Выпуклый ряд

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Май 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике, особенно в функциональном анализе и выпуклом анализе , выпуклый ряд - это ряд в форме, где все элементы топологического векторного пространства X , все являются неотрицательными действительными числами , сумма которых равна 1 (т . Е. ).${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {\ infty} r_ {я} x_ {я}}$${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots}$ ${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, \ ldots}$${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {\ infty} r_ {я} = 1}$

Типы выпуклых рядов [ править ]

Предположим , что S является подмножеством X и является выпуклым ряд в X . ${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {\ infty} r_ {я} x_ {я}}$

• Если все принадлежат S , то выпуклая серия называется выпуклой серии с элементами S .${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots}$${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {\ infty} r_ {я} x_ {я}}$
• Если множество является фон Неймана ограничена , то ряд называется B-выпуклой серии .${\ Displaystyle \ {x_ {1}, x_ {2}, \ ldots \}}$
• Выпуклый ряд называется сходящимся, если последовательность частичных сумм сходится в X к некоторому элементу X , который называется суммой выпуклого ряда .${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {\ infty} r_ {я} x_ {я}}$${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} r_ {i} x_ {i} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$
• Выпуклый ряд называется Коши, если он является рядом Коши, что по определению означает, что последовательность частичных сумм является последовательностью Коши .${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {\ infty} r_ {я} x_ {я}}$${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} r_ {i} x_ {i} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$

Типы подмножеств [ править ]

Выпуклые серии позволяют определять специальные типы подмножеств, которые хорошо себя ведут и полезны с очень хорошими свойствами стабильности.

Если S является подмножеством топологического векторного пространства X, то S называется:

• CS-замкнутым , если любая сходящаяся выпуклая серия с элементами S имеет (каждый) в сумму S .
  • В этом определении Х является не обязательно хаусдорфовым, и в этом случае сумма не может быть уникальной. В любом таком случае мы требуем , чтобы каждая сумма относится к S .
• cs-замкнутое снизу или lcs-замкнутое, если существует пространство Фреше Y такое, что S равно проекции на X (через каноническую проекцию) некоторого cs-замкнутого подмножества B в. Каждое cs-замкнутое множество является cs-замкнутым снизу и всякое нижнее cs-замкнутое множество является нижним идеально выпуклым и выпуклым (обратное, вообще говоря, неверно).${\ Displaystyle X \ раз Y}$
• в идеале выпуклой , если любая сходящаяся б-серии с элементами S имеет сумму в S .
• нижняя идеально выпуклая или li-выпуклая, если существует пространство Фреше Y такое, что S равно проекции на X (через каноническую проекцию) некоторого идеально выпуклого подмножества B из . Всякое идеально выпуклое множество идеально выпукло снизу. Любое нижнее идеально выпуклое множество выпукло, но обратное, вообще говоря, неверно.${\ Displaystyle X \ раз Y}$
• CS-полной , если любая серия Коши выпуклым с элементами S сходится и его сумма в S .
• BCS-полной , если любая б-выпуклой серии Коши с элементами S сходится и его сумма в S .

Пустое множество выпукло, идеально выпукло, BCS-полный, CS-полный и CS-закрыто.

Условия (Hx) и (Hwx) [ править ]

Если X и Y - топологические векторные пространства, A - это подмножество , а x - элемент X, то говорят, что A удовлетворяет: ${\ Displaystyle X \ раз Y}$

• Условие (Н х ) : Всякий раз , когда это выпуклая серия с элементами таким образом, что сходится в Y с суммой у и фундаментально, то сходится в X и его сумма х такова , что${\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {\ infty} r_ {i} (x_ {i}, y_ {i})}$${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {\ infty} r_ {я} y_ {я}}$${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {\ infty} r_ {я} x_ {я}}$${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {\ infty} r_ {я} x_ {я}}$${\ displaystyle (x, y) \ in A.}$
• Условие (Hw х ) : Всякий раз , когда это б-выпуклая серия с элементами таким образом, что сходится в Y с суммой у и фундаментально, то сходится в X и его сумма х такова , что${\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {\ infty} r_ {i} (x_ {i}, y_ {i})}$${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {\ infty} r_ {я} y_ {я}}$${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {\ infty} r_ {я} x_ {я}}$${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {\ infty} r_ {я} x_ {я}}$${\ displaystyle (x, y) \ in A.}$
  • Если X локально выпукло, то утверждение «и есть Коши» может быть удалено из определения условия (Hw x ).${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {\ infty} r_ {я} x_ {я}}$

