Теорема плотности Чеботарева

Теорема плотности Чеботарева в теории алгебраических чисел описывает статистически расщепление простых чисел в заданном расширения Галуа K поля из рациональных чисел . Вообще говоря, простое число фактор будет на несколько идеальных простых чисел в кольце целых алгебраических чисел из K . Может возникнуть лишь конечное число шаблонов расщепления. Хотя полное описание расщепления каждого простого числа p в общем расширении Галуа является основной нерешенной проблемой, теорема плотности Чеботарева утверждает, что частота появления данного шаблона для всех простых чисел p ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ меньше большого целого числа N , стремится к определенному пределу, когда N стремится к бесконечности. Это доказал Николай Чеботарев в своей диссертации 1922 года, опубликованной в ( Tschebotareff 1926 ).

Частный случай, который легче сформулировать, говорит, что если K - поле алгебраических чисел, которое является расширением Галуа степени n , то простые числа, которые полностью расщепляются в K, имеют плотность ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

1 / п

среди всех простых чисел. В более общем смысле, поведение расщепления можно задать, присвоив (почти) каждому простому числу инвариант, его элемент Фробениуса , который является представителем четко определенного класса сопряженности в группе Галуа.

Гал ( K / Q ).

Тогда теорема утверждает, что асимптотическое распределение этих инвариантов равномерно по группе, так что класс сопряженности с k элементами возникает с частотной асимптотикой к

к / н .

История и мотивация [ править ]

Когда Карл Фридрих Гаусс впервые ввел понятие комплексных целых чисел Z [ i ], он заметил, что обычные простые числа могут быть множителями в этом новом наборе целых чисел. Фактически, если простое число p конгруэнтно 1 по модулю 4, то оно разлагается на произведение двух различных простых гауссовских целых чисел или «полностью разделяется»; если p конгруэнтно 3 mod 4, то оно остается простым или «инертным»; и если p равно 2, то оно становится произведением квадрата простого числа (1 + i) и обратимого гауссовского целого числа -i ; мы говорим, что 2 «разветвляется». Например,

{\ Displaystyle 5 = (1 + 2i) (1-2i)}

полностью раскалывается;

{\ displaystyle 3}

инертен;

2=-i(1+i)^{2}

разветвляется.

Из этого описания следует, что, если рассматривать все большие и большие простые числа, частота расщепления простых чисел полностью приближается к 1/2, и то же самое для простых чисел, которые остаются простыми числами в Z [ i ]. Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях показывает, что это действительно так. Несмотря на то, что сами простые числа появляются довольно хаотично, разделение простых чисел в расширении

\mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} [i]

следует простому статистическому закону.

Подобные статистические законы также выполняются для расщепления простых чисел в круговых расширениях , полученных из поля рациональных чисел путем присоединения первообразного корня из единицы заданного порядка. Например, обычные целые простые числа группируются в четыре класса, каждый с вероятностью 1/4, в соответствии с их схемой разбиения в кольце целых чисел, соответствующих корням 8-й степени из единицы. В этом случае расширение поля имеет степень 4 и является абелевым , при этом группа Галуа изоморфна четырехгруппе Клейна . Оказалось, что группа Галуа расширения играет ключевую роль в схеме расщепления простых чисел. Георг Фробениусустановил основу для исследования этого паттерна и доказал частный случай теоремы. Общее утверждение было доказано Николаем Григорьевичем Чеботаревым в 1922 году.

Связь с теоремой Дирихле [ править ]

Теорема плотности Чеботарева может рассматриваться как обобщение теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях . Количественная форма теоремы состояний Дирихля , что если N ≥ 2 представляет собой целое число , и является взаимно простым с N , то доля простых чисел р конгруэнтен в модах N является асимптотической 1 / п , где п = φ ( N ) представляет собой Тотиентная функция Эйлера . Это частный случай теоремы плотности Чеботарева для N- го кругового поля K . Действительно, группа Галуа K / Q абелева и может быть канонически отождествляется с группой обратимых классов вычет по модулю N . Инвариант расщепления простого числа p, не делящего N, - это просто его класс вычетов, потому что число различных простых чисел, на которые разбивается p, равно φ ( N ) / m, где m - порядок мультипликативности p по модулю N; следовательно , по теореме плотности Чеботарева, простые числа асимптотически равномерно распределены среди различных классов вычетов взаимно простое с N .

