Обратное (логика)

В логике и математике обращение категорического или импликативного утверждения является результатом обращения двух составляющих его утверждений. Для импликации P → Q обратным является Q → P . Для категорического предложения All S are P , обратное утверждение All P are S . В любом случае, истинность обратного обычно не зависит от истинности исходного утверждения. ^[1]

Импликативное обращение

Диаграмма Венна ( белая область показывает, где утверждение неверно)${\ Displaystyle А \ стрелка влево В}$

Пусть S будет утверждением формы P подразумевает Q ( P → Q ). Тогда обратное утверждение S - это утверждение, что Q подразумевает P ( Q → P ). В общем, истинность S ничего не говорит об истинности его обратного ^[2] , если только антецедент P и консеквент Q не являются логически эквивалентными.

Например, рассмотрим истинное утверждение «Если я человек, то я смертен». Обратное утверждение: «Если я смертен, то я человек», что не обязательно верно .

С другой стороны, обратное утверждение с взаимно включающими терминами остается верным при условии истинности исходного предложения. Это эквивалентно утверждению, что верно обратное определение. Таким образом, утверждение «Если я треугольник, то я трехсторонний многоугольник» логически эквивалентно утверждению «Если я трехсторонний многоугольник, то я треугольник», потому что определение «треугольника» таково: трехсторонний многоугольник».

Таблица истинности ясно показывает, что S и обратное S логически не эквивалентны, если только оба термина не подразумевают друг друга:

${\ Displaystyle Р}$	${\ Displaystyle Q}$	${\ Displaystyle Р \ стрелка вправо Q}$	${\ Displaystyle Р \ влево Q}$(обратное)
Т	Т	Т	Т
Т	Ф	Ф	Т
Ф	Т	Т	Ф
Ф	Ф	Т	Т

Переход от утверждения к обратному — это ошибка утверждения следствия . Однако, если утверждение S и его обратное утверждение эквивалентны (т . е. P истинно тогда и только тогда , когда Q также истинно), то утверждение консеквента будет верным.

Обратная импликация логически эквивалентна дизъюнкции и${\ Displaystyle Р}$${\ Displaystyle \ отрицательный Q}$

${\ Displaystyle Р \ влево Q}$	${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$	${\ Displaystyle Р}$	${\ Displaystyle \ лор}$	${\ Displaystyle \ отрицательный Q}$
	${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$		${\ Displaystyle \ лор}$

На естественном языке это можно было бы перевести как «не Q без P ».

Обращение теоремы

В математике обратной теоремой формы P → Q будет Q → P . Обратное может быть верным, а может и неверным, и даже если оно верно, доказательство может оказаться трудным. Например, теорема о четырех вершинах была доказана в 1912 г., а обратная — только в 1997 г. ^[3]

На практике при определении обратной математической теоремы аспекты антецедента могут быть приняты за установление контекста. То есть, обратным «данным P, если Q, то R » будет «данным P, если R, то Q » . Например, теорему Пифагора можно сформулировать так:

Дан треугольник со сторонами длины , и , если угол, противоположный стороне длины , является прямым углом, то .${\ Displaystyle а}$${\ Displaystyle б}$${\ Displaystyle с}$${\ Displaystyle с}$ ${\ Displaystyle а ^ {2} + Ь ^ {2} = с ^ {2}}$

Обратное, которое также появляется в «Элементах» Евклида (книга I, предложение 48), можно сформулировать так:

Дан треугольник со сторонами длины , и , если , то угол, противоположный стороне длины , является прямым углом.${\ Displaystyle а}$${\ Displaystyle б}$${\ Displaystyle с}$ ${\ Displaystyle а ^ {2} + Ь ^ {2} = с ^ {2}}$${\ Displaystyle с}$

Обратное отношение

Обратное простое математическое соотношение

Если это бинарное отношение с , то обратное отношение также называется транспонированием . ^[4]${\ Displaystyle Р}$${\ Displaystyle R \ subseteq A \ раз B,}$ ${\ Displaystyle R ^ {T} = \ {(б, а): (а, б) \ в R \}}$

Обозначение

Обратное значение P → Q может быть записано как Q → P , , но также может быть обозначено как , или «B pq » (в обозначениях Бохенского ). ^{[ нужна ссылка ]}${\ Displaystyle Р \ влево Q}$${\ Displaystyle Р \ подмножество Q}$

Категорический конверс

В традиционной логике процесс перехода от «Все S есть P» к обратному «Все P есть S» называется преобразованием . По словам Асы Махана :

«Исходное предложение называется exposita; когда оно преобразовано, оно называется обратным. Преобразование действительно тогда и только тогда, когда в обратном не утверждается ничего, что не утверждается или не подразумевается в exposita». ^[5]

«Экспозита» чаще называют «обращенным». В своей простой форме преобразование допустимо только для предложений E и I : ^[6]

Справедливость простой конверсии только для предложений E и I может быть выражена ограничением, что «ни один термин не должен распределяться в обратном, если он не распределяется в преобразуемом конце». ^[7] Для предложений E распределяются и подлежащее, и сказуемое , а для предложений I — ни то , ни другое.

Для суждений А подлежащее распределено, а предикат — нет, поэтому вывод из высказывания А к обратному ему недействителен. Например, для предложения А «Все кошки — млекопитающие» обратное утверждение «Все млекопитающие — кошки» очевидно ложно. Однако более слабое утверждение «Некоторые млекопитающие — кошки» верно. Логики определяют преобразование per accidens как процесс создания этого более слабого утверждения. Вывод от высказывания к его обратному per accidens , как правило, действителен. Однако, как и в случае с силлогизмами , этот переход от универсального к частному вызывает проблемы с пустыми категориями: «Все единороги — млекопитающие» часто принимают за истину,в то время как обратноеper accidens «Некоторые млекопитающие — единороги» явно ложны.

В исчислении предикатов первого порядка все S являются P могут быть представлены как . ^[8] Таким образом, ясно, что категорическое обращение тесно связано с импликативным обращением, и что S и P нельзя поменять местами в All S are P .${\ displaystyle \ forall xS (x) \ to P (x)}$

Смотрите также

• Аристотель
• Категорическое предложение # Преобразование
• Противопоставление
• Обратное (семантика)
• Вывод
• Инверсия (логика)
• Логическая связка
• Обверсия
• Силлогизм
• Логика терминов
• Транспозиция (логика)

использованная литература

дальнейшее чтение

• Аристотель . Органон .
• Копи, Ирвинг . Введение в логику . Макмиллан, 1953 год.
• Копи, Ирвинг. Символическая логика . Макмиллан, 1979, пятое издание.
• Стеббинг, Сьюзан . Современное введение в логику . Компания Кромвель, 1931 год.