Кулоновское столкновение

Кулоновское столкновение является бинарным упругим столкновением между двумя заряженными частицами , взаимодействующих через их собственное электрическое поле . Как и в случае любого закона обратных квадратов , результирующие траектории сталкивающихся частиц являются гиперболической кеплеровской орбитой . Этот тип столкновения обычен в плазме, где типичная кинетическая энергия частиц слишком велика, чтобы вызвать значительное отклонение от начальных траекторий сталкивающихся частиц, и вместо этого рассматривается кумулятивный эффект многих столкновений.

Математическая обработка плазмы [ править ]

В плазме кулоновское столкновение редко приводит к большому отклонению. Кумулятивный эффект множества столкновений под малым углом, однако, часто больше, чем эффект нескольких столкновений под большим углом, которые происходят, поэтому поучительно рассмотреть динамику столкновения в пределе малых отклонений.

Мы можем рассматривать электрон с зарядом и массой, проходящий через неподвижный ион с зарядом и гораздо большей массой на расстоянии со скоростью . Перпендикулярная сила находится на самом близком расстоянии, а продолжительность столкновения около . Произведение этих выражений, деленное на массу, и есть изменение перпендикулярной скорости:${\ displaystyle -e}$${\ displaystyle m_ {e}}$${\ displaystyle + Ze}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle Ze ^ {2} / 4 \ pi \ epsilon _ {0} b ^ {2}}$${\displaystyle b/v}$

${\displaystyle \Delta m_{e}v_{\perp }\approx {\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\,{\frac {1}{vb}}}$

Обратите внимание, что угол отклонения пропорционален . Быстрые частицы «скользкие» и поэтому доминируют во многих транспортных процессах. Эффективность согласованных по скорости взаимодействий также является причиной того, что продукты термоядерного синтеза имеют тенденцию нагревать электроны, а не (как хотелось бы) ионы. Если присутствует электрическое поле, более быстрые электроны ощущают меньшее сопротивление и становятся еще быстрее в процессе «убегания».${\displaystyle 1/v^{2}}$

Проходя через поле ионов с плотностью , электрон будет иметь много таких столкновений одновременно с различными параметрами удара (расстояние до иона) и направлениями. Кумулятивный эффект можно описать как диффузию перпендикулярного импульса. Соответствующая постоянная диффузии находится путем интегрирования квадратов индивидуальных изменений импульса. Частота столкновений с прицельным параметром между и равна , поэтому константа диффузии определяется выражением${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$${\displaystyle (b+\mathrm {d} b)}$${\displaystyle nv(2\pi b\mathrm {d} b)}$

${\displaystyle D_{v\perp }=\int \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\right)^{2}\,{\frac {1}{v^{2}b^{2}}}\,nv(2\pi b\,{\mathrm {d} }b)=\left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\right)^{2}\,{\frac {2\pi n}{v}}\,\int {\frac {{\mathrm {d} }b}{b}}}$

Очевидно, что интеграл расходится как в сторону малых, так и больших прицельных параметров. Расхождение при малых прицельных параметрах явно нефизично, поскольку в использованных здесь допущениях конечный перпендикулярный импульс не может принимать значение, превышающее начальный импульс. Принимая вышеуказанную оценку равной , мы находим нижнее пороговое значение прицельного параметра, равное примерно${\displaystyle \Delta m_{e}v_{\perp }}$${\displaystyle mv}$

${\displaystyle b_{0}={\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\,{\frac {1}{m_{e}v^{2}}}}$

Мы также можем использовать в качестве оценки сечения для столкновений под большими углами. При некоторых условиях существует более строгий нижний предел из-за квантовой механики, а именно длина волны де Бройля электрона, где - постоянная Планка .${\displaystyle \pi b_{0}^{2}}$${\displaystyle h/m_{e}v}$${\displaystyle h}$

При больших параметрах удара заряд иона экранируется тенденцией электронов к кластеризации по соседству с ионом и другими ионами, чтобы избежать этого. Таким образом, верхняя граница прицельного параметра должна быть приблизительно равна длине Дебая :

${\displaystyle \lambda _{D}={\sqrt {\frac {\epsilon _{0}kT_{e}}{n_{e}e^{2}}}}}$

Кулоновский логарифм [ править ]

Таким образом, интеграл дает логарифм отношения верхнего и нижнего отсечки. Это число известно как кулоновский логарифм и обозначается либо или . Это фактор, благодаря которому столкновения под малым углом более эффективны, чем столкновения под большим углом. Для многих представляющих интерес плазм он принимает значения от и до . (Удобные формулы см. На страницах 34 и 35 формуляра NRL Plasma .) Пределы интеграла прицельного параметра не являются точными, но они неопределенны с множителями порядка единицы, что приводит к теоретической неопределенности порядка . По этой причине часто бывает оправданным просто сделать удобный выбор.${\displaystyle 1/b}$${\displaystyle \ln \Lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle 5}$${\displaystyle 15}$${\displaystyle 1/\lambda }$${\displaystyle \lambda =10}$. Анализ здесь дает масштабирование и порядки величин. ^[1]

См. Также [ править ]

• Резерфордское рассеяние
• Список статей по плазме (физике)

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Эффекты ионизации [статья ApJ] Гордона Эмсли.
• [1] [Формуляр плазмы NRL, 2013 г.]