Класс сопряженности

В математике , особенно в теории групп , два элемента и группы являются сопряженными , если существует элемент в группе такой, что Это отношение эквивалентности, классы эквивалентности которого называются классами сопряженности .${\ Displaystyle а}$${\ Displaystyle б}$${\ Displaystyle г}$${\ displaystyle b = g ^ {- 1} аг.}$

Члены одного и того же класса сопряженности нельзя различить, используя только структуру группы, и поэтому они имеют много общих свойств. Изучение классов сопряженности неабелевых групп является фундаментальным для изучения их строения. ^{[1] [2]} Для абелевой группы каждый класс сопряженности представляет собой множество, содержащее один элемент ( одноэлементное множество ).

Пусть будет группа. Два элемента сопряжены , если существует такой элемент , который в этом случае называется сопряженным и называется сопряженным${\ Displaystyle г}$${\ Displaystyle а, б \ в G}$${\ Displaystyle г \ в G}$${\ Displaystyle кляп ^ {- 1} = б,}$${\ Displaystyle б}$${\ Displaystyle а}$${\ Displaystyle а}$${\ Displaystyle б.}$

В случае общей линейной группы обратимых матриц отношение сопряженности называется матричным подобием .${\ Displaystyle \ OperatorName {GL} (п)}$

Легко показать, что сопряженность является отношением эквивалентности и, следовательно, разбивается на классы эквивалентности. (Это означает, что каждый элемент группы принадлежит ровно одному классу сопряженности, а классы и равны тогда и только тогда , когда и сопряжены, и не пересекаются в противном случае.) Класс эквивалентности, содержащий элемент , равен${\ Displaystyle г}$${\ Displaystyle \ OperatorName {Cl} (а)}$${\ Displaystyle \ OperatorName {Cl} (б)}$ ${\ Displaystyle а}$${\ Displaystyle б}$${\ Displaystyle а \ в G}$

На классы сопряженности можно ссылаться путем их описания или, более кратко, с помощью сокращений, таких как «6A», что означает «определенный класс сопряженности элементов 6-го порядка», а «6B» будет другим классом сопряженности элементов 6-го порядка. класс сопряженности 1A является классом сопряженности единицы. В некоторых случаях классы сопряженности могут быть описаны единообразно; например, в симметрической группе они могут быть описаны структурой цикла.

Два графа Кэли групп диэдра с классами сопряженности, выделенными цветом.

Таблица, показывающая все пары с (сравните нумерованный список ) . Каждая строка содержит все элементы класса сопряженности , а каждый столбец содержит все элементы класса сопряженности.${\ Displaystyle баб ^ {- 1}}$${\ Displaystyle (а, б)}$${\ Displaystyle а, б \ в S_ {4}}$ ${\ Displaystyle а,}$${\ Displaystyle S_ {4}.}$