Коэффициент связи резонаторов - безразмерная величина, характеризующая взаимодействие двух резонаторов. Коэффициенты связи используются в теории резонаторных фильтров. Резонаторы могут быть как электромагнитными, так и акустическими. Коэффициенты связи вместе с резонансными частотами и внешними добротностями резонаторов являются обобщенными параметрами фильтров. Для настройки частотной характеристики фильтра достаточно оптимизировать только эти обобщенные параметры.
Эволюция термина
Этот термин был впервые введен в теорию фильтров М. Дишалем. [1] [ необходим непервичный источник ] В некоторой степени это аналог коэффициента связи связанных катушек индуктивности. Значение этого термина многократно улучшалось с развитием теории связанных резонаторов и фильтров . Более поздние определения коэффициента связи являются обобщениями или уточнениями предыдущих определений.
Коэффициент связи рассматривается как положительная константа
Ранее известные определения коэффициента связи резонаторов даны в монографии G. Matthaei et al . [2] Обратите внимание, что эти определения являются приблизительными, поскольку они сформулированы в предположении, что связь между резонаторами достаточно мала. Коэффициент связи для случая двух одинаковых резонаторов определяется формулой
(1)
где - частоты четных и нечетно связанных колебаний ненагруженной пары резонаторов иОчевидно, что коэффициент связи, определяемый формулой (2), является положительной константой, характеризующей взаимодействие резонаторов на резонансной частоте
В случае, когда соответствующая эквивалентная сеть, имеющая инвертор полного сопротивления или проводимости, нагруженная на обоих портах с резонансными однопортовыми сетями, может быть согласована с парой связанных резонаторов с равными резонансными частотами, коэффициент связи определяется формулой
(2)
для резонаторов последовательного типа и по формуле
(3)
для резонаторов параллельного типа. Здесь - параметры инвертора импеданса и инвертора проводимости, - параметры крутизны реактивного сопротивления первой и второй резонансных цепей последовательного типа на резонансной частоте а также являются реактивная параметры наклона первой и второй резонансных сетей параллельно-типа.
При резонаторах резонансных LC-контуров коэффициент связи в соответствии с (2) и (3) принимает значение
(4)
для цепей с индуктивной связью и величиной
(5)
для цепей с емкостной связью . Здесь является индуктивность и емкость первого контура, индуктивность и емкость второй цепи, а являются взаимная индуктивность и взаимная емкость . Формулы (4) и (5) давно известны в теории электрических сетей . Они представляют собой значения коэффициентов индуктивной и емкостной связи связанных резонансных LC-контуров.
Коэффициент связи рассматривается как константа, имеющая знак
Уточнение приближенной формулы (1) выполнено в [3] Точная формула имеет вид
(6)
При выводе этого выражения использовались формулы (4) и (5). Сейчас формула (6) общепризнанна. Это дано в высоко цитируемой монографии JS. Hong. [4] Видно, что коэффициент связи имеет отрицательное значение, если
В соответствии с новым определением (6) значение коэффициента индуктивной связи резонансных LC-контуров выражается формулой (4), как и раньше. Имеет положительное значение, когда и отрицательное значение, когда
Тогда как значение коэффициента емкостной связи резонансных LC-цепей всегда отрицательно. В соответствии с (6) формула (5) для коэффициента емкостной связи резонансных цепей принимает другой вид
(7)
Связь между электромагнитными резонаторами может осуществляться как магнитным, так и электрическим полем. Связь магнитным полем характеризуется индуктивным коэффициентом связи а связь электрическим полем характеризуется емкостным коэффициентом связи Обычно абсолютные значения а также монотонно затухают при увеличении расстояния между резонаторами. Скорость их распада может быть разной. Однако абсолютное значение их суммы может как уменьшаться во всем диапазоне расстояний, так и расти в некотором диапазоне расстояний. [5]
Суммирование коэффициентов индуктивной и емкостной связи производится по формуле [3]
(8)
Эта формула получена из определения (6) и формул (4) и (7).
