Нестандартное исчисление

В математике , нестандартное исчисление является современным применением инфинитезималей , в смысле нестандартного анализа , для бесконечно малого исчисления . Это обеспечивает строгое обоснование некоторых аргументов в исчислении, которые ранее считались просто эвристическими .

Нестрогие вычисления с бесконечно малыми широко использовались до того, как Карл Вейерштрасс попытался заменить их (ε, δ) -определением предела, начиная с 1870-х годов. (См. Историю исчисления .) В течение почти ста лет после этого математики, такие как Ричард Курант, считали бесконечно малые величины наивными, расплывчатыми или бессмысленными. ^[1]

Вопреки таким взглядам, Абрахам Робинсон показал в 1960 году, что бесконечно малые числа точны, ясны и значимы, основываясь на работе Эдвина Хьюитта и Ежи Лоса . По словам Говарда Кейслера , «Робинсон решил проблему трехсотлетней давности, дав точную трактовку бесконечно малых величин. Достижение Робинсона, вероятно, будет считаться одним из главных математических достижений двадцатого века». ^[2]

История [ править ]

История нестандартного исчисления началась с использования бесконечно малых величин, которые в исчислении называются бесконечно малыми . Использование бесконечно малых чисел можно найти в основах исчисления, независимо разработанных Готфридом Лейбницем и Исааком Ньютоном, начиная с 1660-х годов. Джон Уоллис усовершенствовал более ранние методы неделимых частей Кавальери и других, используя бесконечно малую величину, которую он обозначил в вычислениях площади, подготовив почву для интегрального исчисления . ^[3] Они опирались на работы таких математиков, как Пьер де Ферма ,${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ infty}}}$Исаак Барроу и Рене Декарт .

В раннем исчислении использование бесконечно малых величин подвергалось критике со стороны ряда авторов, в первую очередь Мишеля Ролля и епископа Беркли в его книге «Аналитик» .

Некоторые математики, в том числе Маклорен и Даламбер , выступали за использование пределов. Огюстен Луи Коши разработал широкий спектр основополагающих подходов, включая определение непрерывности в терминах бесконечно малых и (несколько неточный) прототип аргумента ε, δ при работе с дифференцированием. Карл Вейерштрасс формализовал понятие предела в контексте (действительной) системы счисления без бесконечно малых. После работ Вейерштрасса в конечном итоге стало обычным делом основывать исчисления на аргументах ε, δ вместо бесконечно малых.

Этот подход, формализованный Вейерштрассом, стал известен как стандартное исчисление. После многих лет, когда бесконечно малый подход к исчислению вышел из употребления, за исключением вводного педагогического инструмента, использование бесконечно малых величин наконец получило строгое обоснование Абрахамом Робинсоном в 1960-х годах. Подход Робинсона называется нестандартным анализом, чтобы отличить его от стандартного использования пределов. В этом подходе использовались технические средства математической логики для создания теории гиперреалистических чисел, которая интерпретирует бесконечно малые числа таким образом, чтобы допускать развитие обычных правил исчисления в стиле Лейбница. Альтернативный подход, разработанный Эдвардом Нельсоном, находит бесконечно малые числа в самой обычной действительной строке и включает в себя модификацию основного параметра путем расширения ZFC путем введения нового унарного предиката «стандарт».

Мотивация [ править ]

Чтобы вычислить производную функции в точке x , оба подхода согласуются с алгебраическими манипуляциями:${\ displaystyle f '}$${\ Displaystyle у = е (х) = х ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} = {\ frac {(x + \ Delta x) ^ {2} -x ^ {2}} {\ Delta x}} = {\ frac { 2x \ Delta x + (\ Delta x) ^ {2}} {\ Delta x}} = 2x + \ Delta x \ приблизительно 2x}$

Это становится вычислением производных с использованием гиперреалов, если интерпретируется как бесконечно малое, а символ « » является отношением «бесконечно близко к».${\ displaystyle \ Delta x}$${\ Displaystyle \ приблизительно}$

