В математике , более конкретно в точечной топологии , пространство Мура - это развивающееся регулярное хаусдорфово пространство . Эквивалентно топологическое пространство X является пространством Мура, если выполняются следующие условия:
- Любые две различные точки можно разделить окрестностями , а любое замкнутое множество и любую точку в его дополнении можно разделить окрестностями. ( X - регулярное хаусдорфово пространство .)
- Существует счетный набор открытых покрытий из X , такие , что для любого замкнутого множества C и любой точкой р в дополнении существует крышка в сборе таким образом, что каждая окрестность р в накрытии не пересекается с C . ( X - развивающееся пространство .)
Пространства Мура обычно интересны в математике, потому что они могут быть применены для доказательства интересных теорем метризации . Концепция пространства Мура была сформулирована Р.Л. Муром в начале ХХ века.
Примеры и свойства
- Каждое метрическое пространство , X , является пространством Мура. Если { A ( n ) x } - открытое покрытие X (индексируемое x в X ) всеми шарами радиуса 1 / n , то набор всех таких открытых покрытий при изменении n положительных целых чисел является развитием X . Поскольку все метризуемые пространства нормальны, все метрические пространства являются пространствами Мура.
- Пространства Мура во многом похожи на регулярные пространства и отличаются от нормальных пространств в том смысле, что каждое подпространство пространства Мура также является пространством Мура.
- Образ пространства Мура при инъективном непрерывном открытом отображении всегда является пространством Мура. Образ регулярного пространства при инъективном непрерывном открытом отображении всегда регулярен.
- Оба примера 2 и 3 показывают, что пространства Мура очень похожи на регулярные пространства.
- Ни линия Соргенфрея, ни плоскость Соргенфрея не являются пространствами Мура, потому что они нормальны и не имеют второго счета.
- Мур самолет (также известный как пространство Niemytski) является примером неметризуемого Мура пространства.
- Каждый метакомпактно , разъемные , нормальное пространство Мура метризуемо. Эта теорема известна как теорема Трейлора.
- Любое локально компактное , локально связное пространство , нормальное пространство Мура метризуемо. Эта теорема была доказана Ридом и Зенором.
- Если , то всякое сепарабельное нормальное пространство Мура метризуемо . Эта теорема известна как теорема Джонса.
Гипотеза о нормальном пространстве Мура
Долгое время топологи пытались доказать так называемую гипотезу о нормальном пространстве Мура: всякое нормальное пространство Мура метризуемо . Это было вдохновлено тем фактом, что все известные пространства Мура, которые не были метризуемыми, также не были нормальными. Это была бы хорошая метризационная теорема . Сначала были некоторые приятные частичные результаты; а именно свойства 7, 8 и 9, как указано в предыдущем разделе.
Здесь мы видим, что мы отбрасываем метакомпактность из теоремы Трейлора, но ценой теоретико-множественного предположения. Другой пример этого - теорема Флейсснера о том, что из аксиомы конструктивности следует, что локально компактные нормальные пространства Мура метризуемы.
С другой стороны, согласно гипотезе континуума (CH), а также согласно аксиоме Мартина, а не CH, существует несколько примеров неметризуемых нормальных пространств Мура. Ньикос доказал, что в соответствии с так называемой аксиомой расширения меры продукта (PMEA), которая требует большого кардинала , все нормальные пространства Мура метризуемы. Наконец, позже было показано, что любая модель ZFC, в которой выполняется гипотеза, подразумевает существование модели с большим кардиналом. По сути, нужны столь крупные кардиналы.
Джонс (1937) привел пример псевдонормального пространства Мура, которое не является метризуемым, поэтому гипотезу нельзя ослабить таким образом. Сам Мур доказал теорему о том, что совокупно нормальное пространство Мура метризуемо, поэтому усиление нормальности - еще один способ решить эту проблему.
Рекомендации
- Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах, Контрпримеры в топологии , Dover Books, 1995. ISBN 0-486-68735-X
- Джонс, FB (1937), "О нормальных и нормальных пространств", Бюллетень Американского математического общества , 43 (10): 671-677, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1937-06622-5 , MR 1563615 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
- Nyikos, Питер Дж. (2001), "История проблемы нормального пространства Мура", Справочник по истории общей топологии , Hist. Topol., 3 , Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, стр. 1179–1212, ISBN 9780792369707, MR 1900271.
- Исходное определение Р.Л. Мура появляется здесь :
- Историческую информацию можно найти здесь :
- МИСТЕР0199840 (33 # 7980) Джонс, Ф. Бертон «Метризация». Американский математический ежемесячник 73 1966 г. 571–576. (Рецензент: Р. В. Бэгли)
- Историческую информацию можно найти здесь :
- МИСТЕР0203661 (34 # 3510) Bing, RH «Сложные предположения». Американский математический ежемесячник 74 1967 No. 1, часть II, 56–64;
- Теорему Викери можно найти здесь :
- МИСТЕР0001909 (1,317f) Викери, К.У. «Аксиомы для пространств Мура и метрических пространств». Бюллетень Американского математического общества 46, (1940). 560–564
- Эта статья включает в себя материал из пространства Мура на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .