Критика нестандартного анализа

Нестандартный анализ и его ответвление, нестандартное исчисление , подвергались критике со стороны нескольких авторов, в частности Эрретта Бишопа , Пола Халмоса и Алена Конна . Эти критические замечания анализируются ниже.

Введение [ править ]

Оценка нестандартного анализа в литературе сильно различается. Пол Халмос описал это как особое техническое развитие математической логики. Теренс Тао резюмировал преимущества гиперреальной структуры, отметив, что она

позволяет строго манипулировать такими вещами, как «набор всех малых чисел», или строго говорить такие вещи, как «η ₁ меньше всего, что включает η ₀ », при этом значительно сокращая проблемы управления эпсилон, автоматически скрывая многие из кванторов один аргумент.

-  Теренс Тао, «Структура и случайность» , Американское математическое общество (2008 г.) ^[1]

Характер критики напрямую не связан с логическим статусом результатов, доказанных с помощью нестандартного анализа. С точки зрения обычных математических основ классической логики такие результаты вполне приемлемы. Нестандартный анализ Абрахама Робинсона не нуждается в каких-либо аксиомах, помимо теории множеств Цермело – Френкеля (ZFC) (как это явно показано сверхмощной конструкцией гиперреалов Вильгельмом Люксембургом ), в то время как его вариант Эдварда Нельсона , известный как теория внутренних множеств , является подобным же образом консервативное расширение в ZFC . ^[2]Это дает уверенность в том, что новизна нестандартного анализа полностью связана с стратегией доказательства, а не с диапазоном результатов. Кроме того, теоретико-модельный нестандартный анализ, например, основанный на надстройках, который сейчас является широко используемым подходом, не требует каких-либо новых теоретико-множественных аксиом, помимо аксиом ZFC. ^{[ сомнительно - обсудить ]}

Споры существовали по вопросам математической педагогики. Кроме того, разработанный нестандартный анализ - не единственный кандидат для достижения целей теории бесконечно малых (см. Гладкий анализ бесконечно малых ). Филип Дж. Дэвис написал в рецензии на книгу Дайан Рэвич ^[ Left Back: A Century of Failed School Reforms ^{] [3]} : ^[4]

Было движение нестандартного анализа для обучения элементарному исчислению. Его запас немного вырос, прежде чем механизм сломался из-за внутренней сложности и скудной необходимости.

Нестандартное исчисление в классе было проанализировано в исследовании К. Салливаном школ в районе Чикаго, что отражено во вторичной литературе в разделе « Влияние нестандартного анализа» . Салливан показал, что студенты, прошедшие курс нестандартного анализа, лучше понимали смысл математического формализма исчисления, чем контрольная группа, следовавшая стандартному учебному плану. Это также было отмечено Артигом (1994), стр. 172; Чихара (2007); и Даубен (1988). ^{[ необходима цитата ]}

Критика епископа [ править ]

По мнению Эррета Бишопа , классическая математика, включающая в себя подход Робинсона к нестандартному анализу, была неконструктивной и, следовательно, не имела числового значения ( Feferman 2000 ). Бишоп был особенно обеспокоен использованием нестандартного анализа в обучении, как он обсуждал в своем эссе «Кризис в математике» ( Bishop 1975 ) . В частности, после обсуждения формалистической программы Гильберта он написал:ошибка harv: несколько целей (2 ×): CITEREFBishop1975 ( справка )

Более поздняя попытка математики с помощью формального изящества - нестандартный анализ. Я полагаю, что это имело некоторый успех, хотя я не знаю, ценой ли значительно менее значимых доказательств. Мой интерес к нестандартному анализу состоит в том, что его пытаются внедрить в курсы математики. Трудно поверить, что принижение смысла могло зайти так далеко.

Katz & Katz (2010) отмечают, что математики и историки высказали ряд критических замечаний после выступления Бишопа «Кризис» на семинаре Американской академии искусств и наук в 1974 году. Однако участники ни слова не сказали о Унижение Бишопом теории Робинсона. Кац и Кац отмечают, что недавно выяснилось, что Бишоп на самом деле ни слова не сказал о теории Робинсона на семинаре, а только добавил свое принижение.замечание на стадии проверки публикации. Это помогает объяснить отсутствие критической реакции на семинаре. Кац и Кац пришли к выводу, что это поднимает вопросы честности со стороны Епископа, чей опубликованный текст не сообщает о том, что комментарий о «уничижении» был добавлен на стадии камбуза и, следовательно, не был услышан участниками семинара, создавая ложное впечатление, что они не возражал с комментариями.