Формулировка [ править ]

В своей обзорной статье Ленстра и Стивенхаген (1996) приводят более ранний результат Фробениуса в этой области. Пусть К является расширением Галуа из поля рациональных чисел Q и Р ( т ) унитарный целое число такое , что полином К является полем расщепления из P . Имеет смысл разложить P на множители по простому числу p . Его «тип расщепления» - это список степеней неприводимых множителей P mod p , то есть P факторизуется некоторым образом над простым полем F_стр . Если n - степень P , то тип расщепления - это разбиение числа n . Рассматривая также группу Галуа G группы K над Q , каждый g в G является перестановкой корней P в K ; другими словами, выбирая порядок α и его алгебраических сопряженных элементов, G точно представляется как подгруппа симметрической группы S _n . Мы можем написать g с помощью его циклического представления, что дает "циклический тип" c ( g ), снова разбиение n .

Теорема Фробениуса утверждает , что для любого данного выбора П простых чисел р , для которых типа расщепления Р по модулю р является Π имеет естественную плотность б, с δ , равные долями г в G , которые имеют тип цикла П.

Утверждение более общего Чеботарев теорема в терминах элемента Фробениуса простого числа (идеальный), который фактически связанный с ним классом сопряженным С элементами группы Галуа G . Если мы зафиксируем C, то теорема говорит, что асимптотически пропорция | C | / | G | простые числа имеют связанную фробениусову элемент как C . Когда G абелева, каждый класс, конечно, имеет размер 1. В случае неабелевой группы порядка 6 они имеют размер 1, 2 и 3, и соответственно (например) 50% простых чисел pкоторые имеют элемент порядка 2 в качестве Фробениуса. Таким образом, эти простые числа имеют вычетную степень 2, поэтому они разделяются ровно на три простых идеала в расширении Q степени 6 с этой группой Галуа. ^[1]

Заявление [ править ]

Пусть L -конечное расширение Галуа числового поля К с группой Галуа G . Пусть X - подмножество G , устойчивое относительно сопряжения. Множество простых чисел v из K , неразветвленных в L и ассоциированный с которыми класс сопряженности Фробениуса F _v содержится в X, имеет плотность

{\frac {\#X}{\#G}}.

^[2]

Утверждение справедливо, когда плотность относится либо к естественной плотности, либо к аналитической плотности набора простых чисел. ^[3]

Действующая версия [ править ]

Обобщенная гипотеза Римана влечет эффективную версию ^[4] теоремы Чеботарева о плотности : если L / K - конечное расширение Галуа с группой Галуа G , а C - объединение классов сопряженности группы G , то количество неразветвленных простых чисел группы K нормы ниже x с классом сопряженности Фробениуса в C является

{\frac {|C|}{|G|}}{\Bigl (}\mathrm {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x}}(n\log x+\log |\Delta |){\bigr )}{\Bigr )},

где константа, подразумеваемая в обозначении большого O, является абсолютной, n - степень L над Q , а ∆ - его дискриминант.

Эффективная форма теории плотности Чеботарева становится намного слабее без GRH. В качестве L возьмем конечное расширение Галуа группы Q с группой Галуа G и степенью d . Возьмем за нетривиальное неприводимое представление группы G степени n и возьмем за артиновский проводник этого представления. Предположим , что для подпредставление или , целая; то есть гипотеза Артина выполняется для всех . Принять, чтобы быть персонажем, связанным с . Тогда существует абсолютная положительная , что для , $\rho$ ${\mathfrak {f}}(\rho )$ $\rho _{0}$ $\rho \otimes \rho$ $\rho \otimes {\bar {\rho }}$ $L(\rho _{0},s)$ $\rho _{0}$ $\chi _{\rho }$ $\rho$ $c$ $x\geq 2$

\sum _{p\leq x,p\not \mid {\mathfrak {f}}(\rho )}\chi _{\rho }({\text{Fr}}_{p})\log p=rx+O{\biggl (}{\frac {x^{\beta }}{\beta }}+x\exp {\biggl (}{\frac {-c(dn)^{-4}\log x}{3\log {\mathfrak {f}}(\rho )+{\sqrt {\log x}}}}{\biggr )}(dn\log(x{\mathfrak {f}}(\rho )){\biggr )},

где равно 1 , если тривиально и в противном случае 0, и где это исключительный действительный нуль из ; если такого нуля нет, термин можно игнорировать. Неявная константа этого выражения абсолютна. ^[5] $r$ $\rho$ $\beta$ $L(\rho ,s)$ $x^{\beta }/\beta$

Бесконечные расширения [ править ]

Утверждение теоремы Чеботарева о плотности может быть обобщено на случай бесконечного расширения Галуа L / K , неразветвленного вне конечного множества S простых чисел K (т. Е. Если существует конечное множество S простых чисел K такое, что любое простое из K не S неразветвлено в расширении L / K ). В этом случае группа Галуа G группы L / K является проконечной группой, снабженной топологией Крулля. Поскольку G компактна в этой топологии, существует единственная мера Хаара μ на G. Для любого простого числа v группы K, не принадлежащего S, существует ассоциированный класс фробениусовой сопряженности F _v . Теорема плотности Чеботарева в этой ситуации может быть сформулирована следующим образом: ^[2]

Пусть X - устойчивое относительно сопряжения подмножество G , граница которого имеет нулевую меру Хаара. Тогда множество простых чисел v поля K, не лежащих в S, таких, что F _v ⊆ X имеет плотность

{\frac {\mu (X)}{\mu (G)}}.

Это сводится к конечному случаю, когда L / K конечно (тогда мера Хаара является просто считающей мерой).

Следствие этого варианта теоремы является то , что элементы Фробениуса неразветвленных простых чисел L плотны в G .

Важные последствия [ править ]

Теорема Чеботарева о плотности сводит проблему классификации расширений Галуа числового поля к задаче описания разбиения простых чисел в расширениях. В частности, это означает, что как расширение Галуа K , L однозначно определяется набором простых чисел K, которые полностью в нем распадаются. ^[6] Связанный с этим следствием является то , что если почти все простые идеалы K полностью разделены на L , то на самом деле L = K . ^[7]

Заметки [ править ]

^ Этот конкретный пример уже следует из результата Фробениуса, потому что G - симметрическая группа. В общем, сопряжение в G более требовательно, чем цикл одного и того же типа.
^ a b Раздел I.2.2 Серра
Перейти ↑ Lenstra, Hendrik (2006). "Теорема плотности Чеботарева" (PDF) . Проверено 7 июня 2018 .
^ Лагариас, JC; Одлызко А.М. (1977). «Эффективные версии теоремы Чеботарева». Поля алгебраических чисел : 409–464.
^ Иванец, Хенрик; Ковальский, Эммануэль (2004). Аналитическая теория чисел . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 111.
^ Следствие VII.13.10 Нойкирх
^ Следствие VII.13.7 из Neukirch

Ссылки [ править ]

Ленстра, HW; Stevenhagen, P. (1996), "Чеботарев и теорема его плотности" (PDF) , Математическая Интеллидженсер , 18 : 26-37, DOI : 10.1007 / BF03027290 , MR 1395088

Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту 1697859 . Zbl 0956.11021 .
Серр, Жан-Пьер (1998) [1968], Абелевы l-адические представления и эллиптические кривые (пересмотренная перепечатка оригинального издания 1968 года), Уэлсли, Массачусетс: AK Peters, Ltd., ISBN 1-56881-077-6, Руководство по ремонту 1484415
Чеботарефф, Н. (1926), "Die Bestimmung der Dichtigkeit einer Menge von Primzahlen, welche zu einer gegebenen Substitutionsklasse gehören", Mathematische Annalen , 95 (1): 191–228, doi : 10.1007 / BF01206606

[1] Этот конкретный пример уже следует из результата Фробениуса, потому что G - симметрическая группа. В общем, сопряжение в G более требовательно, чем цикл одного и того же типа.

[Section-2] Раздел I.2.2 Серра

[3] Перейти ↑ Lenstra, Hendrik (2006). "Теорема плотности Чеботарева" (PDF) . Проверено 7 июня 2018 .

[4] Лагариас, JC; Одлызко А.М. (1977). «Эффективные версии теоремы Чеботарева». Поля алгебраических чисел : 409–464.

[5] Иванец, Хенрик; Ковальский, Эммануэль (2004). Аналитическая теория чисел . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 111.

[6] Следствие VII.13.10 Нойкирх

[7] Следствие VII.13.7 из Neukirch