Отметим, что знак коэффициента связи само по себе не имеет значения. Частотная характеристика фильтра не изменится, если одновременно поменять знаки всех коэффициентов связи. Однако знак важен при сопоставлении двух коэффициентов связи и особенно при суммировании индуктивных и емкостных коэффициентов связи.
Коэффициент связи, рассматриваемый как функция частоты вынужденных колебаний
Два связанных резонатора могут взаимодействовать не только на резонансных частотах. Это подтверждается способностью передавать энергию вынужденных колебаний от одного резонатора к другому резонатору. Поэтому правильнее было бы характеризовать взаимодействие резонаторов непрерывной функцией частоты вынужденных колебаний а не набор констант где - порядковый номер резонанса.
Очевидно, что функция должен соответствовать условию
(9)
Кроме того, функция должен стать нулевым на этих частотах где отсутствует передача высокочастотной мощности от одного резонатора к другому, т.е. должно выполняться второе условие
(10)
Нуль передачи возникает, в частности, в резонансных цепях со смешанной индуктивно-емкостной связью, когда Его частота выражается формулой [6]
. (11)
Определение функции которая обобщает формулу (6) и удовлетворяет условиям (9) и (10), была сформулирована на основе энергетического подхода в [6]. Эта функция выражается формулой (8) через частотно-зависимые коэффициенты индуктивной и емкостной связи. а также определяется формулами
(12)
(13)
Здесь обозначает энергию высокочастотного электромагнитного поля, запасенную обоими резонаторами. Бар надобозначает статическую составляющую высокочастотной энергии, а точка обозначает амплитуду колебательной составляющей высокочастотной энергии. Нижний индекс обозначает магнитную часть высокочастотной энергии, а нижний индекс обозначает электрическую часть высокочастотной энергии. Индексы 11, 12 и 22 обозначают части накопленной энергии, которые пропорциональны а также где - комплексная амплитуда высокочастотного напряжения на первом порте резонатора и - комплексная амплитуда напряжения на втором порте резонатора.
Явные функции частотно-зависимой индуктивной и емкостной связи для пары связанных резонансных контуров, полученные из (12) и (13), имеют вид [6] (14)
(15)
где - резонансные частоты первого и второго контуров, возмущенные муфтами. Видно, что значения этих функций при совпадают с константами а также определяется формулами (14) и (15). Кроме того, функция вычисленное по формулам (8), (14) и (15) обращается в нуль при определяется формулой (11).
Коэффициенты связи в теории фильтров
Полосовые фильтры со встроенной топологией связи
В монографии изложена теория СВЧ-узкополосных полосовых фильтров, обладающих чебышевской АЧХ. [2] В этих фильтрах резонансные частоты всех резонаторов настроены на центральную частоту полосы пропускания.Каждый резонатор связан максимум с двумя соседними резонаторами. Каждый из двух краевых резонаторов связан с одним соседним резонатором и одним из двух портов фильтра. Такая топология резонаторных связей называется линейной. В фильтрах со встроенной топологией связи существует только один путь передачи микроволновой энергии от входного порта к выходному.
Вывод приближенных формул для значений коэффициентов связи соседних резонаторов в фильтрах с встроенной топологией связи те, которые соответствуют заданным частотным характеристикам фильтра, приведены в [2] Здесь а также - порядковые номера связанных резонаторов в фильтре. Формулы были получены с использованием прототипа фильтров нижних частот, а также формул (2) и (3). Амплитудно-частотная характеристика фильтров-прототипов нижних частот характеризуется функцией Чебышева первого рода. Формулы были впервые опубликованы в [7]. Они имеют вид
(16)
где - нормализованные значения элементов прототипа, - порядок функции Чебышева, равный количеству резонаторов, являются граничными частотами.
Значения элементов прототипа для заданной полосы пропускания фильтра вычисляются по формулам
(17)
если даже,
если странно.