Тот факт, что Бишоп рассматривал введение нестандартного анализа в классе как «принижение смысла», был отмечен Дж. Добеном. ^[5] Этот термин был разъяснен Бишопом (1985, стр. 1) в его тексте « Шизофрения в современной математике» (впервые распространен в 1973 г.) следующим образом:

Критика Брауэром классической математики касалась того, что я буду называть «принижением значения».

Таким образом, Бишоп сначала применил термин «принижение смысла» к классической математике в целом, а позже применил его к бесконечно малым Робинсону в классе. В своих Основах конструктивного анализа (1967, стр. Ix) Бишоп писал:

Наша программа проста: дать как можно больший числовой смысл классическому абстрактному анализу. Нашей мотивацией является хорошо известный скандал, подробно разоблаченный Брауэром (и другими) о том, что классической математике недостает числового значения.

Замечания Бишопа подтверждаются обсуждением после его лекции: ^[6]

• Джордж Макки (Гарвард): «Я не хочу думать об этих вопросах. Я верю, что то, что я делаю, будет иметь какой-то смысл…»
• Гаррет Биркгоф (Гарвард): «... Я думаю, это то, к чему призывает Бишоп. Мы должны отслеживать наши предположения и сохранять непредвзятость».
• Шрирам Абхьянкар: (Purdue): «Моя газета полностью согласна с позицией Бишопа».
• JP Кахане (U. de Paris): «... Я должен уважать работу Бишопа, но мне она кажется скучной ...»
• Бишоп (UCSD): «Большинство математиков считают, что математика имеет значение, но им утомительно пытаться выяснить, что это такое…»
• Кахане: «Я чувствую, что оценка епископа имеет большее значение, чем мое отсутствие признательности».

Обзор епископа [ править ]

Бишоп сделал рецензию на книгу Говарда Джерома Кейслера « Элементарное исчисление: бесконечно малый подход » , в которой представлены элементарные исчисления с использованием методов нестандартного анализа. Бишоп был выбран его советником Полом Халмосом для рецензирования книги. Обзор был опубликован в Бюллетене Американского математического общества в 1977 году. На эту статью ссылается Дэвид О. Толл ( Tall 2001 ), когда обсуждает использование нестандартного анализа в образовании. Высокий написал:

Однако использование аксиомы выбора в нестандартном подходе вызывает крайнюю критику со стороны таких людей, как Бишоп (1977), которые настаивали на явном построении понятий в интуиционистской традиции.

В обзоре Бишопа содержится несколько цитат из книги Кейслера, таких как:

В 1960 году Робинсон решил проблему трехсотлетней давности, дав точную трактовку бесконечно малых величин. Достижение Робинсона, вероятно, будет считаться одним из главных математических достижений двадцатого века.

а также

Обсуждая реальную линию, мы заметили, что у нас нет возможности узнать, что на самом деле представляет собой линия в физическом пространстве. Это может быть гиперреальная линия, настоящая линия или ни то, ни другое. Однако в приложениях исчисления полезно представить линию в физическом пространстве как гиперреальную линию.

Обзор подверг критике текст Кейслера за то, что он не предоставил доказательств в поддержку этих утверждений, и за принятие аксиоматического подхода, когда студентам не было ясно, существует ли какая-либо система, удовлетворяющая аксиомам ( Tall 1980 ). Обзор закончился следующим образом:

Технические сложности, связанные с подходом Кейслера, не имеют большого значения. Настоящий ущерб заключается в обфускации и обфускации [Кейслера] этих замечательных идей [стандартного исчисления]. Никакая ссылка на Ньютона и Лейбница не оправдает развитие исчисления с использованием аксиом V * и VI * - на том основании, что обычное определение предела слишком сложно!

