Резонанс

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Ведущий раздел этой статьи может неадекватно резюмировать ее содержание . Чтобы соответствовать рекомендациям Википедии по разделу лидов , рассмотрите возможность изменения лида, чтобы обеспечить доступный обзор ключевых моментов статьи таким образом, чтобы он мог стоять сам по себе как краткая версия статьи. ( Январь 2021 г. ) Эта статья написана как исследовательская статья или научный журнал, в котором могут использоваться чрезмерно технические термины, или же она может быть написана не как энциклопедическая статья . Пожалуйста, помогите улучшить его , переписав в энциклопедическом стиле . ( Январь 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Resonance»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( январь 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) ... ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Увеличение амплитуды по мере уменьшения демпфирования и приближения частоты к резонансной частоте управляемого демпфированного простого гармонического осциллятора . ^{[1] [2]}

Резонанс описывает явление повышенной амплитуды , которое происходит , когда частота из периодически приложенной силы (или компонент Фурье от него) равна или близка к собственной частоте системы , на которой она действует. Когда осциллирующая сила применяется на резонансной частоте динамической системы, система будет колебаться с большей амплитудой, чем при приложении той же силы на других, нерезонансных частотах. ^[3]

Частоты, при которых амплитуда отклика является относительным максимумом , также известны как резонансные частоты или резонансные частоты системы. ^[3] Небольшие периодические силы, которые находятся около резонансной частоты системы, могут вызывать колебания большой амплитуды в системе из-за накопления колебательной энергии .

Явления резонанса происходят со всеми типами колебаний или волн : есть механический резонанс , акустический резонанс , электромагнитный резонанс, ядерный магнитный резонанс (ЯМР), электронный спиновый резонанс (ESR) и резонанс квантовых волновых функций . Резонансные системы могут использоваться для генерации колебаний определенной частоты (например, музыкальные инструменты ) или выделения определенных частот из сложной вибрации, содержащей множество частот (например, фильтров).

Термин « резонанс» (от латинского « резонантиа » - «эхо», от « резонар» - « резонанс ») возник из области акустики, в частности, симпатического резонанса, наблюдаемого в музыкальных инструментах, например, когда одна струна начинает вибрировать и издавать звук после другой. поражен. Другой пример, электрический резонанс , возникает в цепи с конденсаторами и катушками индуктивности.потому что коллапсирующее магнитное поле индуктора генерирует электрический ток в его обмотках, который заряжает конденсатор, а затем разряжающийся конденсатор обеспечивает электрический ток, который создает магнитное поле в индукторе. После того, как цепь заряжена, колебания становятся самоподдерживающимися, и нет никакого внешнего периодического движения. ^{[ требуется пояснение ]} Это аналог механического маятника , где механическая энергия преобразуется туда и обратно между кинетической и потенциальной , и обе системы являются формами простых гармонических осцилляторов .

Обзор [ править ]

Резонанс возникает, когда система способна хранить и легко передавать энергию между двумя или более различными режимами хранения (например, кинетическая энергия и потенциальная энергия в случае простого маятника). Однако от цикла к циклу возникают некоторые потери, называемые демпфированием . Когда демпфирование невелико, резонансная частота приблизительно равна собственной частоте системы, которая является частотой невынужденных колебаний. Некоторые системы имеют несколько различных резонансных частот.

Примеры [ править ]

Знакомый пример - качели на детской площадке , которые действуют как маятник . Если подтолкнуть человека к качанию во времени с естественным интервалом качания (его резонансная частота), качели будут становиться все выше и выше (максимальная амплитуда), в то время как попытки подтолкнуть качели в более быстром или медленном темпе создают меньшие дуги. Это потому, что энергия, поглощаемая качелями, максимальна, когда толчки соответствуют собственным колебаниям качелей.

Резонанс широко встречается в природе и используется во многих искусственных устройствах. Это механизм, с помощью которого генерируются практически все синусоидальные волны и вибрации. Многие звуки, которые мы слышим, например, при ударе о твердые предметы из металла , стекла или дерева , вызваны кратковременными резонансными колебаниями объекта. Свет и другое коротковолновое электромагнитное излучение создается резонансом в атомном масштабе , например электроны в атомах. Другие примеры резонанса:

• Механизмы хронометража современных часов, например, балансир в механических часах и кристалл кварца в кварцевых часах.
• Приливные резонанс в заливе Фанди
• Акустические резонансы из музыкальных инструментов и человеческого голосового тракта
• Разрушение хрустального бокала при воздействии музыкального тона правильного тона (его резонансной частоты)
• Идиофоны трения , например, заставляют стеклянный предмет (стакан, бутылку, вазу) вибрировать , потирая его ободок кончиком пальца.
• Электрический резонанс из настроенных цепей в радиоприемниках и телевизорах , которые позволяют радиочастотам быть селективно получены
• Создание когерентного света за счет оптического резонанса в лазерном резонаторе
• Орбитальный резонанс на примере некоторых спутников в Солнечной системе «ы газовых гигантов
• Материальные резонансы в атомном масштабе являются основой нескольких спектроскопических методов, используемых в физике конденсированного состояния.
  • Электронный спиновой резонанс
  • Эффект Мёссбауэра
  • Ядерный магнитный резонанс

Линейные системы [ править ]

Резонанс проявляется во многих линейных и нелинейных системах как колебания вокруг точки равновесия. Когда система приводится в действие синусоидальным внешним входом, измеренный выходной сигнал системы может колебаться в ответ. Отношение амплитуды установившихся колебаний выхода к колебаниям входа называется усилением, и коэффициент усиления может быть функцией частоты синусоидального внешнего входа. Пики усиления на определенных частотах соответствуют резонансам, где амплитуда колебаний измеряемого выхода непропорционально велика.