Здесь использованы следующие обозначения
(18)
где - требуемая пульсация полосы пропускания в дБ.
Формулы (16) являются приближенными не только потому, что использовались приближенные определения (2) и (3) для коэффициентов связи. Точные выражения для коэффициентов связи в прототипе фильтра были получены в [8]. Однако как прежние, так и уточненные формулы остаются приблизительными при разработке практических фильтров. Точность зависит как от конструкции фильтра, так и от конструкции резонатора. Точность улучшается, когда дробная полоса пропускания сужается.
Неточность формул (16) и их уточненного варианта обусловлена частотной дисперсией коэффициентов связи, которая может сильно различаться для разных структур резонаторов и фильтров. [9] Другими словами, оптимальные значения коэффициентов связи с частотой зависят как от характеристик требуемой полосы пропускания, так и от значений производных Это означает точные значения коэффициентов обеспечение требуемой полосы пропускания не может быть известно заранее. Их можно установить только после оптимизации фильтра. Следовательно, формулы (16) могут использоваться для определения начальных значений коэффициентов связи перед оптимизацией фильтра.
Приближенные формулы (16) позволяют также установить ряд универсальных закономерностей, касающихся фильтров с топологией inline-связи. Например, расширение полосы пропускания текущего фильтра требует приблизительно пропорционального приращения всех коэффициентов связи. Коэффициенты симметричны относительно центрального резонатора или центральной пары резонаторов даже в фильтрах, имеющих неравные характеристические импедансы линий передачи во входных и выходных портах. Значение коэффициента монотонно убывает при переходе от внешних пар резонаторов к центральной паре.
Реальные микроволновые фильтры с встроенной топологией связи, в отличие от их прототипов, могут иметь нули передачи в полосах задерживания. [10] Нули передачи значительно улучшают избирательность фильтра. Одна из причин возникновения нулей - частотная дисперсия коэффициентов связи.для одной или нескольких пар резонаторов, выражающихся в их исчезновении на частотах нулей пропускания. [11]
Полосовые фильтры с поперечными связями
Чтобы генерировать нули передачи в полосах задерживания с целью улучшения избирательности фильтра, в фильтрах часто выполняется ряд дополнительных связей помимо ближайших связей. Их называют перекрестными соединениями. Эти соединения создают основу для нескольких волновых путей от входного порта к выходному порту. Амплитуды волн, передаваемых разными путями, могут компенсироваться на некоторых отдельных частотах при суммировании на выходном порте. Такая компенсация приводит к нулям передачи.
В фильтрах с поперечными связями удобно охарактеризовать все фильтры в целом, используя матрицу связи. измерения ,. [4] [12] Он симметричен. Каждый его недиагональный элемент - коэффициент связи i- го и j- го резонаторов Каждый диагональный элемент - нормированная проводимость i- го резонатора. Все диагональные элементы в настроенном фильтре равны нулю, потому что на резонансной частоте чувствительность исчезает.
Важное достоинство матрицы заключается в том, что он позволяет напрямую вычислять частотную характеристику эквивалентной сети, имеющей индуктивно связанные резонансные контуры. [4] [12] Поэтому эту матрицу удобно использовать при разработке фильтров с перекрестной связью. Матрицы связи, в частности, используются как грубые модели фильтров. [13] Использование грубой модели позволяет во много раз ускорить оптимизацию фильтра, так как вычисление частотной характеристики для грубой модели не требует затрат процессорного времени по сравнению с вычислениями для реального фильтра.
Коэффициент связи в векторных полях
Поскольку коэффициент связи является функцией как взаимной индуктивности, так и емкости, его также можно выразить через векторные поля а также . Хонг предположил, что коэффициент связи является суммой нормированных интегралов перекрытия [14] [15]
(19)
где
(20)
а также
(21)
Напротив, на основе формализма связанных мод Авай и Чжан вывели выражения для который выступает за использование отрицательного знака, т. е. [16] [17]
(22)
Формулы (19) и (22) являются приближенными. Они соответствуют точной формуле (8) только в случае недельной связи. Формулы (20) и (21), в отличие от формул (12) и (13), также являются приближенными, поскольку они не описывают частотную дисперсию, которая часто может проявляться в виде нулей пропускания в частотной характеристике многорезонаторной полосы пропускания. фильтр.