а также

Хотя это кажется бесполезным, я всегда говорю своим ученикам, изучающим математику, что математика не является эзотерикой: это здравый смысл. (Даже пресловутое (ε, δ) -определение предела является здравым смыслом, и, более того, оно является центральным для важных практических проблем аппроксимации и оценки.) Они мне не верят. На самом деле эта идея вызывает у них дискомфорт, поскольку противоречит их предыдущему опыту. Теперь у нас есть математический текст, который можно использовать для подтверждения их опыта в математике как эзотерическом и бессмысленном упражнении в технике.

Ответы [ править ]

В своем ответе в The Notices Кейслер (1977, с. 269) спросил:

почему Халмош , то бюллетень редактор обзор книги, выбрать конструктивистский как рецензент?

Сравнивая использование закона исключенного третьего (отвергнутого конструктивистами) с вином, Кейслер сравнил выбор Халмоса с «выбором трезвенника для проб вина».

Рецензия на книгу Бишопа впоследствии подверглась критике в том же журнале Мартином Дэвисом , который написал на стр. 1008 Дэвиса (1977) :

Книга Кейслера - это попытка вернуть интуитивно наводящие на размышления лейбницевские методы, которые доминировали в преподавании математического анализа до сравнительно недавнего времени и которые никогда не отбрасывались в некоторых частях прикладной математики. Читатель рецензии Эррета Бишопа на книгу Кейслера вряд ли мог бы вообразить, что именно это пытался сделать Кейслер, поскольку в рецензии не обсуждаются ни цели Кейслера, ни степень их реализации в его книге.

Дэвис добавил (стр. 1008), что епископ высказал свои возражения.

без информирования своих читателей о конструктивистском контексте, в котором предположительно следует понимать это возражение.

Физик Вадим Комков (1977, с. 270) писал:

Бишоп - один из ведущих исследователей, придерживающихся конструктивного подхода к математическому анализу. Конструктивисту трудно сочувствовать теориям, заменяющим действительные числа гиперреальными .

Можно ли провести нестандартный анализ конструктивно, Комков усмотрел фундаментальную озабоченность Епископа.

Философ математики Джеффри Хеллман (1993, стр. 222) писал:

Некоторые из замечаний Бишопа (1967) предполагают, что его позиция принадлежит к категории [радикального конструктивизма] ...

Историк математики Джозеф Добен проанализировал критику Бишопа в (1988, стр. 192). Вспомнив об «успехе» нестандартного анализа

на самом элементарном уровне, на котором это могло быть введено, а именно, на котором исчисление преподается впервые,

Даубен заявил:

существует также более глубокий смысловой уровень, на котором работает нестандартный анализ.

Даубен упомянул "впечатляющие" приложения в

в физике, особенно в квантовой теории и термодинамике , и в экономике , где изучение экономики обмена особенно поддается нестандартной интерпретации.

На этом «более глубоком» уровне смысла, заключил Даубен,

Взгляды Бишопа можно подвергнуть сомнению и показать, что они столь же необоснованны, как и его возражения против нестандартного анализа с педагогической точки зрения.

Ряд авторов прокомментировали тон рецензии на книгу Бишопа. Артиг (1992) описал его как опасный ; Даубен (1996), как ядовитый ; Дэвис и Хаузер (1978) как враждебно настроенные ; Высокий (2001), как крайний .

Ян Стюарт (1986) сравнил просьбу Халмоса к Бишопу прорецензировать книгу Кейслера с приглашением Маргарет Тэтчер для рецензирования «Капитала» .

Кац и Кац (2010) отмечают, что

Бишоп критикует яблоки за то, что они не апельсины: критик (Бишоп) и критикуемый (нестандартный анализ Робинсона) не имеют общей основы.

Они также отмечают, что

Озабоченность Бишопа искоренением закона исключенного третьего привела его к критике классической математики в целом в столь же язвительной манере, как и его критика нестандартного анализа.

Г. Штольценберг ответил на критику Кейслера в « Уведомлениях » рецензии Бишопа в письме, также опубликованном в «Уведомлениях». ^[7] Стольценберг утверждает, что критика рецензии Бишопа на книгу Кейслера по исчислению основана на ложном предположении, что они были сделаны в конструктивистском мышлении, тогда как Штольценберг считает, что Бишоп читал ее так, как это было задумано: в классическом мышлении.