Многофункциональность [ править ]

Используются следующие обозначения и понятия, где и являются мультифункциями и являются непустым подмножеством топологического векторного пространства X : ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}: X \ rightrightarrows Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}: Y \ rightrightarrows Z}$${\ Displaystyle S \ substeq X}$

• График${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ IS${\ displaystyle \ operatorname {gr} {\ mathcal {R}}: = \ left \ {(x, y) \ in X \ times Y: y \ in {\ mathcal {R}} (x) \ right \} .}$
• ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$является закрытым (соответственно, CS-замкнуты , снизить CS-замкнутый , выпуклый , идеально выпуклый , снизить идеально выпукло , CS-полный , BCS-полный ) , если то же самое можно сказать и о графике в${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$${\ displaystyle X \ times Y.}$
  • Обратите внимание, что выпукло тогда и только тогда, когда для всех и всех ,${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$${\ displaystyle x_ {0}, x_ {1} \ in X}$${\ Displaystyle г \ в [0,1]}$${\displaystyle r{\mathcal {R}}\left(x_{0}\right)+(1-r){\mathcal {R}}\left(x_{1}\right)\subseteq {\mathcal {R}}\left(rx_{0}+(1-r)x_{1}\right).}$
• Обратное${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ является многофункциональным определяется . Для любого подмножества ,${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}:Y\rightrightarrows X}$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}(y):=\left\{x\in X:y\in {\mathcal {R}}(x)\right\}}$${\displaystyle B\subseteq Y}$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}(B):=\cup _{y\in B}{\mathcal {R}}^{-1}(y).}$
• Домен${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ IS${\displaystyle \operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\left\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \emptyset \right\}.}$
• Образ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ IS . Для любого подмножества ,${\displaystyle \operatorname {Im} {\mathcal {R}}:=\cup _{x\in X}{\mathcal {R}}(x)}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle {\mathcal {R}}(A):=\cup _{x\in A}{\mathcal {R}}(x).}$
• Состав определяется для каждого${\displaystyle {\mathcal {S}}\circ {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Z}$${\displaystyle \left({\mathcal {S}}\circ {\mathcal {R}}\right)(x):=\cup _{y\in {\mathcal {R}}(x)}{\mathcal {S}}(y)}$${\displaystyle x\in X.}$

Отношения [ править ]

Пусть X , Y и Z топологические векторные пространства, , и следующие импликации:${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle T\subseteq Y}$${\displaystyle A\subseteq X\times Y.}$

полное cs-полное cs-замкнутое нижнее cs-замкнутое (lcs-замкнутое) и идеально выпуклое.${\displaystyle \implies }$${\displaystyle \implies }$${\displaystyle \implies }$

нижняя cs-замкнутая (lcs-замкнутая) или идеально выпуклая нижняя идеально выпуклая (li-выпуклая) выпуклая.${\displaystyle \implies }$${\displaystyle \implies }$

(H x ) (Hw x ) выпуклый.${\displaystyle \implies }$${\displaystyle \implies }$

Обратные выводы в общем случае неверны.

Если X полный, то

1. S является cs-полным (соответственно bcs-полным) тогда и только тогда, когда S является cs-замкнутым (соответственно идеально выпуклым).
2. A удовлетворяет (H x ) тогда и только тогда, когда A cs-замкнуто.
3. A удовлетворяет (Hw x ) тогда и только тогда, когда A идеально выпукла.

Если Y полно, то

1. A удовлетворяет (H x ) тогда и только тогда, когда A cs-полно.
2. A удовлетворяет (Hw x ) тогда и только тогда, когда A bcs-полно.
3. Если и тогда:${\displaystyle B\subseteq X\times Y\times Z}$${\displaystyle y\in Y}$
   1. B удовлетворяет (H (x, y) ) тогда и только тогда, когда B удовлетворяет (H x ).
   2. B удовлетворяет (Hw (x, y) ) тогда и только тогда, когда B удовлетворяет (Hw x ).

