Коллективно нормальное пространство

В математике , А топологическое пространство называется коллективно нормально , если для каждого дискретного семейства Р _я ( я ∈ I ) из замкнутых подмножеств из существует попарно непересекающихся семейство открытых множеств U _я ( я ∈ I ), такой , что F _я ⊂ U _я . Семейство подмножеств из называется дискретным, если каждая точка из имеет окрестность, которая пересекает не более одного из множеств из ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ . Эквивалентное определение ^[1] требует, чтобы указанные выше U _i ( i ∈ I ) сами были дискретным семейством, которое сильнее попарно непересекающихся.

Некоторые авторы предполагают, что это также пространство T ₁ как часть определения. ${\ displaystyle X}$

Это свойство является промежуточным по силе между паракомпактностью и нормальностью и встречается в теоремах метризации .

Свойства [ править ]

Коллективно нормальное пространство коллективно хаусдорфово .
Коллективно нормальное пространство нормально .
Хаусдорфа паракомпакт коллективно нормально. ^[2]
Примечание: условие Хаусдорфа здесь необходимо, так как, например, бесконечное множество с конфинитной топологией компактно, следовательно, паракомпактно и T ₁ , но даже не является нормальным.

Метрическое пространство коллективно нормально.
Всякое нормальное счетно-компактное пространство (а значит, и всякий нормальный компакт) коллективно нормально.
Доказательство : используйте тот факт, что в счетно компактном пространстве любое дискретное семейство непустых подмножеств конечно.
An F _сг -set в нормальное пространство коллективно также коллективно нормально в топологии подпространства . В частности, это верно для замкнутых подмножеств.
Теорема Мура метризационная утверждает , что коллективно нормальное пространство Мура является метризуемым .

Наследственно коллекционное нормальное пространство [ править ]

Топологическое пространство X называется наследственно коллективно нормальным, если каждое подпространство в X с топологией подпространства коллективно нормально.

Точно так же, как наследственно нормальные пространства могут быть охарактеризованы в терминах разделенных множеств , существует эквивалентная характеристика для наследственно коллективно нормальных пространств. Семейство подмножеств X называется отделенным семейством, если для каждого i мы имеем , где cl обозначает оператор замыкания в X , другими словами, если семейство из дискретно в своем объединении. Следующие условия эквивалентны: ${\ Displaystyle F_ {я} (я \ в я)}$ ${\ displaystyle F_ {i} \ cap \ operatorname {cl} (\ bigcup _ {j \ neq i} F_ {j}) = \ emptyset}$ ${\ displaystyle F_ {i}}$

X наследственно коллективно нормально.
Каждое открытое подпространство в X коллективно нормально.
Для каждого отделенного семейства подмножеств X существует попарно непересекающееся семейство открытых множеств , такое что . ${\ displaystyle F_ {i}}$ ${\ Displaystyle U_ {я} (я \ в я)}$ ${\ displaystyle F_ {i} \ substeq U_ {i}}$

Примеры наследственно коллективно нормальных пространств [ править ]

Любое линейно упорядоченное топологическое пространство (ЛОТС) ^[3]
Каждое обобщенное упорядоченное пространство (GO-пространство)
Каждое метризуемое пространство
Каждое монотонно нормальное пространство

Примечания [ править ]

^ Энгелькинг, теорема 5.1.17, с. 305, показывает эквивалентность между двумя определениями (при условии T₁ , но доказательство не используетсвойствоT₁ ).
^ Энгелькинг, Теорема 5.1.18, с. 305
^ Стин, Линн А. (1970). «Прямое доказательство того, что линейно упорядоченное пространство наследственно коллективно нормально» . Proc. Амер. Математика. Soc . 24 : 727–728. DOI : 10.1090 / S0002-9939-1970-0257985-7 .

Ссылки [ править ]

Энгелькинг, Рышард, Общая топология , Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN 3-88538-006-4

[1] Энгелькинг, теорема 5.1.17, с. 305, показывает эквивалентность между двумя определениями (при условии T₁ , но доказательство не используетсвойствоT₁ ).

[2] Энгелькинг, Теорема 5.1.18, с. 305

[3] Стин, Линн А. (1970). «Прямое доказательство того, что линейно упорядоченное пространство наследственно коллективно нормально» . Proc. Амер. Математика. Soc . 24 : 727–728. DOI : 10.1090 / S0002-9939-1970-0257985-7 .

[1]