Поскольку многие линейные и нелинейные системы, которые колеблются, моделируются как гармонические осцилляторы вблизи их положений равновесия, этот раздел начинается с определения резонансной частоты для управляемого, затухающего гармонического осциллятора. Затем в этом разделе используется схема RLC для иллюстрации связи между резонансом и передаточной функцией системы, частотной характеристикой, полюсами и нулями. Основываясь на примере схемы RLC, в разделе затем обобщаются эти отношения для линейных систем более высокого порядка с несколькими входами и выходами.

Управляемый, затухающий гармонический осциллятор [ править ]

Рассмотрим амортизированную массу на пружине, приводимую в действие синусоидальной внешней силой. Второй закон Ньютона принимает вид

${\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = F_ {0} \ sin (\ omega t) -kx-c {\ гидроразрыв {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}},}$

( 1 )

где m - масса, x - смещение массы от точки равновесия, F ₀ - амплитуда движения, ω - угловая частота движения, k - жесткость пружины, c - коэффициент вязкого демпфирования. Это можно переписать в виде

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + 2 \ zeta \ omega _ {0} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} + \ omega _ {0} ^ {2} x = {\ frac {F_ {0}} {m}} \ sin (\ omega t),}$

( 2 )

где

${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}}$называется незатухающей угловой частотой генератора или собственной частотой ,

${\ displaystyle \ zeta = {\ frac {c} {2 {\ sqrt {mk}}}}}$называется коэффициентом затухания .

Многие источники также относятся к ш ₀ в качестве резонансной частоты . Однако, как показано ниже, при анализе колебаний смещения x ( t ) резонансная частота близка к ω _0, но не совпадает с ней . Обычно резонансная частота близка к собственной частоте, но не обязательно совпадает с ней. ^[4] Пример схемы RLC в следующем разделе дает примеры различных резонансных частот для одной и той же системы.

Общее решение уравнения ( 2 ) представляет собой сумму переходного решения, которое зависит от начальных условий, и решения в установившемся режиме, которое не зависит от начальных условий и зависит только от амплитуды возбуждения F ₀ , частоты возбуждения ω , незатухающей угловой частоты ω _0. , и коэффициент затухания ζ . Переходное решение распадается за относительно короткий промежуток времени, поэтому для изучения резонанса достаточно рассмотреть стационарное решение.

Можно записать стационарное решение для x ( t ) как функцию, пропорциональную движущей силе с индуцированным изменением фазы φ ,

${\ displaystyle x (t) = {\ frac {F_ {0}} {m {\ sqrt {\ left (2 \ omega \ omega _ {0} \ zeta \ right) ^ {2} + (\ omega _ { 0} ^ {2} - \ omega ^ {2}) ^ {2}}}}} \ sin (\ omega t + \ varphi),}$

( 3 )

где

${\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {2\omega \omega _{0}\zeta }{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\right)+n\pi .}$

Значение фазы обычно принимается между -180 ° и 0, поэтому оно представляет собой фазовую задержку как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента arctan.

Установившееся изменение амплитуды с относительной частотой и затуханием управляемого простого гармонического осциллятора${\displaystyle \omega /\omega _{0}}$${\displaystyle \zeta }$

Резонанс возникает, когда на определенных частотах возбуждения установившаяся амплитуда x ( t ) велика по сравнению с ее амплитудой на других частотах возбуждения. Для массы на пружине резонанс физически соответствует колебаниям массы, имеющим большие смещения от положения равновесия пружины на определенных частотах движения. Рассматривая амплитуду x ( t ) как функцию частоты возбуждения ω , амплитуда максимальна на частоте возбуждения

${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}.}$

ω _r - резонансная частота для этой системы. Снова отметим, что резонансная частота не равна незатухающей угловой частоте ω ₀ генератора. Они пропорциональны, и если коэффициент демпфирования стремится к нулю, они одинаковы, но для ненулевого демпфирования они не имеют одинаковой частоты. Как показано на рисунке, резонанс также может возникать на других частотах, близких к резонансной, включая ω ₀ , но максимальный отклик находится на резонансной частоте.

Также обратите внимание, что ω _r является действительным и отличным от нуля, если , поэтому эта система может резонировать только тогда, когда гармонический осциллятор значительно недемпфирован. Для систем с очень малым коэффициентом демпфирования и частотой возбуждения, близкой к резонансной частоте, установившиеся колебания могут стать очень большими.${\displaystyle \zeta <1/{\sqrt {2}}}$

Маятник [ править ]

Для других приводимых в действие затухающих гармонических осцилляторов, уравнения движения которых не выглядят точно так же, как масса на примере пружины, резонансная частота остается

${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}},}$

но определения ω ₀ и ζ меняются в зависимости от физики системы. Для маятника длиной l и малым углом смещения θ уравнение ( 1 ) принимает вид

${\displaystyle ml{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}=F_{0}\sin(\omega t)-mg\theta -cl{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}}$

и поэтому

${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {g}{l}}},}$

${\displaystyle \zeta ={\frac {c}{2m}}{\sqrt {\frac {l}{g}}}.}$

Цепи серии RLC [ править ]

Этот раздел может быть слишком длинным и излишне подробным. Пожалуйста, рассмотрите возможность обобщения материала со ссылкой на источники по мере необходимости. ( Январь 2021 г. )

Рассмотрим схему , состоящую из резистора с сопротивлением R , в катушке индуктивности с индуктивностью L , и конденсатор с емкостью С , соединенного последовательно с током я ( т ) и приводится в действие напряжением источника с напряжением V _в ( т ). Падение напряжения в цепи равно

${\displaystyle L{\frac {di(t)}{dt}}+Ri(t)+V(0)+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}i(\tau )d\tau =v_{in}(t).}$

