Функтор

В математике , особенно в теории категорий , функтор — это отображение между категориями . Функторы впервые были рассмотрены в алгебраической топологии , где алгебраические объекты (например, фундаментальная группа ) связаны с топологическими пространствами , а отображения между этими алгебраическими объектами связаны с непрерывными отображениями между пространствами. В настоящее время функторы используются в современной математике для связи различных категорий. Таким образом, функторы важны во всех областях математики, к которым применяется теория категорий .

Слова категория и функтор были заимствованы математиками у философов Аристотеля и Рудольфа Карнапа соответственно. ^[1] Последний использовал функтор в лингвистическом контексте; ^[2] см. функциональное слово .

В математике есть много конструкций, которые были бы функторами, если бы не тот факт, что они «переворачивают морфизмы» и «обратят композицию». Затем мы определяем контравариантный функтор F из C в D как отображение, которое

Обычные функторы также называют ковариантными функторами , чтобы отличать их от контравариантных. Обратите внимание, что можно также определить контравариантный функтор как ковариантный функтор на противоположной категории . ^[4] Некоторые авторы предпочитают записывать все выражения ковариантно. То есть вместо того, чтобы говорить, что это контравариантный функтор, они просто пишут (или иногда ) и называют его функтором.${\ Displaystyle С ^ {\ mathrm {оп}}}$${\ Displaystyle F \ двоеточие C \ к D}$${\ Displaystyle F \ двоеточие С ^ {\ mathrm {op}} \ к D}$${\ displaystyle F \ двоеточие C \ to D ^ {\ mathrm {op}}}$

Функтор должен сохранять композицию морфизмов и${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle \ сигма}$