Используя уравнение движения Лагранжа, было продемонстрировано, что взаимодействие между двумя резонаторами с расщепленным кольцом, которые образуют метадимер, зависит от разницы между двумя членами. В этом случае связанная энергия выражалась через поверхностный заряд и плотность тока. [18] [19] [20]
Недавно на основе теории связанных мод по энергии (ECMT) [21] , формализма связанных мод в форме задачи на собственные значения, было показано, что коэффициент связи действительно является разницей между магнитной и электрической составляющими. а также [22] Используя теорему Пойнтинга в ее микроскопической форме, было показано, что можно выразить через энергию взаимодействия между модами резонаторов.
Рекомендации
- ^ Дишал М. (сентябрь 1949 г.) "Разработка диссипативных полосовых фильтров, обеспечивающих желаемые точные амплитудно-частотные характеристики", Proc. IRE , Vol. 37, № 9, С. 1050–1069.
- ^ a b c Matthaei, GL, Young, L., Jones, EMT "Микроволновые фильтры, схемы согласования импеданса и соединительные структуры", Artech House, Inc., Норвуд. (1980) 1096 с.
- ^ a b Тюрнев В.В., Беляев Б.А. Взаимодействие параллельных микрополосковых резонаторов. Электронная техника. Сер. Elektronika СВЧ , выпуск 4 (428), P. 25-30 ( на русском языке ).
- ^ a b c Хонг, Дж. С., "Микрополосковые фильтры для ВЧ / микроволновых приложений", Hoboken, John Wiley & Sons, (2011).
- ^ Беляев, Б.А., Титов, М.М., Тюрнев, В.В. (2000) "Коэффициент связи нерегулярных микрополосковых резонаторов", Радиофизика и квантовая электроника , Vol. 43, № 8, С. 649–653.
- ^ a b c Тюрнев В.В. (2002) "Коэффициенты связи асимметричной пары микроволновых резонаторов", Журнал коммуникационных технологий и электроники , Vol. 47, № 1, С. 1–8.
- ^ Cohn, SB (1957) "Прямой резонаторный фильтр", Proc. IRE , Vol. 45, № 2, С. 187–196.
- ^ Tyurnev, В. В. (2008). «Прямой вывод и уточнение обобщенных формул Кона-Маттеи для коэффициентов связи резонатора в микроволновом фильтре». Журнал коммуникационных технологий и электроники . Pleiades Publishing Ltd. 53 (5): 554–557. DOI : 10.1134 / s1064226908050112 . ISSN 1064-2269 . S2CID 120625658 .
- ^ Тюрнев, В.В. (2009). «Влияние частотной дисперсии коэффициентов связи резонаторов на точность формул прямого синтеза СВЧ-фильтров». Журнал коммуникационных технологий и электроники . Плеядес Паблишинг Лтд. 54 (3): 298–301. DOI : 10.1134 / s1064226909030073 . ISSN 1064-2269 . S2CID 121778094 .
- ^ Беляев, Б.А., Лексиков, А.А., Тюрнев, В.В. (2004) "Частотно-избирательные особенности многосекционных фильтров на основе регулярных микрополосковых резонаторов", Журнал коммуникационных технологий и электроники , Vol. 49, №11, С. 1228–1236.
- ↑ Беляев Б.А., Тюрнев В.В. (1992). Частотно-зависимые коэффициенты связи микрополосковых резонаторов. Электронная техника. Сер. СВЧ-техника , выпуск 4 (448), P. 23-27 ( на русском языке ).