( 4 )

Вместо того, чтобы анализировать возможное решение этого уравнения, как в приведенном выше примере с пружиной, в этом разделе будет проанализирована частотная характеристика этой схемы. Взяв преобразование Лапласа уравнения ( 4 ),

${\displaystyle sLI(s)+RI(s)+{\frac {1}{sC}}I(s)=V_{in}(s),}$

где I ( s ) и V _in ( s ) - это преобразование Лапласа тока и входного напряжения соответственно, а s - параметр комплексной частоты в области Лапласа. Переставляя сроки,

${\displaystyle I(s)={\frac {s}{s^{2}L+Rs+{\frac {1}{C}}}}V_{in}(s).}$

Напряжение на конденсаторе [ править ]

Последовательная схема RLC предоставляет несколько вариантов измерения выходного напряжения. Предположим, что интересующее выходное напряжение - это падение напряжения на конденсаторе. Как показано выше, в области Лапласа это напряжение равно

${\displaystyle V_{out}(s)={\frac {1}{sC}}I(s)}$

или же

${\displaystyle V_{out}={\frac {1}{LC(s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}})}}V_{in}(s).}$

Определите для этой схемы собственную частоту и коэффициент демпфирования,

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}},}$

${\displaystyle \zeta ={\frac {R}{2}}{\sqrt {\frac {C}{L}}}.}$

Отношение выходного напряжения к входному становится равным

${\displaystyle H(s)\triangleq {\frac {V_{out}(s)}{V_{in}(s)}}={\frac {\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}}$

H ( s ) - передаточная функция между входным напряжением и выходным напряжением. Обратите внимание, что эта передаточная функция имеет два полюса - корни полинома в знаменателе передаточной функции - в точке

${\displaystyle s=-\zeta \omega _{0}\pm i\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$

( 5 )

и отсутствие корней-нулей многочлена в числителе передаточной функции. Кроме того, обратите внимание, что для ζ ≤ 1 величина этих полюсов является собственной частотой ω _0, а для ζ <1 /${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ , нашего условия резонанса в примере гармонического осциллятора, полюса ближе к мнимой оси, чем к действительной оси. ось.

Оценивая H ( s ) по мнимой оси s = iω , передаточная функция описывает частотную характеристику этой цепи. Эквивалентно, частотная характеристика может быть проанализирована с помощью преобразования Фурье уравнения ( 4 ) вместо преобразования Лапласа. Передаточная функция, которая также является сложной, может быть записана как усиление и фаза,

${\displaystyle H(i\omega )=G(\omega )e^{i\Phi (\omega )}.}$

Синусоидальное входное напряжение на частоте ω приводит к выходному напряжению на той же частоте, которая была масштабирована с помощью G ( ω ), и имеет фазовый сдвиг Φ ( ω ). Коэффициент усиления и фаза могут быть нанесены на график Боде в зависимости от частоты . Для напряжения конденсатора цепи RLC коэффициент усиления передаточной функции H ( iω ) равен

${\displaystyle G(\omega )={\frac {\omega _{0}^{2}}{\sqrt {\left(2\omega \omega _{0}\zeta \right)^{2}+(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}.}$

( 6 )

Обратите внимание на сходство между усилением здесь и амплитудой в уравнении ( 3 ). И снова усиление максимизируется на резонансной частоте.

${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}.}$

Здесь резонанс физически соответствует наличию относительно большой амплитуды для установившихся колебаний напряжения на конденсаторе по сравнению с его амплитудой на других частотах возбуждения.

Напряжение на катушке индуктивности [ править ]

Резонансная частота не всегда должна иметь форму, приведенную в примерах выше. Для схемы RLC предположим, что интересующее выходное напряжение - это напряжение на катушке индуктивности. Как показано выше, в области Лапласа напряжение на катушке индуктивности равно

${\displaystyle V_{out}(s)=sLI(s),}$

${\displaystyle V_{out}(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}}}V_{in}(s),}$

${\displaystyle V_{out}(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}V_{in}(s),}$

используя те же определения для ω ₀ и ζ, что и в предыдущем примере. Передаточная функция между V _in ( s ) и этим новым V _out ( s ) через катушку индуктивности равна

${\displaystyle H(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}.}$

Обратите внимание, что эта передаточная функция имеет те же полюса, что и передаточная функция в предыдущем примере, но также имеет два нуля в числителе при s = 0 . Оценивая H ( s ) вдоль мнимой оси, его коэффициент усиления становится

${\displaystyle G(\omega )={\frac {\omega ^{2}}{\sqrt {\left(2\omega \omega _{0}\zeta \right)^{2}+(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}.}$

По сравнению с усилением в уравнении ( 6 ) с использованием напряжения конденсатора в качестве выходного сигнала, это усиление имеет коэффициент ω ² в числителе и, следовательно, будет иметь другую резонансную частоту, которая максимизирует усиление. Эта частота

${\displaystyle \omega _{r}={\frac {\omega _{0}}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}},}$

Таким образом, для той же цепи RLC, но с напряжением на катушке индуктивности в качестве выхода, резонансная частота теперь больше, чем собственная частота, хотя она все еще стремится к собственной частоте, поскольку коэффициент демпфирования стремится к нулю. То, что одна и та же схема может иметь разные резонансные частоты для разных вариантов выхода, не противоречит. Как показано в уравнении ( 4) падение напряжения в цепи делится между тремя элементами схемы, и каждый элемент имеет разную динамику. Напряжение конденсатора растет медленно, интегрируя ток с течением времени, и поэтому он более чувствителен к более низким частотам, тогда как напряжение катушки индуктивности растет при быстром изменении тока и, следовательно, более чувствительно к более высоким частотам. В то время как цепь в целом имеет собственную частоту, на которой она имеет тенденцию к колебаниям, разная динамика каждого элемента цепи заставляет каждый элемент резонировать с немного другой частотой.

