Конус отображения (топология)

Иллюстрация конуса отображения; то есть конус приклеен к пространству по некоторой функции .${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$

В математике , особенно гомотопической теории , то отображение конус представляет собой конструкция из топологии , аналогична факторпространством . Его еще называют гомотопическим кофайбером и тоже обозначают . Его двойственное расслоение называется отображающим слоем . Конус отображения можно понимать как цилиндр отображения , в котором один конец цилиндра свернут в точку. Таким образом, конусы отображения часто применяются в гомотопической теории пространств с точками .${\ displaystyle C_ {f}}$${\ displaystyle Cf}$ ${\ displaystyle Mf}$

Определение [ править ]

Учитывая карту , отображение конуса определяется как частное пространство отображения цилиндра относительно отношения эквивалентности , . Здесь обозначает единичный интервал [0, 1] с его стандартной топологией . Обратите внимание, что некоторые авторы (например, Дж. Питер Мэй ) используют противоположное соглашение, переключая 0 и 1.${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$${\ displaystyle C_ {f}}$ ${\ displaystyle (X \ times I) \ sqcup _ {f} Y}$ ${\ displaystyle \ forall x, x '\ in X, (x, 0) \ sim (x', 0) \,}$${\ Displaystyle (х, 1) \ сим е (х)}$${\ displaystyle I}$

Визуально берется конус на X (цилиндр с одним концом (конец 0), идентифицированный с точкой), и приклеивается другой конец к Y с помощью карты f (идентификация конца 1).${\ Displaystyle X \ раз I}$

Крупно, один принимает фактор - пространство по образу из X , так ; это не совсем правильно из-за проблем с набором точек, но это философия, и она уточняется такими результатами, как гомология пары и понятие n- связного отображения.${\ displaystyle C_ {f} = Y / f (X)}$

Вышеупомянутое определение карты неуловленных пространств; для карты отмеченных пространств (так ) также идентифицируются все ; формально, таким образом, один конец и «шов» отождествляются с${\ displaystyle f \ двоеточие (X, x_ {0}) \ to (Y, y_ {0}),}$${\ displaystyle f \ двоеточие x_ {0} \ mapsto y_ {0}}$${\ displaystyle {x_ {0}} \ times I}$${\displaystyle (x_{0},t)\sim (x_{0},t')\,.}$${\displaystyle y_{0}.}$

Пример круга [ править ]

Если это круг , то отображение конуса можно рассматривать как фактор - пространство несвязное объединение из Y с диска , образованного путем идентификации каждой точки х на границе с до точки в Y .${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle C_{f}}$ ${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle f(x)}$

Рассмотрим, например, случай, когда Y - диск , а стандартное включение круга в качестве границы . Тогда отображение конус является гомеоморфен двумя дисков , соединенных на их границе, которая является топологический сферой .${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle f\colon S^{1}\to Y=D^{2}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle C_{f}}$ ${\displaystyle S^{2}}$

Двойной цилиндр отображения [ править ]

Конус отображения - это частный случай цилиндра двойного отображения . По сути, это цилиндр, соединенный одним концом с пространством с помощью карты.${\displaystyle X\times I}$${\displaystyle Y_{1}}$

${\displaystyle f_{1}:X\to Y_{1}}$

и присоединился на другом конце к пространству через карту${\displaystyle Y_{2}}$

${\displaystyle f_{2}:X\to Y_{2}}$

Конус отображения - это вырожденный случай двойного цилиндра отображения (также известного как гомотопический выталкиватель), в котором одна из точек является единственной точкой.${\displaystyle Y_{1},Y_{2}}$

Двойная конструкция: маппинг-волокно [ править ]

Сопряженный к конусу отображения является отображающий слой . Учитывая точечное отображение, можно определить слой отображения как ^[1]${\displaystyle F_{f}}$${\displaystyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0}),}$

${\displaystyle F_{f}=\{(x,\omega )\in X\times Y^{I}:\omega (0)=y_{0}{\mbox{ and }}\omega (1)=f(x)\}}$.

Здесь I - единичный интервал и непрерывный путь в пространстве ( экспоненциальный объект ) . Отображающий слой иногда обозначается как ; однако это противоречит тому же обозначению цилиндра отображения.${\displaystyle \omega }$${\displaystyle Y^{I}}$${\displaystyle Mf}$

Он двойственен конусу сопоставления в том смысле, что указанный выше продукт является по существу расслоенным продуктом или отводом, который двойственен выталкиванию, используемому для построения конуса сопоставления. ^[2] В этом частном случае двойственность по существу является дуальностью каррирования , поскольку конус отображения имеет каррированную форму, где - просто альтернативное обозначение для пространства всех непрерывных отображений из единичного интервала в . Эти два варианта связаны сопряженным функтором . Обратите внимание, что каррирование сохраняет сокращенный характер карт: в одном случае - до кончика конуса, а в другом - пути к базовой точке.${\displaystyle X\times _{f}Y}$ ${\displaystyle X\sqcup _{f}Y}$${\displaystyle (X\times I)\sqcup _{f}Y}$${\displaystyle X\times _{f}(I\to Y)}$${\displaystyle I\to Y}$${\displaystyle Y^{I}}$${\displaystyle Y}$

Приложения [ править ]

CW-комплексы [ править ]

Присоединение ячейки

Влияние на фундаментальную группу [ править ]

Учитывая пространство Х и контур , представляющий собой элемент фундаментальной группы из X , мы можем создать отображение конуса . Эффект это сделать петлю стягиваемы в , и , следовательно, класс эквивалентности из в фундаментальной группе будет просто единичный элемент .${\displaystyle \alpha \colon S^{1}\to X}$${\displaystyle C_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle C_{\alpha }}$

Учитывая представление группы образующими и отношениями, мы получаем 2-комплекс с этой фундаментальной группой.

Гомологии пары [ править ]

Конус отображения позволяет интерпретировать гомологии пары как приведенные гомологии фактора. А именно, если E - теория гомологий , и является корасслоением , то${\displaystyle i\colon A\to X}$

${\displaystyle E_{*}(X,A)=E_{*}(X/A,*)={\tilde {E}}_{*}(X/A)}$,

что следует, применяя вырезание к конусу отображения. ^[2]

Связь с гомотопическими (гомологическими) эквивалентностями [ править ]

Отображение односвязных CW-комплексов является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда его конус отображения стягиваем.${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$

В более общем смысле карта называется n -связной (как карта), если ее конус отображения n -связан (как пространство), плюс немного больше. ^{[3] [ необходима страница ]}

Позвольте быть фиксированной теории гомологии . Отображение индуцирует изоморфизм на , тогда и только тогда, когда отображение индуцирует изоморфизм на , т . Е ..${\displaystyle \mathbb {} H_{*}}$${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle H_{*}}$${\displaystyle \{pt\}\hookrightarrow C_{f}}$${\displaystyle H_{*}}$${\displaystyle H_{*}(C_{f},pt)=0}$

Конусы отображения широко используются для построения длинных совпадающих последовательностей Puppe , из которых могут быть получены длинные точные последовательности гомотопических и относительных гомотопических групп. ^[1]

См. Также [ править ]

• Кофибрация
• Конус отображения (гомологическая алгебра)

Ссылки [ править ]