Даттатрея Рамчандра Капрекар (1905–1986) был индийским математиком-любителем, который описал несколько классов натуральных чисел, включая числа Капрекара , харшад и собственные числа, и открыл постоянную Капрекара , названную в его честь. Несмотря на то, что у него не было формального последипломного образования и он работал школьным учителем, он много публиковался и стал хорошо известен в математических кругах. [1]
Даттатрея Рамчандра Капрекар | |
---|---|
Родившийся | Дахану , Махараштра | 17 января 1905 г.
Умер | 1986 (81 год) Devlali , Махараштра |
Национальность | Индийский |
Род занятий | Школьный учитель |
Известен | Результаты по развлекательной математике |
биография
Капрекар получил среднее образование в Тане и учился в колледже Фергюссон в Пуне . В 1927 году он выиграл математическую премию Wrangler RP Paranjpe за оригинальную математическую работу. [2]
Он учился в университете Мумбаи , получив степень бакалавра в 1929 году. Никогда не получая формального последипломного образования, на протяжении всей своей карьеры (1930–1962) он был школьным учителем в Нашике в Махараштре, Индия. Он много публиковал, писал на такие темы, как повторяющиеся десятичные дроби , магические квадраты и целые числа со специальными свойствами. Он также известен как «Ганитананд».
Открытия
Работая в основном в одиночку, Капрекар открыл ряд результатов в теории чисел и описал различные свойства чисел. [3] В дополнении к постоянной Kaprekar в и числа Kaprekar , которые были названы в честь него, он также описал номера самостоятельно или номер Devlali , в Харшад номер и номер Demlo . Он также построил определенные типы магических квадратов, связанных с магическим квадратом Коперника. [4] Первоначально его идеи не принимались всерьез индийские математики, и его результаты публиковались в основном в математических журналах низкого уровня или публиковались в частном порядке, но международная известность пришла, когда Мартин Гарднер написал о Капрекаре в мартовской колонке 1975 года в журнале « Математические игры для науки». Американец . Сегодня его имя хорошо известно, и многие другие математики продолжили изучение свойств, которые он открыл. [1]
Постоянная Капрекара
В 1949 году Капрекар обнаружил интересное свойство числа 6174, которое впоследствии было названо постоянной Капрекара. [5] Он показал, что 6174 достигается в пределе, если многократно вычитать наибольшее и наименьшее числа, которые могут быть построены из набора из четырех цифр, которые не все идентичны. Таким образом, начиная с 1234 года имеем:
- 4321 - 1234 = 3087, тогда
- 8730 - 0378 = 8352, а
- 8532 - 2358 = 6174.
Повторение с этого момента оставляет то же самое число (7641 - 1467 = 6174). Обычно операция сходится максимум за семь итераций.
Аналогичная константа для 3 цифр - 495 . [6] Однако в базе 10 такая константа существует только для чисел из 3 или 4 цифр; для других длин цифр или оснований, отличных от 10, стандартный алгоритм Капрекара, описанный выше, может, как правило, завершаться множеством различных констант или повторяющимися циклами в зависимости от начального значения. [7]
Число Капрекара
Другой класс чисел, описанный Капрекаром, - это числа Капрекара. [8] Число Капрекара - это положительное целое число, обладающее тем свойством, что если оно возведено в квадрат, то его представление может быть разделено на две положительные целые части, сумма которых равна исходному числу (например, 45, поскольку 45 2 = 2025, и 20 + 25 = 45, также 9, 55, 99 и т. Д.) Однако обратите внимание на ограничение, что два числа положительны; например, 100 не является числом Капрекара, даже если 100 2 = 10000 и 100 + 00 = 100. Эта операция по взятию крайних правых цифр квадрата и добавлению их к целому числу, образованному крайними левыми цифрами, известна как операция Капрекара.
Вот некоторые примеры чисел Капрекара в базе 10, помимо чисел 9, 99, 999,… (последовательность A006886 в OEIS ):
Номер | Квадрат | Разложение |
---|---|---|
703 | 703² = 494209 | 494 + 209 = 703 |
2728 | 2728² = 7441984 | 744 + 1984 = 2728 |
5292 | 5292² = 28005264 | 28 + 005264 = 5292 |
857143 | 857143² = 734694122449 | 734694 + 122449 = 857143 |
Девлали или собственный номер
В 1963 году Капрекар определил свойство, известное как собственные числа [9], как целые числа, которые нельзя сгенерировать, взяв какое-то другое число и добавив к нему свои собственные цифры. Например, 21 не является собственным числом, так как его можно сгенерировать из 15:15 + 1 + 5 = 21. Но 20 - это собственное число, так как оно не может быть сгенерировано из любого другого целого числа. Он также дал тест на проверку этого свойства в любом количестве. Иногда их называют числами Девлали (по названию города, в котором он жил); хотя это, по-видимому, его предпочтительное обозначение [9], термин «собственный номер» более распространен. Иногда они также обозначаются колумбийскими числами s после более позднего обозначения.
Номер Харшада
Капрекар также описал числа харшад, которые он назвал харшад, что означает «дарить радость» ( санскрит харша , радость + да таддхита пратьйа, причинный фактор ); они определяются тем свойством, что они делятся на сумму своих цифр. Таким образом, 12, которое делится на 1 + 2 = 3, является числом харшад. Позже они были также названы числами Нивена после лекции 1977 года канадского математика Ивана М. Нивена . Числа, которые являются жесткими во всех основах (только 1, 2, 4 и 6), называются числами, которые являются жесткими . Много работ было проделано над числами резких чисел, и их распределение, частота и т. Д. Сегодня представляют значительный интерес в теории чисел. [ необходима цитата ]
Номер Демло
Kaprekar также изучили числа Demlo , [10] , названные в честь железнодорожной станции в 30 милях от Бомбея на то GIP железной дороги , где он имел представление о том , изучая их. [1] Самыми известными из них являются Чудесные числа Демло 1, 121, 12321, 1234321,…, которые представляют собой квадраты повторных единиц 1, 11, 111,1111,…. [11]
Смотрите также
Ссылки
- ^ a b c О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Д. Р. Капрекар" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
- ^ Дилип М. Салви (24 января 2005 г.). «Даттарая Рамчандра Капрекар» . Архивировано из оригинального 16 ноября 2007 года . Проверено 30 ноября 2007 года .
- ^ Атмараман, Р. (2004). Чудо-мир чисел Капрекара . Ченнаи (Индия): Ассоциация учителей математики Индии.
- ^ Капрекар Д.Р. (1974). «Волшебный квадрат Коперника». Индийский журнал истории науки . 9 (1).
- ^ Капрекар Д.Р. (1949). «Другой пасьянс». Scripta Mathematica . 15 : 244–245.
- ^ Неофициальное доказательство собственности за три цифры
- ^ "Таинственный номер 6174" в журнале Plus
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Число Капрекара» . MathWorld .
- ^ a b Капрекар, Д.Р. Математика новых собственных чисел Devalali (1963) nn: 19–20
- ^ Гунджикар, КР; Капрекар, DR (1939). «Теория чисел Демло» (PDF) . J. Univ. Бомбей . VIII (3): 3–9.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Число Демло" . MathWorld .
Внешние ссылки
- «Загадочное число 6174»
- Numberphile (5 декабря 2011 г.) 6174 видео на YouTube от Numberphile