Напряжение на резисторе [ править ]

Предположим, что интересующее выходное напряжение - это напряжение на резисторе. В области Лапласа напряжение на резисторе равно

${\displaystyle V_{out}(s)=RI(s),}$

${\displaystyle V_{out}(s)={\frac {Rs}{L(s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}})}}V_{in}(s),}$

и используя ту же собственную частоту и коэффициент демпфирования, что и в примере конденсатора, передаточная функция равна

${\displaystyle H(s)={\frac {2\zeta \omega _{0}s}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}.}$

Обратите внимание, что эта передаточная функция также имеет те же полюса, что и предыдущие примеры схемы RLC, но у нее есть только один ноль в числителе при s = 0. Для этой передаточной функции ее коэффициент усиления равен

${\displaystyle G(\omega )={\frac {2\zeta \omega _{0}\omega }{\sqrt {\left(2\omega \omega _{0}\zeta \right)^{2}+(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}.}$

Резонансная частота, которая максимизирует это усиление, равна

${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0},}$

и коэффициент усиления один на этой частоте, так что напряжение на резисторе резонирует на собственной частоте цепи и на этой частоте амплитуды напряжения на резисторе равна амплитуде входного напряжения в.

Антирезонанс [ править ]

Некоторые системы проявляют антирезонанс, который можно анализировать так же, как резонанс. Для антирезонанса амплитуда отклика системы на определенных частотах непропорционально мала, а не непропорционально велика. В примере схемы RLC это явление можно наблюдать, анализируя как катушку индуктивности, так и конденсатор вместе.

Предположим, что интересующее выходное напряжение в цепи RLC - это напряжение на катушке индуктивности и конденсаторе, соединенных последовательно. Уравнение ( 4 ) показало, что сумма напряжений на трех элементах схемы суммируется с входным напряжением, поэтому измерение выходного напряжения как суммы объединенных напряжений катушки индуктивности и конденсатора равно v _в минус падение напряжения на резисторе. . Предыдущий пример показал, что на собственной частоте системы амплитуда падения напряжения на резисторе равна амплитуде v _in , и поэтому напряжение на катушке индуктивности и конденсаторе вместе имеет нулевую амплитуду. Мы можем показать это с помощью передаточной функции.

Сумма напряжений катушки индуктивности и конденсатора равна

${\displaystyle V_{out}(s)=(sL+{\frac {1}{sC}})I(s),}$

${\displaystyle V_{out}(s)={\frac {s^{2}+{\frac {1}{LC}}}{s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}}}V_{in}(s).}$

Используя ту же собственную частоту и коэффициенты демпфирования, что и в предыдущих примерах, передаточная функция равна

${\displaystyle H(s)={\frac {s^{2}+\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}.}$

Обратите внимание, что эта передача имеет те же полюса, что и предыдущие примеры, но имеет нули в

${\displaystyle s=\pm i\omega _{0}.}$

( 7 )

Оценивая передаточную функцию вдоль мнимой оси, ее коэффициент усиления равен

${\displaystyle G(\omega )={\frac {\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}{\sqrt {\left(2\omega \omega _{0}\zeta \right)^{2}+(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}.}$

Вместо того, чтобы искать резонанс, то есть пики усиления, обратите внимание, что усиление стремится к нулю при ω = ω ₀ , что дополняет наш анализ напряжения резистора. Это называется антирезонансом , который имеет эффект, противоположный резонансу. Вместо того, чтобы давать непропорционально большие выходы на этой частоте, эта схема с таким выбором выхода не имеет вообще никакой реакции на этой частоте. Частота, которая отфильтровывается, точно соответствует нулям передаточной функции, которые были показаны в уравнении ( 7 ) и находились на мнимой оси.

Взаимосвязь между резонансом и частотной характеристикой в ​​примере последовательной цепи RLC [ править ]

Эти примеры схем RLC показывают, как резонанс связан с частотной характеристикой системы. В частности, эти примеры иллюстрируют:

• Как можно найти резонансные частоты, ища пики в коэффициенте усиления передаточной функции между входом и выходом системы, например, на графике амплитуды Боде
• Как резонансная частота для одной системы может отличаться для разных вариантов выхода системы
• Связь между собственной частотой системы, коэффициентом демпфирования системы и резонансной частотой системы.
• Связь между собственной частотой системы и величиной полюсов передаточной функции, указанная в уравнении ( 5 ), и, следовательно, связь между полюсами и резонансной частотой
• Связь между нулями передаточной функции и формой усиления в зависимости от частоты, и, следовательно, связь между нулями и резонансной частотой, которая максимизирует усиление.
• Связь нулей передаточной функции с антирезонансом

В следующем разделе эти концепции распространяются на резонанс в общей линейной системе.

Обобщающий резонанс и антирезонанс для линейных систем [ править ]

Затем рассмотрим произвольную линейную систему с несколькими входами и выходами. Например, в представлении в пространстве состояний линейная инвариантная во времени система третьего порядка с тремя входами и двумя выходами может быть записана как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\\{\dot {x}}_{3}\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\x_{3}(t)\end{bmatrix}}+B{\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\u_{3}(t)\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}(t)\\y_{2}(t)\end{bmatrix}}=C{\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\x_{3}(t)\end{bmatrix}}+D{\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\u_{3}(t)\end{bmatrix}},}$

где u _i ( t ) - входы, x _i (t) - переменные состояния, y _i ( t ) - выходы, а A , B , C и D - матрицы, описывающие динамику между переменными.

