В математической области геометрической теории меры , то формула коплощади выражает интеграл от функции злоумышленника открытого множества в евклидове пространства в терминах интегралов по множествам уровня другой функции. Особым случаем является теорема Фубини , которая гласит, что при подходящих гипотезах интеграл функции по области, заключенной в прямоугольную рамку, может быть записан как повторный интеграл по множествам уровня координатных функций. Другой частный случай - интегрирование в сферических координатах , в котором интеграл функции на R nсвязана с интегралом функции по сферическим оболочкам: множествам уровня радиальной функции. Формула играет решающую роль в современном исследовании изопериметрических задач .
Для гладких функций формула является результатом многомерного исчисления, который следует из замены переменных . Более общие формы формулы для функций Липшица были впервые установлены Гербертом Федерером ( Федерер, 1959 ), а для функций BV - Флемингом и Ришелем (1960) .
Точная формулировка формулы следующая. Предположим, что Ω - открытое множество ва u - вещественнозначная липшицева функция на Ω. Тогда для L 1 функции г ,
где H n −1 - ( n - 1) -мерная мера Хаусдорфа . В частности, принимая g равным единице, это означает, что
и, наоборот, последнее равенство влечет первое стандартными методами интегрирования Лебега .
В более общем смысле, формула коплощади может применяться к липшицевым функциям u, определенным в принимая ценности в где k ≤ n . В этом случае выполняется тождество
где J k u - k -мерный якобиан функции u , определитель которого задается формулой
Приложения
- Взяв u ( x ) = | х - х 0 | дает формулу интегрирования в сферических координатах интегрируемой функции f :
- Комбинирование формулы коплощади с изопериметрическим неравенством дает доказательство неравенства Соболева для W 1,1 с наилучшей константой:
- где объем единичного шара в
Смотрите также
Рекомендации
- Федерер, Герберт (1969), Геометрическая теория меры , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 153, New York: Springer-Verlag New York Inc., стр. Xiv + 676, ISBN 978-3-540-60656-7, MR 0257325.
- Федерер, Герберт (1959), «Меры кривизны», Труды Американского математического общества , Труды Американского математического общества, Vol. 93, № 3, 93 (3): 418-491, DOI : 10,2307 / 1993504 , JSTOR 1993504.
- Флеминг, WH; Ришел R (1960), "Интегральная формула для полной вариации градиента", Archiv дер Mathematik , 11 (1): 218-222, DOI : 10.1007 / BF01236935
- Malý, J; Swanson, D; Ziemer, W (2002), "Со-область формула для отображений Соболева" (PDF) , Труды Американского математического общества , 355 (2): 477-492, DOI : 10,1090 / S0002-9947-02-03091-X.