Критика Конна [ править ]

В «Brisure de symétrie spontanée et géométrie du point de vue spectral», Journal of Geometry and Physics 23 (1997), 206–234, Ален Конн писал:

«Ответ, полученный с помощью нестандартного анализа, а именно нестандартного действительного числа, также неутешителен: каждое нестандартное вещественное число канонически определяет (по Лебегу) неизмеримое подмножество интервала [0, 1], так что это невозможно (Штерн , 1985) для отображения единственного [нестандартного действительного числа]. Предложенный нами формализм даст содержательный и вычислимый ответ на этот вопрос ».

В своей статье 1995 года «Некоммутативная геометрия и реальность» Конн развивает исчисление бесконечно малых величин, основанное на операторах в гильбертовом пространстве. Он продолжает «объяснять, почему формализм нестандартного анализа неадекватен» для его целей. Конн выделяет следующие три аспекта гиперреалов Робинсона:

(1) нестандартное гиперреальное «не может быть выставлено» (указанная причина - его отношение к неизмеримым множествам);

(2) «Практическое использование такого понятия ограничено вычислениями, в которых конечный результат не зависит от точного значения вышеупомянутой бесконечно малой величины. Так используются нестандартный анализ и ультрапроизведения [...]».

(3) гиперреалы коммутативны.

Кац и Кац анализируют критику Конна нестандартного анализа и оспаривают конкретные утверждения (1) и (2). ^[8] Что касается (1), собственные бесконечно малые Конна также полагаются на неконструктивный фундаментальный материал, такой как существование следа Диксмье . Что касается (2), Конн представляет независимость выбора бесконечно малого как особенность своей собственной теории.

Kanovei et al. (2012) анализируют утверждение Конна о том, что нестандартные числа «химеричны». Они отмечают, что содержание его критики состоит в том, что ультрафильтры являются «химерическими», и указывают на то, что Конн существенно использовал ультрафильтры в своей более ранней работе по функциональному анализу. Они анализируют утверждение Конна о том, что гиперреальная теория просто «виртуальна». Ссылки Конна на работы Роберта Соловея предполагают, что Конн имеет в виду критиковать гиперреалы за то, что они якобы не поддаются определению. Если это так, то утверждение Конна относительно гиперреалов явно неверно, учитывая существование определяемой модели гиперреалов, построенной Владимиром Кановеем и Сахароном Шелахом.(2004). Kanovei et al. (2012) также предоставляют хронологическую таблицу все более язвительных эпитетов, которые Конн использовал для очернения нестандартного анализа за период с 1995 по 2007 год, начиная с «неадекватный» и «разочаровывающий» и заканчивая «концом пути для« явного ». ".

Кац и Лейхтнам (2013) отмечают, что «две трети критики Конна инфинитезимального подхода Робинсона можно назвать непоследовательной, в конкретном смысле несогласованности с тем, что Конн (одобрительно) пишет о своем собственном бесконечно малом подходе».

Замечания Халмоса [ править ]

Пол Халмос пишет в «Инвариантных подпространствах» American Mathematical Monthly 85 (1978) 182–183 следующее:

«расширение на полиномиально компактные операторы было получено Бернштейном и Робинсоном (1966). Они представили свой результат на метаматематическом языке, называемом нестандартным анализом, но, как это было реализовано очень скоро, это был вопрос личных предпочтений, а не необходимости . "

Халмос пишет в (Halmos 1985) следующее (стр. 204):

Доказательство Бернштейна – Робинсона [ гипотезы Халмоса об инвариантном подпространстве ] использует нестандартные модели языков предикатов более высокого порядка, и когда [Робинсон] прислал мне свой репринт, мне действительно пришлось попотеть, чтобы точно определить и перевести его математическое понимание.

Комментируя «роль нестандартного анализа в математике», Халмос пишет (стр. 204):

Для некоторых других [... математиков], которые против (например, Эрретта Бишопа ), это не менее эмоциональный вопрос ...