Эта система имеет матрицу передаточной функции , элементами которой являются передаточные функции между различными входами и выходами. Например,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}Y_{1}(s)\\Y_{2}(s)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}H_{11}(s)&H_{12}(s)&H_{13}(s)\\H_{21}(s)&H_{22}(s)&H_{23}(s)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}(s)\\U_{2}(s)\\U_{3}(s)\end{bmatrix}}.}$

Каждый H _ij ( s ) является скалярной передаточной функцией, связывающей один из входов с одним из выходов. В приведенных выше примерах схемы RLC было одно входное напряжение и четыре возможных выходных напряжения - на конденсаторе, на катушке индуктивности, на резисторе и на конденсаторе и катушке индуктивности, соединенных последовательно, - каждое со своей передаточной функцией. Если бы схема RLC была настроена для измерения всех четырех этих выходных напряжений, эта система имела бы матрицу передаточной функции 4 × 1, связывающую один вход с каждым из четырех выходов.

Вычисленное по мнимой оси, каждое H _ij ( iω ) может быть записано как усиление и фазовый сдвиг,

${\displaystyle H_{ij}(i\omega )=G_{ij}(\omega )e^{i\Phi _{ij}(\omega )}.}$

Пики усиления на определенных частотах соответствуют резонансам между входом и выходом этой передаточной функции, при условии, что система стабильна .

Каждую передаточную функцию H _ij ( s ) можно также записать в виде дроби, числитель и знаменатель которой являются полиномами от s .

${\displaystyle H_{ij}(s)={\frac {N_{ij}(s)}{D_{ij}(s)}}.}$

Комплексные корни числителя называются нулями, а комплексные корни знаменателя - полюсами. Для стабильной системы положения этих полюсов и нулей на комплексной плоскости дают некоторое представление о том, может ли система резонировать или антирезонировать и на каких частотах. В частности, любая стабильная или незначительно устойчивая комплексно сопряженная пара полюсов с мнимыми составляющими может быть записана в терминах собственной частоты и коэффициента затухания как

${\displaystyle s=-\zeta \omega _{0}\pm i\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}},}$

как в уравнении ( 5 ). Собственная частота ω ₀ этого полюса представляет собой величину положения полюса на комплексной плоскости, а коэффициент демпфирования этого полюса определяет, насколько быстро это колебание затухает. В общем, ^[4]

• Комплексно сопряженные пары полюсов около мнимой оси соответствуют пику или резонансу в частотной характеристике вблизи собственной частоты полюса. Если пара полюсов находится на мнимой оси, коэффициент усиления на этой частоте бесконечен.
• Комплексно сопряженные пары нулей около мнимой оси соответствуют провалу или антирезонансу в частотной характеристике в окрестности частоты нуля, то есть частоте, равной величине нуля. Если пара нулей находится на мнимой оси, коэффициент усиления на этой частоте равен нулю.

В примере схемы RLC первое обобщение, связывающее полюса с резонансом, наблюдается в уравнении ( 5 ). Второе обобщение, связывающее нули с антирезонансом, наблюдается в уравнении ( 7 ). В примерах гармонического генератора, напряжения конденсатора цепи RLC и напряжения индуктивности цепи RLC «полюса около мнимой оси» соответствуют условию значительно заниженного демпфирования ζ <1 / .${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Стоячие волны [ править ]

Физическая система может иметь столько собственных частот, сколько степеней свободы, и может резонировать около каждой из этих собственных частот. Масса на пружине, имеющая одну степень свободы, имеет одну собственную частоту. Двойной маятник , который имеет две степени свободы, может иметь два собственных частот. По мере увеличения количества связанных гармонических осцилляторов время, необходимое для передачи энергии от одного к другому, становится значительным. Системы с очень большим числом степеней свободы можно рассматривать как непрерывные, а не как имеющие дискретные осцилляторы. ^{[ необходима цитата ]}

Энергия передается от одного осциллятора к другому в виде волн. Например, струну гитары или поверхность воды в чаше можно смоделировать как континуум небольших связанных осцилляторов, и волны могут перемещаться по ним. Во многих случаях эти системы могут резонировать на определенных частотах, образуя стоячие волны с колебаниями большой амплитуды в фиксированных положениях. Резонанс в форме стоячих волн лежит в основе многих знакомых явлений, таких как звук, производимый музыкальными инструментами, электромагнитные резонаторы, используемые в лазерах и микроволновых печах, и уровни энергии атомов. ^{[ необходима цитата ]}

Стоячие волны на веревке [ править ]

Когда струна фиксированной длины приводится в движение с определенной частотой, волна распространяется по струне с той же частотой. Волны отражаются от концов струны, и в конечном итоге достигается устойчивое состояние с волнами, распространяющимися в обоих направлениях. Форма волны - это суперпозиция волн. ^[5]

На определенных частотах форма волны установившегося состояния не движется по струне. В фиксированных позициях, называемых узлами , струна никогда не смещается . Между узлами струна колеблется, и ровно посередине между узлами - в положениях, называемых антиузлами - колебания имеют наибольшую амплитуду. ^{[6] [7] [8]}

Для струны длины с фиксированными концами смещение струны перпендикулярно оси -оси во время составляет ^[5]${\displaystyle L}$${\displaystyle y(x,t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle y(x,t)=2y_{\text{max}}\sin(kx)\cos(2\pi ft),}$

где

• ${\displaystyle y_{\text{max}}}$- амплитуда левой и правой бегущих волн, мешающих формированию стоячей волны,
• ${\displaystyle k}$- волновое число ,
• ${\displaystyle f}$это частота .

