости:

${\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta \left(s,{3 \over 4}\right)\right).}$ доказательство

Другое эквивалентное определение в терминах трансцендентного Лерха :

${\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{{1} \over {2}}\right),}$

что еще раз верно для всех комплексных значений s .

Также представление ряда бета-функции Дирихле может быть сформировано в терминах полигамма-функции

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{2^{s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{s}}}={\frac {1}{(-2)^{2s}(s-1)!}}\left[\psi ^{(s-1)}\left({\frac {1}{4}}\right)-\psi ^{(s-1)}\left({\frac {3}{4}}\right)\right].}$

Формула произведения Эйлера [ править ]

Это также простейший пример ряда, не имеющего прямого отношения к которому можно также разложить на множители как произведение Эйлера , что привело к идее символа Дирихле, определяющего точное множество рядов Дирихле, имеющих факторизацию по простым числам .${\displaystyle \zeta (s)}$

По крайней мере, для Re ( s ) ≥ 1:

${\displaystyle \beta (s)=\prod _{p\equiv 1\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\prod _{p\equiv 3\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1+p^{-s}}}}$

где p ≡1 mod 4 - простые числа вида 4 n +1 (5,13,17, ...), а p ≡3 mod 4 - простые числа вида 4 n +3 (3,7,11, ...). Это можно записать компактно как

${\displaystyle \beta (s)=\prod _{p>2 \atop p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-\,\scriptstyle (-1)^{\frac {p-1}{2}}\textstyle p^{-s}}}.}$

Функциональное уравнение [ править ]

Функциональное уравнение расширяет бета - функцию к левой стороне комплексной плоскости Re ( ы ) ≤ 0. Оно задается

${\displaystyle \beta (1-s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}s\right)\Gamma (s)\beta (s)}$

где Γ ( s ) - гамма-функция .

Особые значения [ править ]

Некоторые особые значения включают:

${\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle \beta (1)\;=\;\arctan(1)\;=\;{\frac {\pi }{4}},}$

${\displaystyle \beta (2)\;=\;G,}$

где G представляет собой каталонскую константу , а

${\displaystyle \beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}},}$

${\displaystyle \beta (4)\;=\;{\frac {1}{768}}\left(\psi _{3}\left({\frac {1}{4}}\right)-8\pi ^{4}\right),}$

${\displaystyle \beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}},}$

${\displaystyle \beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}},}$

где в приведенном выше примере полигамма-функции . В более общем смысле, для любого положительного целого числа k :${\displaystyle \psi _{3}(1/4)}$

${\displaystyle \beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!},}$

где представляют собой числа Эйлера . Для целого числа k  ≥ 0 это распространяется на:${\displaystyle \!\ E_{n}}$

${\displaystyle \beta (-k)={{E_{k}} \over {2}}.}$

Следовательно, функция обращается в нуль для всех нечетных отрицательных целых значений аргумента.

Для каждого положительного целого числа k :

${\displaystyle \beta (2k)={\frac {1}{2(2k-1)!}}\sum _{m=0}^{\infty }\left(\left(\sum _{l=0}^{k-1}{\binom {2k-1}{2l}}{\frac {(-1)^{l}A_{2k-2l-1}}{2l+2m+1}}\right)-{\frac {(-1)^{k-1}}{2m+2k}}\right){\frac {A_{2m}}{(2m)!}}{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}^{2m+2k},}$^{[ необходима цитата ]}

где - зигзагообразное число Эйлера .${\displaystyle A_{k}}$

Также Мальмстен в 1842 году вывел, что

${\displaystyle \beta '(1)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {\ln(2n+1)}{2n+1}}\,=\,{\frac {\pi }{4}}{\big (}\gamma -\ln \pi )+\pi \ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}$

В позиции -1 есть нули; -3; -5; -7 и т. Д.

См. Также [ править ]

• Дзета-функция Гурвица
• Эта функция Дирихле
• Полилогарифм

Ссылки [ править ]

• Глассер, ML (1972). «Вычисление решеточных сумм. I. Аналитические процедуры». J. Math. Phys . 14 (3): 409. Bibcode : 1973JMP .... 14..409G . DOI : 10.1063 / 1.1666331 .
• Дж. Спаниер и К. Б. Олдхэм, Атлас функций , (1987) Hemisphere, Нью-Йорк.
• Вайсштейн, Эрик В. "Бета-функция Дирихле" . MathWorld .