Спираль Бурдейка – Кокстера

Спираль Бурдейка -Коксетера , названная в честь HSM Coxeter и Arie Hendrick Boerdijk [ es ] , представляет собой линейную стопку правильных тетраэдров , расположенных так, что ребра комплекса, принадлежащие только одному тетраэдру, образуют три переплетающиеся спирали . Существуют две киральные формы: с обмотками по часовой стрелке или против часовой стрелки. В отличие от любой другой стопки платоновых тел , спираль Бурдейка-Коксетера не является повторяющейся во вращении в трехмерном пространстве. Даже в бесконечной цепочке сложенных друг на друга тетраэдров никакие два тетраэдра не будут иметь одинаковую ориентацию, потому что шаг спирали на ячейку не является рациональной частью круга. Однако были обнаружены модифицированные формы этой спирали, которые вращательно повторяются ^[2] , и в 4-мерном пространстве эта спираль повторяется в кольцах ровно из 30 тетраэдрических ячеек, которые мозаично образуют 3-сферную поверхность 600-ячейки , одной из шесть правильных выпуклых полихор .

Бакминстер Фуллер назвал их тетраспиралями и считал их правильными и неправильными тетраэдрическими элементами. ^[3]

Координаты вершин спирали Бурдейка–Коксетера, составленной из тетраэдров с единичной длиной ребра, можно записать в виде

где , , и – произвольное целое число. Два разных значения соответствуют двум хиральным формам. Все вершины расположены на цилиндре радиусом по оси Z. Учитывая, как чередуются тетраэдры, это дает очевидный поворот каждых двух тетраэдров. Внутри спирали имеется еще один вписанный цилиндр с радиусом . ^[4] $r=3{\sqrt {3}}/10$ $\theta =\pm \cos ^{-1}(-2/3)\approx 131,81^{\circ }$ $h=1/{\sqrt {10}}$ $п$ ${\ displaystyle \ theta }$ $г$ $2\theta - {\frac {4}{3}}\pi \approx 23,62^{\circ }$ $3{\sqrt {2}}/20$

600 ячеек разделены на 20 колец по 30 тетраэдров , каждое из которых представляет собой спираль Бурдейка – Коксетера. ^[5] При наложении на кривизну трехсферы она становится периодической с периодом в десять вершин, охватывающей все 30 ячеек. Совокупность таких спиралей в 600-ячейке представляет собой дискретное расслоение Хопфа . ^[6] Хотя в трехмерном измерении края представляют собой спирали, в навязанной трехсферной топологии они являются геодезическими и не имеют кручения . Они естественным образом вращаются вокруг друг друга благодаря расслоению Хопфа. ^[7] Коллектив ребер образует еще одно дискретное расслоение Хопфа из 12 колец по 10 вершин в каждом. Они соответствуют кольцам из 10 додекаэдров в двойном 120-ячеечном .

Кроме того, 16-ячеечные разбиваются на два кольца 8-тетраэдра длиной в четыре ребра, а 5-ячеечные разбиваются на одно вырожденное кольцо 5-тетраэдра .