Частоты, которые резонируют и образуют стоячие волны, относятся к длине струны как ^{[9] [7]}

${\displaystyle f={\frac {nv}{2L}}}$,

${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$

где - скорость волны, а целое число обозначает различные режимы или гармоники . Стоячая волна с = 1 колеблется на основной частоте и имеет длину волны, которая вдвое превышает длину струны. Возможные режимы колебаний образуют гармонический ряд . ^[9]${\displaystyle v}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Типы [ править ]

Механические и акустические [ править ]

Механический резонанс - это тенденция механической системы поглощать больше энергии, когда частота ее колебаний соответствует собственной частоте колебаний системы, чем на других частотах. Это может вызвать резкие раскачивания и даже катастрофические разрушения неправильно построенных конструкций, включая мосты, здания, поезда и самолеты. При проектировании объектов инженеры должны следить за тем, чтобы частоты механического резонанса компонентов не совпадали с управляющими частотами колебаний двигателей или других колеблющихся частей, явление, известное как катастрофа резонанса .

Как избежать резонансных катастроф является одной из основных проблем в каждом здании, башни и мост строительного проекта. В качестве контрмеры, амортизаторы могут быть установлены для поглощения резонансных частот и , таким образом рассеивают поглощенную энергию. Здание Taipei 101 полагается на маятник массой 660 тонн (730 коротких тонн) - настроенный глушитель массы - для подавления резонанса. Кроме того, конструкция спроектирована так, чтобы резонировать на частоте, которая обычно не встречается. Здания в сейсмических зонах часто строятся с учетом частот колебаний ожидаемых колебаний грунта. Кроме того, инженеры проектирование объектов с двигателями должно гарантировать, что механические резонансные частоты составных частей не совпадают с частотами движущихся колебаний двигателей или других сильно колеблющихся частей.

Часы отсчитывают время за счет механического резонанса в колесе баланса , маятнике или кристалле кварца .

Было выдвинуто предположение, что частота вращения педалей бегунов является энергетически выгодной из-за резонанса между упругой энергией, запасенной в нижней конечности, и массой бегуна. ^[10]

Акустический резонанс - это ветвь механического резонанса, которая связана с механическими колебаниями в частотном диапазоне человеческого слуха, другими словами, со звуком . Для людей, слух обычно ограничивается частотами примерно от 20  Гц до 20000 Гц (20  кГц ), ^[11] Многие предметы и материалы действуют как резонаторы с резонансными частотами в пределах этого диапазона, и при ударе вибрирует механически, надавливая на окружающий воздух , чтобы создавать звуковые волны. Это источник многих ударных звуков, которые мы слышим.

Акустический резонанс является важным фактором для изготовителей инструментов, поскольку в большинстве акустических инструментов используются резонаторы , такие как струны и корпус скрипки , длина трубки в флейте , а также форма и натяжение мембраны барабана.

Как и механический резонанс, акустический резонанс может привести к катастрофическому разрушению объекта при резонансе. Классическим примером этого является разбивание бокала со звуком с точной резонансной частотой бокала, хотя на практике это сложно. ^[12]

Международная космическая станция [ править ]

В ракетных двигателях для Международной космической станции (МКС) управляется с помощью автопилота . Обычно загруженные параметры для управления системой управления двигателем модуля «Звезда» заставляют ракетные двигатели выводить Международную космическую станцию ​​на более высокую орбиту. Ракетные двигатели шарнирные , и обычно экипаж не замечает операции. Однако 14 января 2009 года загруженные параметры заставили автопилот раскачивать ракетные двигатели все большими и большими колебаниями с частотой 0,5 Гц. Эти колебания были зафиксированы на видео и длились 142 секунды. ^[13]

Электрооборудование [ править ]

Электрический резонанс возникает в электрической цепи на определенной резонансной частоте, когда полное сопротивление цепи является минимальным в последовательной цепи или максимальным в параллельной цепи (обычно, когда передаточная функция достигает пика по абсолютной величине). Резонанс в схемах используется как для передачи, так и для приема беспроводной связи, такой как телевидение, сотовые телефоны и радио.

Оптический [ править ]

Оптический резонатор , также называемый оптический резонатором , является расположением зеркал , которое образует стоячую волну резонатор для световых волн . Оптические резонаторы - это основной компонент лазеров , окружающий усиливающую среду и обеспечивающий обратную связь лазерного света. Они также используются в оптических параметрических генераторах и некоторых интерферометрах . Свет, заключенный в полости, многократно отражается, создавая стоячие волны для определенных резонансных частот. Полученные образцы стоячей волны называются «модами». Продольные моды различаются только частотой, в то время какпоперечные моды различаются для разных частот и имеют разные картины интенсивности в поперечном сечении пучка. Кольцевые резонаторы и шепчущие галереи являются примерами оптических резонаторов, которые не образуют стоячие волны.

Разные типы резонаторов различаются фокусным расстоянием двух зеркал и расстоянием между ними; плоские зеркала используются нечасто из-за сложности их точного выравнивания. Геометрия (тип резонатора) должна быть выбрана так, чтобы луч оставался стабильным, то есть размер луча не продолжал расти с каждым отражением. Типы резонаторов также разработаны с учетом других критериев, таких как минимальная перетяжка луча или отсутствие фокуса (и, следовательно, интенсивного света в этой точке) внутри полости.

Оптические резонаторы разработаны , чтобы иметь очень большой Q - фактор . ^[14] Луч отражается большое количество раз с небольшим затуханием, поэтому ширина частотной линии луча мала по сравнению с частотой лазера.

Дополнительные оптические резонансы - это резонансы направленных мод и поверхностный плазмонный резонанс , которые приводят к аномальному отражению и сильным затухающим полям в резонансе. В этом случае резонансные моды являются управляемыми модами волновода или поверхностными плазмонными модами границы раздела диэлектрик-металл. Эти моды обычно возбуждаются субволновой решеткой.

