В математической биологии , то матрица сообщества является линеаризация из уравнения Лотки-Вольтерра при равновесной точке . Собственные значения матрицы сообщества определяют устойчивость точки равновесия.
Модель хищник – жертва Лотки – Вольтерры имеет вид
где x ( t ) обозначает количество добычи, y ( t ) количество хищников, а α , β , γ и δ - константы. По теореме Хартмана – Гробмана нелинейная система топологически эквивалентна линеаризации системы относительно точки равновесия ( x *, y *), которая имеет вид
где u = x - x * и v = y - y *. В математической биологии матрица Якоби вычисленная в точке равновесия ( x *, y *), называется матрицей сообщества. [1] По теореме об устойчивом многообразии , если одно или оба собственных значения имеют положительную действительную часть, тогда равновесие неустойчиво, но если все собственные значения имеют отрицательную действительную часть, то оно устойчиво.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Кот, Марк (2001). Элементы математической экологии . Издательство Кембриджского университета. п. 144. ISBN 0-521-00150-1.
- Мюррей, Джеймс Д. (2002), Математическая биология I. Введение , Междисциплинарная прикладная математика, 17 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95223-9.