Чтобы сделать f ' функцией с действительным знаком, последний член не используется. В стандартном подходе, использующем только действительные числа, это делается путем принятия предела, стремящегося к нулю. В гиперреальном подходе величина считается бесконечно малой, ненулевым числом, которое ближе к 0, чем к любому ненулевому действительному значению. Манипуляции, показанные выше, затем показывают, что это бесконечно близко к 2 x , поэтому производная f в x тогда равна 2 x .${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle \ Delta y / \ Delta x}$

Отказ от "ошибки" достигается применением стандартной функции детали . Отказ от бесконечно малых ошибок исторически считался парадоксальным некоторыми писателями, в первую очередь Джорджем Беркли .

Когда существует гиперреальная система счисления (бесконечно обогащенный континуум), можно успешно интегрировать большую часть технических трудностей на фундаментальном уровне. Таким образом, эпсилон-дельта-методы, которые, по мнению некоторых, являются сутью анализа, могут быть реализованы раз и навсегда на базовом уровне, и учащимся не нужно «одеваться для выполнения логических трюков с несколькими кванторами под предлогом того, что их учат бесконечно малым. исчисление ", если цитировать недавнее исследование. ^[4] Более конкретно, основные концепции исчисления, такие как непрерывность, производная и интеграл, могут быть определены с использованием бесконечно малых без ссылки на эпсилон, дельта (см. Следующий раздел).

Учебник Кейслера [ править ]

Элементарное исчисление Кейслера : бесконечно малый подход определяет непрерывность на странице 125 в терминах бесконечно малых, исключая эпсилон, дельта-методы. Производная определена на странице 45 с использованием бесконечно малых, а не эпсилон-дельта-подхода. Интеграл определен на стр. 183 в терминах бесконечно малых. Эпсилон, определения дельты представлены на странице 282.

Определение производной [ править ]

В hyperreals могут быть построены в рамках теории множеств Цермело-Френкеля , стандартный аксиоматизация теории множеств используется в другом месте в математике. Чтобы дать интуитивное представление о гиперреальном подходе, обратите внимание, что, наивно говоря, нестандартный анализ постулирует существование положительных чисел ε, которые бесконечно малы , что означает, что ε меньше любого стандартного положительного действительного числа, но больше нуля. Каждое действительное число x окружено бесконечно малым «облаком» гиперреальных чисел, бесконечно близких к нему. Чтобы определить производную f по стандартному действительному числу xв этом подходе больше не нужен бесконечный предельный процесс, как в стандартном исчислении. Вместо этого устанавливается

${\displaystyle f'(x)=\mathrm {st} \left({\frac {f^{*}(x+\varepsilon )-f^{*}(x)}{\varepsilon }}\right),}$

где st - стандартная функция части , дающая действительное число, бесконечно близкое к гиперреальному аргументу st , и является естественным расширением числа на гиперреальные числа.${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle f}$

Непрерывность [ править ]

Вещественная функция f непрерывна при стандартном действительном числе x, если для каждого гиперреалистического x ', бесконечно близкого к x , значение f ( x' ) также бесконечно близко к f ( x ). Это отражает определение непрерывности, данное Коши в его учебнике 1821 года Cours d'Analyse , стр. 34.

Здесь, чтобы быть точным, f пришлось бы заменить его естественным гиперреальным расширением, обычно обозначаемым f ^* (см. Обсуждение принципа переноса в основной статье при нестандартном анализе ).

Используя обозначения для отношения бесконечной близости, как указано выше, определение может быть расширено на произвольные (стандартные или нестандартные) точки следующим образом:${\displaystyle \approx }$

Функция F является микронепрерывна по х , если всякий раз , когда один имеет${\displaystyle x'\approx x}$${\displaystyle f^{*}(x')\approx f^{*}(x)}$

Здесь предполагается, что точка x 'находится в области определения (естественного продолжения) f .

Вышеупомянутое требует меньшего количества кванторов, чем ( ε ,  δ ) -определение, известное из стандартного элементарного исчисления:

f непрерывна в точке x, если для любого ε  > 0 существует такое δ  > 0, что для любого x ' , если | х  -  х '  | <  δ , | f ( x ) -  f ( x '  ) | <  ε .

Единая преемственность [ править ]

Функция f на интервале I является равномерно непрерывной, если ее естественное продолжение f * в I * обладает следующим свойством (см. Кейслер, Основы исчисления бесконечно малых ('07), стр. 45):

для каждой пары гиперреалов x и y в I *, если тогда .${\displaystyle x\approx y}$${\displaystyle f^{*}(x)\approx f^{*}(y)}$

В терминах микропрерывности, определенной в предыдущем разделе, это можно сформулировать следующим образом: действительная функция равномерно непрерывна, если ее естественное продолжение f * микропрерывно в каждой точке области определения f *.

Это определение имеет уменьшенную кванторную сложность по сравнению со стандартным (ε, δ) -определением . А именно, эпсилон-дельта-определение равномерной непрерывности требует четырех кванторов, в то время как бесконечно малое определение требует только двух кванторов. Оно имеет ту же кванторную сложность, что и определение равномерной непрерывности в терминах последовательностей в стандартном исчислении, которое, однако, не выражается на языке первого порядка действительных чисел.

Гиперреальное определение можно проиллюстрировать следующими тремя примерами.

Пример 1: функция f равномерно непрерывна на полуоткрытом интервале (0,1], если и только если ее естественное продолжение f * микропрерывно (в смысле формулы выше) на каждом положительном бесконечно малом, в дополнение к непрерывности в стандартных точках отрезка.

Пример 2: функция f равномерно непрерывна на полуоткрытом интервале [0, ∞) тогда и только тогда, когда она непрерывна в стандартных точках интервала, и, кроме того, естественное продолжение f * микропрерывно в каждой положительной бесконечной гиперреальная точка.

Пример 3: аналогично, нарушение равномерной непрерывности для функции возведения в квадрат

${\displaystyle x^{2}}$

происходит из-за отсутствия микропрерывности в одной бесконечной гиперреальной точке, см. ниже.

Что касается кванторной сложности, Кевин Хьюстон сделал следующие замечания : ^[5]

Количество кванторов в математическом утверждении дает приблизительную меру сложности утверждения. Утверждения, содержащие три или более квантификаторов, могут быть трудными для понимания. Это основная причина, по которой трудно понять строгие определения предела, сходимости, непрерывности и дифференцируемости в анализе, поскольку они имеют много кванторов. Фактически, именно чередование и является причиной сложности.${\displaystyle \forall }$${\displaystyle \exists }$

Андреас Бласс писал следующее:

Часто ... нестандартное определение понятия проще, чем стандартное определение (интуитивно проще и проще в техническом смысле, например, кванторы над более низкими типами или меньшее количество чередований кванторов). ^[6]

Компактность [ править ]

Множество A компактно тогда и только тогда, когда его естественное расширение A * обладает следующим свойством: каждая точка в A * бесконечно близка к точке A. Таким образом, открытый интервал (0,1) не компактен, поскольку его естественное расширение содержит положительные бесконечно малые числа, которые не бесконечно близки к любому положительному действительному числу.

Теорема Гейне – Кантора [ править ]

Тот факт, что непрерывная функция на компактном интервале I обязательно равномерно непрерывна ( теорема Гейне – Кантора ), допускает краткое гиперреалистическое доказательство. Пусть х , у будут hyperreals в естественном продолжении I * от I . Так как я компактно, как й ( х ) и й ( у ) принадлежат к I . Если бы x и y были бесконечно близки, то по неравенству треугольника у них была бы одна и та же стандартная часть

${\displaystyle c=\operatorname {st} (x)=\operatorname {st} (y).}$

Поскольку функция предполагается непрерывной в точке c,

${\displaystyle f(x)\approx f(c)\approx f(y),}$

и поэтому f ( x ) и f ( y ) бесконечно близки, что доказывает равномерную непрерывность f .

Почему функция возведения в квадрат не является равномерно непрерывной? [ редактировать ]

Пусть f ( x ) = x ² определено на . Позвольте быть бесконечным гиперреальным. Гиперреальное число бесконечно близко к N . Между тем разница${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle N\in \mathbb {R} ^{*}}$${\displaystyle N+{\tfrac {1}{N}}}$

${\displaystyle f(N+{\tfrac {1}{N}})-f(N)=N^{2}+2+{\tfrac {1}{N^{2}}}-N^{2}=2+{\tfrac {1}{N^{2}}}}$

не бесконечно мал. Таким образом, е * не может быть микронепрерывной в гипердействительной точке N . Таким образом, функция возведения в квадрат не является равномерно непрерывной в соответствии с определением равномерной непрерывности выше.

Аналогичное доказательство может быть дано в стандартных условиях ( Фитцпатрик, 2006 , пример 3.15).

Пример: функция Дирихле [ править ]

Рассмотрим функцию Дирихле

${\displaystyle I_{Q}(x):={\begin{cases}1&{\text{ if }}x{\text{ is rational}},\\0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational}}.\end{cases}}}$

Хорошо известно, что согласно стандартному определению непрерывности функция разрывна в каждой точке. Давайте проверим это в терминах гиперреального определения непрерывности, приведенного выше, например, покажем, что функция Дирихле не является непрерывной в π. Рассмотрим приближение цепной дроби a _n числа π. Пусть теперь индекс n - бесконечное сверхъестественное число. По принципу переноса естественное продолжение функции Дирихле принимает значение 1 при a _n . Отметим, что гиперрациональная точка a _nбесконечно близко к π. Таким образом, естественное продолжение функции Дирихле принимает разные значения (0 и 1) в этих двух бесконечно близких точках, и поэтому функция Дирихле не является непрерывной в  π .

Лимит [ править ]

Хотя суть подхода Робинсона заключается в том, что можно обойтись без подхода, использующего несколько кванторов, понятие предела может быть легко восстановлено в терминах стандартной функции части st , а именно

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$

тогда и только тогда, когда разность x  -  a бесконечно мала, разность f ( x ) -  L также бесконечно мала или в формулах:

если st ( x ) = a,   то st ( f ( x )) = L,

ср. (ε, δ) -определение предела .

Предел последовательности [ править ]

Дана последовательность действительных чисел , если L - предел последовательности и${\displaystyle \{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$

если для каждого бесконечного сверхъестественного n st (x _n ) = L (здесь принцип расширения используется для определения x _n для каждого гиперинтегрального числа n).

В этом определении нет чередований кванторов . С другой стороны, в определении стандартного (ε, δ) -стиля есть чередования кванторов:

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }x_{n}\Longleftrightarrow \forall \epsilon >0\;,\exists N\in \mathbb {N} \;,\forall n\in \mathbb {N} :n>N\rightarrow |x_{n}-L|<\epsilon .}$

Теорема об экстремальном значении [ править ]

Чтобы показать, что вещественная непрерывная функция f на [0,1] имеет максимум, пусть N бесконечное гиперинтегральное число . Интервал [0, 1] имеет естественное гиперреальное расширение. Функция f также естественным образом распространяется на гиперреалы между 0 и 1. Рассмотрим разбиение гиперреального интервала [0,1] на N подинтервалов равной бесконечно малой длины 1 / N с точками разбиения x _i  = i  / N при i "пробегах. "от 0 до N . В стандартной настройке (когда N конечно) точка с максимальным значением fвсегда можно выбрать среди N +1 точек x _i по индукции. Следовательно, по принципу переноса существует гиперинтегральное число i ₀ такое, что 0 ≤ i ₀  ≤ N и для всех i  = 0,…,  N (альтернативное объяснение состоит в том, что каждое гиперконечное множество допускает максимум). Рассмотрим реальную точку${\displaystyle f(x_{i_{0}})\geq f(x_{i})}$

${\displaystyle c={\rm {st}}(x_{i_{0}})}$

где st - стандартная функция детали . Произвольная действительная точка x лежит в подходящем подынтервале разбиения, а именно так, что st ( x _i ) = x . Применяя ст к неравенству , . В силу непрерывности F ,${\displaystyle x\in [x_{i},x_{i+1}]}$${\displaystyle f(x_{i_{0}})\geq f(x_{i})}$${\displaystyle {\rm {st}}(f(x_{i_{0}}))\geq {\rm {st}}(f(x_{i}))}$

${\displaystyle {\rm {st}}(f(x_{i_{0}}))=f({\rm {st}}(x_{i_{0}}))=f(c)}$.

Следовательно, f ( c ) ≥ f ( x ) для всех x , что доказывает, что c является максимумом действительной функции f . См. Кейслер (1986 , стр. 164) . harvtxt error: no target: CITEREFKeisler1986 (help)

Теорема о промежуточном значении [ править ]

В качестве еще одной иллюстрации силы подхода Робинсона краткое доказательство теоремы о промежуточном значении ( теорема Больцано) с использованием бесконечно малых значений выполняется следующим образом.

Пусть f - непрерывная функция на [ a, b ] такая, что f (a) <0, а f (b)> 0 . Тогда существует точка c в [ a, b ] такая, что f (c) = 0 .

Доказательство проводится следующим образом. Пусть N - бесконечное гиперинтегральное число . Рассмотрим разбиение [ а, Ь ] на N интервалов равной длины, с точки разбиения х _I , как я работает от 0 до N . Рассмотрим набор индексов I такой, что f (x _i )> 0 . Пусть i ₀ - наименьший элемент в I (такой элемент существует по принципу переноса , поскольку I - гиперконечное множество ). Тогда действительное число

${\displaystyle c=\mathrm {st} (x_{i_{0}})}$

- искомый нуль функции f . Такое доказательство снижает кванторную сложность стандартного доказательства IVT.

Основные теоремы [ править ]

Если f - функция с действительными значениями, определенная на интервале [ a , b ], то оператор переноса, применяемый к f , обозначаемый * f , является внутренней гиперреалистической функцией, определенной на гиперреальном интервале [* a , * b ] .

Теорема . Пусть f - вещественная функция, определенная на интервале [ a , b ]. Тогда f дифференцируема при a <x <b тогда и только тогда, когда для любого ненулевого бесконечно малого h значение

${\displaystyle \Delta _{h}f:=\operatorname {st} {\frac {[{}^{*}\!f](x+h)-[{}^{*}\!f](x)}{h}}}$

не зависит от h . В этом случае обычное значение - это производная f в точке x .

Этот факт следует из принципа переноса нестандартного анализа и перелива .

Обратите внимание, что аналогичный результат справедлив для дифференцируемости в конечных точках a , b при условии, что знак бесконечно малого h соответствующим образом ограничен.

Для второй теоремы интеграл Римана определяется как предел, если он существует, направленного семейства сумм Римана ; это суммы вида

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}f(\xi _{k})(x_{k+1}-x_{k})}$

куда

${\displaystyle a=x_{0}\leq \xi _{0}\leq x_{1}\leq \ldots x_{n-1}\leq \xi _{n-1}\leq x_{n}=b.}$

Такая последовательность значений называется разбиением или сеткой и

${\displaystyle \sup _{k}(x_{k+1}-x_{k})}$

ширина сетки. В определении интеграла Римана предел сумм Римана берется при стремлении ширины сетки к 0.