Если X локально выпукло и ограничено, то${\displaystyle \operatorname {Pr} _{X}(A)}$

1. Если A удовлетворяет (H x ), то cs-замкнуто.${\displaystyle \operatorname {Pr} _{X}(A)}$
2. Если A удовлетворяет (Hw x ), то идеально выпукло.${\displaystyle \operatorname {Pr} _{X}(A)}$

Сохраненные свойства [ править ]

Пусть линейное подпространство в X . Позвольте и быть многофункциональными . ${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$${\displaystyle {\mathcal {S}}:Y\rightrightarrows Z}$

• Если S является cs-замкнутым (соответственно идеально выпуклым) подмножеством X, то также является cs-замкнутым (соответственно идеально выпуклым) подмножеством${\displaystyle X_{0}\cap S}$${\displaystyle X_{0}.}$
• Если X сначала счетно, то он является cs-замкнутым (соответственно cs-полным) тогда и только тогда, когда он замкнут (соответственно полон); более того, если X локально выпукло, то замкнуто тогда и только тогда, когда оно идеально выпукло.${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X_{0}}$
• ${\displaystyle S\times T}$является CS-замкнутым (соответственно. CS-полной, идеально выпукло, BCS-полных) в том и только том случае , если то же самое верно и S в X и из T в Y .${\displaystyle X\times Y}$
• Свойства cs-замкнутости, cs-замкнутости снизу, идеально выпуклости, идеальной выпуклости снизу, cs-полноты и bcs-полноты сохраняются при изоморфизмах топологических векторных пространств.
• Таким же свойством обладает пересечение произвольного числа cs-замкнутых (соответственно идеально выпуклых) подмножеств X.
• Декартово произведение из CS-замкнутых (соотв. В идеале выпуклого) подмножества произвольного числа топологических векторных пространств имеет то же свойство (в продукте пространстве , наделенная топологией произведения ).
• Таким же свойством обладает пересечение счетного числа нижних идеально выпуклых (соответственно нижних cs-замкнутых) подмножеств X.
• Декартово произведение нижней идеально выпуклой (соотв. Опустить CS-замкнутое) подмножеств счетного множества топологических векторных пространств имеет то же свойство (в продукте пространстве , наделенное топологией произведения ).
• Предположим, что X - пространство Фреше, а A и B - подмножества. Если A и B идеально выпуклы снизу (соответственно, cs-замкнуты снизу), то A + B тоже .
• Пусть Х представляет собой пространство Фреше и является подмножеством X . Если A и идеально выпуклы снизу (соответственно, cs-замкнуты снизу), то таковы${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$${\displaystyle {\mathcal {R}}(A).}$
• Предположим, что Y - пространство Фреше и является многофункциональным. Если все нижние идеально выпуклые (соответственно нижние cs-замкнутые), то таковы и${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}:X\rightrightarrows Y}$${\displaystyle {\mathcal {R}},{\mathcal {R}}_{2},{\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}+{\mathcal {R}}_{2}:X\rightrightarrows Y}$${\displaystyle {\mathcal {S}}\circ {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Z.}$

Свойства [ править ]

Если S - непустое выпуклое подмножество топологического векторного пространства X, то

1. Если S замкнуто или открыто, то S cs-замкнуто.
2. Если X является Хаусдорфф и конечномерен , то S является CS-замкнутым.
3. Если Х является первым счетным и S идеально выпукло , то${\displaystyle \operatorname {int} S=\operatorname {int} \left(\operatorname {cl} S\right).}$

Пусть X - пространство Фреше , Y - топологическое векторное пространство , и - каноническая проекция. Если A идеально выпукла снизу (соответственно, cs-замкнута снизу), то то же самое верно и для${\displaystyle A\subseteq X\times Y}$${\displaystyle \operatorname {Pr} _{Y}:X\times Y\to Y}$${\displaystyle \operatorname {Pr} _{Y}(A).}$

Если X - это первое счетное пространство со стволом, а затем:${\displaystyle C\subseteq X}$

1. Если С ниже , идеально выпукло тогда , где обозначает алгебраический интерьер из C в X .${\displaystyle C^{i}=\operatorname {int} C}$${\displaystyle C^{i}:=\operatorname {aint} _{X}C}$
2. Если C идеально выпуклая, то${\displaystyle C^{i}=\operatorname {int} C=\operatorname {int} \left(\operatorname {cl} C\right)=\left(\operatorname {cl} C\right)^{i}.}$

См. Также [ править ]

• Теорема Урсеску

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Залинеску, C (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific. ISBN 981-238-067-1. OCLC  285163112 .CS1 maint: ref=harv (link)
• Баггс, Иван (1974). «Функции с замкнутым графом» . Труды Американского математического общества . 43 (2): 439–442. DOI : 10.1090 / S0002-9939-1974-0334132-8 . ISSN  0002-9939 .