Орбитальный [ править ]

В небесной механике , орбитальный резонанс возникает , когда два вращающихся вокруг тела оказывает регулярное, периодическое гравитационное влияние друг на друг, как правило , из - за их орбитальные периоды будучи связаны отношением двух малых целых чисел. Орбитальные резонансы значительно усиливают взаимное гравитационное влияние тел. В большинстве случаев это приводит к нестабильному взаимодействию, при котором тела обмениваются импульсом и перемещаются по орбитам до тех пор, пока резонанс не перестанет существовать. При некоторых обстоятельствах резонансная система может быть стабильной и самокорректирующейся, так что тела остаются в резонансе. Примерами являются 1: 2: 4 резонанс Юпитера лун «s Ганимеда , Europa, и Ио , и резонанс 2: 3 между Плутоном и Нептуном . Неустойчивые резонансы с внутренними лунами Сатурна вызывают разрывы в кольцах Сатурна . Частный случай резонанса 1: 1 (между телами с одинаковыми радиусами орбиты) заставляет большие тела Солнечной системы очищать окрестности вокруг своих орбит, выбрасывая почти все остальное вокруг себя; этот эффект используется в текущем определении планеты .

Атомные, частичные и молекулярные [ править ]

Ядерный магнитный резонанс (ЯМР) - это название явления физического резонанса, включающего наблюдение определенных квантово-механических магнитных свойств атомного ядра в присутствии приложенного внешнего магнитного поля. Многие научные методы используют явления ЯМР для изучения молекулярной физики , кристаллов и некристаллических материалов с помощью ЯМР-спектроскопии . ЯМР также обычно используется в передовых методах медицинской визуализации, таких как магнитно-резонансная томография (МРТ).

Все ядра, содержащие нечетное число нуклонов, обладают собственным магнитным моментом и угловым моментом . Ключевой особенностью ЯМР является то, что резонансная частота конкретного вещества прямо пропорциональна силе приложенного магнитного поля. Именно эта функция используется в методах визуализации; если образец помещен в неоднородное магнитное поле, то резонансные частоты ядер образца зависят от того, где в поле они расположены. Следовательно, частицу можно довольно точно определить по ее резонансной частоте.

Электронный парамагнитный резонанс , также известный как электронно-спиновый резонанс (ЭПР), представляет собой спектроскопический метод, подобный ЯМР, но использующий вместо этого неспаренные электроны. Материалы, для которых это может быть применено, гораздо более ограничены, поскольку материал должен иметь как неспаренный спин, так и быть парамагнитным .

Эффект Мёссбауэра - это резонансное излучение без отдачи и поглощение гамма- квантов атомами, связанными в твердой форме.

Резонанс в физике элементарных частиц возникает в обстоятельствах, аналогичных классической физике на уровне квантовой механики и квантовой теории поля . Тем не менее, они могут также рассматриваться как нестабильные частицы, с формулой выше справедливо , если Γ является скоростью распада и Ω заменен массой частицы М . В этом случае формула исходит из пропагатора частицы , а ее масса заменяется комплексным числом M  +  iΓ . Формула связана со скоростью распада частицы оптической теоремой .

Недостатки [ править ]

Колонна солдат, идущих правильным шагом по узкому и гибкому в конструкции мосту, может вызвать опасно большие колебания амплитуды . 12 апреля 1831 года висячий мост Бротон возле Солфорда, Англия, обрушился, когда группа британских солдат маршировала по нему. ^[15] С тех пор у британской армии есть постоянный приказ солдатам прервать походку при переходе через мосты, чтобы избежать резонанса от их обычного режима марша, влияющего на мост. ^{[16] [17]}

Вибрации двигателя или двигателя могут вызывать резонансную вибрацию в его опорных конструкциях, если их собственная частота близка к частоте колебаний двигателя. Типичный пример - дребезжащий звук кузова автобуса, когда двигатель работает на холостом ходу.

Структурный резонанс подвесного моста, вызванный ветрами, может привести к его катастрофическому обрушению. Несколько ранних подвесных мостов в Европе и США были разрушены структурным резонансом, вызванным умеренным ветром. Обрушение моста Tacoma Narrows Bridge 7 ноября 1940 года охарактеризовано в физике как классический пример резонанса. ^[18] Роберт Х. Сканлан и другие утверждали , что разрушение вместо этого было вызвано аэроупругим флаттером , сложным взаимодействием между мостом и ветрами, проходящими через него - пример автоколебания или своего рода "самосознания". -поддерживающая вибрация »в нелинейной теории колебаний.^[19]

Q-фактор [ править ]

Коэффициент добротности или добротность - это безразмерный параметр, который описывает, насколько недостаточно демпфирован осциллятор или резонатор, и характеризует полосу пропускания резонатора относительно его центральной частоты. ^{[20] [21]} Высокое значение Q указывает на более низкую скорость потерь энергии по сравнению с накопленной энергией, т. Е. Система слабо демпфирована. Параметр определяется уравнением:

${\displaystyle Q=2\pi {\text{ }}{\frac {\text{ maximum energy stored}}{\text{total energy lost per cycle at resonance}}}}$. ^[22]

Чем выше добротность, тем больше амплитуда на резонансной частоте и тем меньше ширина полосы или диапазон частот вокруг резонанса. При электрическом резонансе схему с высокой добротностью в радиоприемнике сложнее настроить, но она имеет большую избирательность и поэтому лучше отфильтровывает сигналы от других станций. Генераторы с высокой добротностью более стабильны. ^[22]

Примеры, которые обычно имеют низкий коэффициент добротности, включают дверные доводчики (Q = 0,5). К системам с высокой добротностью относятся камертоны (Q = 1000), атомные часы и лазеры (Q≈10 ¹¹ ). ^[23]