Теорема . Пусть f - вещественная функция, определенная на интервале [ a , b ]. Тогда f интегрируема по Риману на [ a , b ] тогда и только тогда, когда для каждой внутренней сетки бесконечно малой ширины величина

${\displaystyle S_{M}=\operatorname {st} \sum _{k=0}^{n-1}[*f](\xi _{k})(x_{k+1}-x_{k})}$

не зависит от сетки. В этом случае обычным значением является интеграл Римана от f по [ a , b ].

Приложения [ править ]

Одно из непосредственных приложений - это расширение стандартных определений дифференцирования и интегрирования на внутренние функции на интервалах гиперреальных чисел.

Внутренняя гиперреалистическая функция f на [ a, b ] S -дифференцируема в точке x , если

${\displaystyle \Delta _{h}f=\operatorname {st} {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

существует и не зависит от бесконечно малого h . Значение представляет собой производную S в точке x .

Теорема : Пусть F является S -дифференцируема в каждой точке [ а, Ь ] , где Ь - ограниченный гиперреальный. Предположим, кроме того, что

${\displaystyle |f'(x)|\leq M\quad a\leq x\leq b.}$

Тогда для некоторого бесконечно малого ε

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq M(b-a)+\epsilon .}$

Чтобы доказать это, пусть N - нестандартное натуральное число. Разделите интервал [ a , b ] на N подинтервалов, разместив N - 1 промежуточных точек, расположенных на равном расстоянии:

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{N-1}<x_{N}=b}$

потом

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq \sum _{k=1}^{N-1}|f(x_{k+1})-f(x_{k})|\leq \sum _{k=1}^{N-1}\left\{|f'(x_{k})|+\epsilon _{k}\right\}|x_{k+1}-x_{k}|.}$

Теперь максимум любого внутреннего набора бесконечно малых бесконечно мал. Таким образом, во всех ε _k доминирует бесконечно малое ε. Следовательно,

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq \sum _{k=1}^{N-1}(M+\epsilon )(x_{k+1}-x_{k})=M(b-a)+\epsilon (b-a)}$

из чего следует результат.

См. Также [ править ]

• Адекватность
• Критика нестандартного анализа
• Использование архимедом бесконечно малых
• Элементарное исчисление: бесконечно малый подход
• Неклассический анализ

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Фитцпатрик, Патрик (2006), Advanced Calculus , Brooks / Cole
• Х. Джером Кейслер: Элементарное исчисление: подход, использующий бесконечно малые. Первое издание 1976 г .; 2-е издание 1986 г. (Эта книга сейчас больше не издается. Издатель вернул авторские права автору, который предоставил 2-е издание в формате .pdf для загрузки по адресу http://www.math.wisc.edu/ ~ keisler / calc.html .)
• Х. Джером Кейслер: «Основы исчисления бесконечно малых», доступно для загрузки по адресу http://www.math.wisc.edu/~keisler/foundations.html (10 января 2007 г.)
• Бласс, Андреас (1978), "Обзор: Мартин Дэвис, Прикладной нестандартный анализ, и К.Д. Строян и В.А.Дж. Люксембург, Введение в теорию бесконечно малых и Х. Джером Кейслер, Основы исчисления бесконечно малых" , Bull. Амер. Математика. Soc. , 84 (1): 34–41, DOI : 10.1090 / S0002-9904-1978-14401-2
• Барон, Маргарет Э .: Истоки исчисления бесконечно малых. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1987.
• Барон, Маргарет Э .: Истоки исчисления бесконечно малых. Pergamon Press, Oxford-Edinburgh-New York, 1969. (Новое издание книги Барона появилось в 2004 году)
• "Исчисление бесконечно малых" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

Внешние ссылки [ править ]

• Онлайн-версия "Элементарного исчисления: подход, использующий бесконечно малые числа"
• Текст онлайн-исчисления с использованием бесконечно малых