Халмос завершает обсуждение нестандартного анализа следующим образом (с. 204):

это особый инструмент, слишком особенный, и другие инструменты могут делать все, что он делает. Все дело вкуса.

Кац и Кац (2010) отмечают, что

Стремление Халмоса оценить теорию Робинсона могло быть связано с конфликтом интересов [...] Халмос вложил значительную эмоциональную энергию (и пот , как он запоминается в своей автобиографии) в свой перевод результата Бернштейна – Робинсона [...] [H] откровенен, нелестные комментарии, по-видимому, задним числом оправдывают его попытку переводчиков отклонить воздействие одного из первых впечатляющих приложений теории Робинсона.

Комментарии Боса и Медведева [ править ]

Историк Лейбница Хенк Бос (1974) признал, что гиперреальные представления Робинсона обеспечивают

[a] предварительное объяснение того, почему исчисление могло развиваться на ненадежной основе принятия бесконечно малых и бесконечно больших величин.

Ф. Медведев (1998) далее указывает, что

[n] Стандартный анализ позволяет ответить на тонкий вопрос, связанный с более ранними подходами к истории классического анализа. Если бесконечно малые и бесконечно большие величины рассматриваются как несовместимые понятия, как они [могли] служить [г] основой для построения столь [великолепного] здания одной из важнейших математических дисциплин?

См. Также [ править ]