- ^ a b Кэмерон, Р. Дж., Кудсия, К. М., Мансур, Р. Р. "Микроволновые фильтры для систем связи: основы, дизайн и приложения", Хобокен, John Wiley & Sons, Inc., (2007) 771 стр.
- ^ Amari, S .; LeDrew, C .; Мензель, В. (2006). «Оптимизация отображения пространства плоских СВЧ-фильтров со связанными резонаторами» . Протоколы IEEE по теории и методам микроволнового излучения . Институт инженеров по электротехнике и радиоэлектронике (IEEE). 54 (5): 2153–2159. DOI : 10.1109 / tmtt.2006.872811 . ISSN 0018-9480 . S2CID 14743641 .
- ^ Хонг, Ж.-С. (2000). «Связи асинхронно перестраиваемых связанных СВЧ-резонаторов». Труды IEE - Микроволны, антенны и распространение . Институт инженерии и технологий (ИЭПП). 147 (5): 354. doi : 10.1049 / ip-map: 20000675 . ISSN 1350-2417 .
- ^ Дж. С. Хонг, Микрополосковые фильтры для ВЧ / СВЧ-приложений, Серия Wiley в СВЧ и оптической технике, 2-е изд. (Уайли, Нью-Йорк, 2011).
- ^ I. Awai и Y. Zhang, Electron. Commun. Jpn. Часть 2, Электрон. 90, 11 (2007).
- ^ I. Awai, IECIE Trans. Электрон. E88-C, 2295 (2005).
- ^ Пауэлл, Дэвид А .; Лапин, Михаил; Горкунов, Максим В .; Шадривов, Илья В .; Кившарь, Юрий С. (19.10.2010). «Настройка метаматериала путем манипулирования ближнеполевым взаимодействием» . Physical Review B . Американское физическое общество (APS). 82 (15): 155128. DOI : 10,1103 / physrevb.82.155128 . ISSN 1098-0121 . S2CID 377538 .
- ^ Пауэлл, Дэвид А .; Ханнэм, Кирсти; Шадривов, Илья В .; Кившарь, Юрий С. (15.06.2011). «Ближнепольное взаимодействие скрученных кольцевых резонаторов». Physical Review B . Американское физическое общество (APS). 83 (23): 235420. DOI : 10,1103 / physrevb.83.235420 . ЛВП : 1885/70482 . ISSN 1098-0121 . S2CID 14597484 .
- ^ Liu, H .; Генов Д.А.; Ву, DM; Лю, Ю.М.; Лю, ZW; Sun, C .; Чжу, СН; Чжан, X. (14 августа 2007 г.). «Магнитная плазмонная гибридизация и оптическая активность на оптических частотах в металлических наноструктурах». Physical Review B . Американское физическое общество (APS). 76 (7): 073101. DOI : 10,1103 / physrevb.76.073101 . ISSN 1098-0121 .
- ^ Elnaggar, Sameh Y .; Терво, Ричард Дж .; Маттар, Саба М. (2015). "Теория связанных мод для электромагнитных резонаторов". Протоколы IEEE по теории и методам микроволнового излучения . Институт инженеров по электротехнике и радиоэлектронике (IEEE). 63 (7): 2115–2123. arXiv : 1305.6085 . DOI : 10.1109 / tmtt.2015.2434377 . ISSN 0018-9480 . S2CID 17850310 .
- ^ Elnaggar, Sameh Y .; Терво, Ричард Дж .; Маттар, Саба М. (21 ноября 2015 г.). «Общие выражения и физическая природа коэффициента связи произвольно настроенных связанных электромагнитных резонаторов». Журнал прикладной физики . Издательство AIP. 118 (19): 194901. DOI : 10,1063 / 1,4935634 . ISSN 0021-8979 .
Внешние ссылки
- Тюрнев, В.В. (2010) "Коэффициенты связи резонаторов в теории микроволновых фильтров", Progress In Electromagnetics Research B , Vol. 21. С. 47–67.