Универсальная резонансная кривая [ править ]

Точный отклик резонанса, особенно для частот, далеких от резонансной частоты, зависит от деталей физической системы и обычно не совсем симметричен относительно резонансной частоты, как показано выше для простого гармонического осциллятора . Для слегка затухающего линейного осциллятора с резонансной частотой Ом , то интенсивность колебаний я , когда система приводится в движение с приводным частоты со , как правило , аппроксимируется формулой , которая является симметричной относительно резонансной частоты: ^[24]

${\displaystyle I(\omega )\equiv |\chi |^{2}\propto {\frac {1}{(\omega -\Omega )^{2}+\left({\frac {\Gamma }{2}}\right)^{2}}}.}$

Если восприимчивость связывает амплитуду осциллятора с движущей силой в частотном пространстве: ^[25]${\displaystyle \chi (\omega )}$

${\displaystyle x(\omega )=\chi (\omega )F(\omega )}$

Интенсивность определяется как квадрат амплитуды колебаний. Это функция Лоренца или распределение Коши , и этот отклик встречается во многих физических ситуациях, связанных с резонансными системами. Γ - параметр, зависящий от затухания осциллятора, и известен как ширина линии резонанса. Осцилляторы с сильным затуханием, как правило, имеют широкую ширину линии и реагируют на более широкий диапазон управляющих частот вокруг резонансной частоты. Ширина линии обратно пропорциональна к Q - фактор, который является мерой остроты резонанса.

В радиотехнике и электронике этот приблизительный симметричный отклик известен как универсальная резонансная кривая , концепция, введенная Фредериком Э. Терманом в 1932 году для упрощения приблизительного анализа радиосхем с диапазоном центральных частот и значений добротности ^{[26] [ 27]}

См. Также [ править ]

• Киматика
• Управляемое гармоническое движение
• Землетрясение
• Электродипольный спиновой резонанс
• Formant
• Лимбический резонанс
• Нелинейный резонанс
• Нормальный режим
• Положительный отзыв
• Шумановский резонанс
• Простые гармонические колебания
• Стохастический резонанс
• Симпатическая строка

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Аспельмейер, М ; Киппенберг, Тобиас Дж .; Марквардт, Флориан (30 декабря 2014 г.). «Полостная оптомеханика» . Обзоры современной физики . 86 (4): 1391. arXiv : 1303.0733 . Bibcode : 2014RvMP ... 86.1391A . DOI : 10.1103 / RevModPhys.86.1391 . S2CID  119252645 .
• Билла, К. Юсуф; Сканлан, Роберт Х (1991). «Резонанс, разрушение моста через Такома и учебники по физике» (PDF) . Американский журнал физики . 59 (2): 118–124. Bibcode : 1991AmJPh..59..118B . DOI : 10.1119 / 1.16590 . Проверено 1 января 2021 года .
• Гхатак, Аджой (2005). Оптика (3-е изд.). Нью-Дели: Тата Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-058583-6.
• Холлидей, Дэвид ; Резник, Роберт ; Уокер, Джерл (2005). Основы физики . часть 2 (7-е изд.). ISBN компании John Wiley & Sons Ltd. 978-0-471-71716-4.
• Хардт, Дэвид (2004). «Понимание полюсов и нулей» (PDF) . 2.14. Анализ и проектирование систем управления с обратной связью . Массачусетский технологический институт . Проверено 18 апреля 2020 .
• Харлоу, Джеймс Х., изд. (2004). Электротрансформаторная техника . Лондон: CRC Press. ISBN 978-0-8493-1704-0.
• Огата, Кацухико (2005). Системная динамика (4-е изд.). Харлоу: Пирсон. ISBN 978-1-292-02608-4.
• Олсон, Гарри Ф. (1967). Музыка, физика и инженерия . 2 . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-21769-7.
• Serway, Raymond A .; Фаун, Джерри С. (1992). Колледж физики (3-е изд.). Издательство колледжа Сондерс. ISBN 0-03-076377-0.
• Зиберт, Уильям МакКи. (1986). Цепи, сигналы и системы . Лондон; Нью-Йорк: MIT Press 'McGraw Hill Book Company. ISBN 978-0-262-19229-3.
• Зигман, AE (1986). Лазеры . Книги университетских наук. ISBN 978-0-935702-11-8.
• Снайдер, Кристин Л .; Фарли, Клэр Т. (2011). «Энергетически оптимальная частота шагов в беге: эффекты наклона и снижения» . Журнал экспериментальной биологии . 214 (12): 2089–2095. DOI : 10,1242 / jeb.053157 . PMID  21613526 .
• Терман, Фредерик Эммонс (1932). Радиотехника (1-е изд.). Нью-Йорк: Книжная компания McGraw-Hill. OCLC  1036819790 .
• Тули, Майкл Х. (2006). Электронные схемы: основы и приложения . Оксфорд: Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-0-7506-6923-8.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме резонанса .

• Определение резонанса - «Увеличение амплитуды колебаний электрической или механической системы, подверженной действию периодической силы, частота которой равна или очень близка к собственной незатухающей частоте системы».
• Резонанс - глава из онлайн-учебника
• Грин, Брайан , " Резонанс в струнах ". Элегантная Вселенная , NOVA ( PBS )
• Раздел гиперфизики, посвященный концепциям резонанса
• Резонанс против резонанса (использование терминов)
• Деревянный и воздушный резонанс в клавесине
• Java-апплет, демонстрирующий резонансы на струне при изменении частоты движущей силы
• Java-апплет, демонстрирующий возникновение резонанса, когда частота возбуждения совпадает с собственной частотой осциллятора.
• Разбивание стекла со звуком , включая видеосъемку разбития стекла на высокой скорости