• Конструктивный нестандартный анализ
• Влияние нестандартного анализа

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Albeverio, S .; Guido, D .; Поносов, А .; Скарлатти, С. (1996). «Особые следы и компактные операторы». J. Funct. Анальный . 137 (2): 281–302. DOI : 10,1006 / jfan.1996.0047 . S2CID  55846784 .
• Артиг, Мишель (1994), Анализ , продвинутое математическое мышление (редактор Дэвид О. Толл ), Springer-Verlag, стр. 172, ISBN 0-7923-2812-4
• Бишоп, Эрретт (1975), «Кризис современной математики», Historia Math. , 2 (4): 507-517, DOI : 10,1016 / 0315-0860 (75) 90113-5
• Бишоп, Эрретт (1977), "Обзор: Х. Джером Кейслер, Элементарное исчисление" , Bull. Амер. Математика. Soc. , 83 : 205-208, DOI : 10,1090 / s0002-9904-1977-14264-х
• Бишоп, Э. (1983). «Шизофрения в современной математике». Написано в Сан-Диего, Калифорния. Эрретт Бишоп: размышления о нем и его исследованиях . Contemp. Математика. 39 . Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc. (опубликовано в 1985 г.). С. 1–32.
• Bos, Хенк JM (1974), "Дифференциалы, дифференциалы высших порядков и производные в лейбницианском исчислении", Архив для истории точных наук , 14 : 1-90, DOI : 10.1007 / BF00327456 , S2CID  120779114
• Чихара, К. (2007). «Критика Бёрджесса – Розена номиналистических реконструкций». Филос. Математика . 15 (1): 54–78. DOI : 10.1093 / philmat / nkl023 .
• Конн, А. (1997). "Brisure de symétrie spontanée et géométrie du point de vue spectral" (PDF) . Журнал геометрии и физики . 23 (3–4): 206–234. Bibcode : 1997JGP .... 23..206C . DOI : 10.1016 / s0393-0440 (97) 80001-0 .
• Конн, А. (1995). «Некоммутативная геометрия и реальность» (PDF) . J. Math. Phys . 36 (11): 6194–6231. Bibcode : 1995JMP .... 36.6194C . DOI : 10.1063 / 1.531241 .
• Даубен, Дж. (1988). «Авраам Робинсон и нестандартный анализ: история, философия и основы математики» (PDF) . В Аспре, Уильям; Китчер, Филип (ред.). История и философия современной математики . Миннесота Стад. Филос. Sci. XI . Миннеаполис, Миннесота: Univ. Миннесота Пресс. С. 177–200.
• Даубен, Дж. (1992). Написано в Эссене. «Аргументы, логика и доказательства: математика, логика и бесконечное. История математики и образования: идеи и опыт». Stud. Wiss. Соз. Bildungsgesch. Математика . Геттинген: Vandenhoeck & Ruprecht (опубликовано в 1996 г.). 11 : 113–148.
• Дэвис, Мартин (1977), "Обзор: Дж. Дональд Монк, математическая логика" , Bull. Амер. Математика. Soc. , 83 : 1007–1011, DOI : 10.1090 / S0002-9904-1977-14357-7
• Дэвис, М .; Хауснер, М. (1978). "Рецензия на книгу. Радость бесконечно малых. Элементарное исчисление Дж. Кейслера". Математический интеллигент . 1 : 168–170. DOI : 10.1007 / BF03023265 . S2CID  121679411 .
• Феферман, Соломон (2000), "Отношения между конструктивными, предикативными и классическими системами анализа", синтезированная библиотека , Kluwer Academic Publishers Group, 125 (292): 317-332, DOI : 10,1023 / A: 1005223128130 , S2CID  46283088; онлайн PDF .
• Гордон, EI; Кусраев, АГ (2002). Кутателадзе С.С. Анализ инфинитезимальных . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-4020-0738-5..
• Халмос, Пол Р. (1985). Я хочу быть математиком: автоматография . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96078-3.
• Хеллман, Джеффри (1993). «Конструктивная математика и квантовая механика: неограниченные операторы и спектральная теорема». Журнал философской логики . 12 (3): 221–248. DOI : 10.1007 / BF01049303 . S2CID  8676552 .
• Кановей, Владимир ; Кац, Михаил Г .; Морманн, Томас (2012), «Инструменты, объекты и химеры: Конн о роли гиперреалов в математике», « Основы науки» , 18 (2): 259–296, arXiv : 1211.0244 , Bibcode : 2012arXiv1211.0244K , doi : 10.1007 / s10699-012-9316-5 , S2CID  7631073
• Кановей, Владимир; Шелах, Сахарон (2004). «Определимая нестандартная модель реалов». Журнал символической логики . 69 (1): 159–164. arXiv : математика / 0311165 . DOI : 10.2178 / JSL / 1080938834 . S2CID  15104702 .
• Кац, Карин; Кац, Михаил (2010). "Когда 0,999 ... меньше 1?" . Энтузиаст математики из Монтаны . 7 (1): 3–30. Архивировано из оригинала на 2011-07-20.
• Кац, Карин Усади; Кац, Михаил Г. (2011), «Смысл в классической математике : противоречит ли он интуиционизму?», Intellectica , 56 (2): 223–302, arXiv : 1110.5456 , Bibcode : 2011arXiv1110.5456U
• Кац, Михаил Г .; Лейхтнам, Эрик (2013), «Коммутирующие и некоммутирующие бесконечно малые», American Mathematical Monthly , 120 (7): 631–641, arXiv : 1304.0583 , Bibcode : 2013arXiv1304.0583K , doi : 10.4169 / amer.math.monthly.120.07.631 , S2CID  35391617
• Кейслер, Х. Джером (1977). "Письмо редактору". Замечает амер. Математика. Soc . 24 : 269.
• Комков, Вадим (1977). "Письмо редактору". Замечает амер. Математика. Soc . 24 (5): 269–271.
• Медведев Ф.А. (1998). «Нестандартный анализ и история классического анализа. Перевод Эйба Шеницера». Амер. Математика. Ежемесячно . 105 (7): 659–664. DOI : 10.2307 / 2589253 . JSTOR  2589253 .
• Стюарт, Ян (1986). "Лягушка и Мышь повторно посещены". Mathematical Intelligencer : 78–82.
• Sullivan, Кэтлин (1976), "Учение Elementary Исчисление Использование подхода Нестандартный анализ", Американский Математический Месячный , 83 (5): 370-375, DOI : 10,2307 / 2318657 , JSTOR  2318657
• Толл, Дэвид (1980), Интуитивные бесконечно малые величины в исчислении (плакат) (PDF) , Четвертый международный конгресс по математическому образованию, Беркли
• Талл, Дэвид (2001), «Естественные и формальные бесконечности», Образовательные исследования по математике , Springer, Нидерланды, 48 (2–3)

Внешние ссылки [ править ]

• Онлайн-версия элементарного исчисления: бесконечно малый подход
• С. Кутателадзе "Обучение математике"