Число Капрекара

В математике , натуральное число в данной системе счисления является - число Kaprekar если представление его квадрата в этой базе может быть разделена на две части, где вторая часть содержит цифры, которые добавляют до первоначального количества. Номера названы в честь Д.Р. Капрекара . ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$

Определение и свойства [ править ]

Позвольте быть натуральным числом. Мы определяем функцию Капрекара для основания и мощности следующим образом: ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle b> 1}$ ${\ displaystyle p> 0}$ ${\ displaystyle F_ {p, b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$

{\ Displaystyle F_ {p, b} (п) = \ альфа + \ бета}

,

где и ${\ Displaystyle \ бета = п ^ {2} {\ bmod {b}} ^ {p}}$

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {n ^ {2} - \ beta} {b ^ {p}}}}

Натуральное число является - число Kaprekar , если она является неподвижной точкой для , которое происходит , если . и являются тривиальными числами Капрекара для всех, и все другие числа Капрекара являются нетривиальными числами Капрекара . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle F_ {p, b}}$ $F_{p,b}(n)=n$ $0$ $1$ $b$ $p$

Например, в базе 10 45 - это 2-число Капрекара, потому что

\beta =n^{2}{\bmod {b}}^{p}=45^{2}{\bmod {1}}0^{2}=25

\alpha ={\frac {n^{2}-\beta }{b^{p}}}={\frac {45^{2}-25}{10^{2}}}=20

F_{2,10}(45)=\alpha +\beta =20+25=45

Натуральное число является общительным число Kaprekar , если она является периодической точкой для , где для положительного целого числа (где является й итерации из ), и образует цикл периода . Число Капрекара - это общительное число Капрекара с , а дружное число Капрекара - это общительное число Капрекара с . $n$ $F_{p,b}$ $F_{p,b}^{k}(n)=n$ $k$ $F_{p,b}^{k}$ $k$ $F_{p,b}$ $k$ $k=1$ $k=2$

Число итераций , необходимых для достичь неподвижной точки является функция Kaprekar в сохранении в , и неопределенном , если он никогда не достигает фиксированную точку. $i$ $F_{p,b}^{i}(n)$ $n$

Для данной базы существует только конечное число чисел Капрекара и циклов , потому что если , где, то $p$ $b$ $n=b^{p}+m$ $m>0$

${\begin{aligned}n^{2}&=(b^{p}+m)^{2}\\&=b^{2p}+2mb^{p}+m^{2}\\&=(b^{p}+2m)b^{p}+m^{2}\\\end{aligned}}$

и , и . Только когда существуют числа и циклы Капрекара. $\beta =m^{2}$ $\alpha =b^{p}+2m$ $F_{p,b}(n)=b^{p}+2m+m^{2}=n+(m^{2}+m)>n$ $n\leq b^{p}$

Если - любой делитель , то также является числом Капрекара для основания . $d$ $p$ $n$ $p$ $b^{p}$

В основе все четные числа являются числами Капрекара. В более общем смысле, любые числа в форме или натурального числа являются числами Капрекара с основанием 2 . $b=2$ $2^{n}(2^{n+1}-1)$ $2^{n}(2^{n+1}+1)$ $n$

Определение теории множеств и унитарные делители [ править ]

Мы можем определить набор для данного целого числа как набор целых чисел, для которых существуют натуральные числа и удовлетворяющие диофантовому уравнению ^[1] $K(N)$ $N$ $X$ $A$ $B$

X^{2}=AN+B

, куда

0\leq B<N

X=A+B

-Kaprekar номер для базы затем тот , который лежит в множестве . $n$ $b$ $K(b^{n})$

Как было показано в 2000 году ^[1] , что существует взаимно однозначное соответствие между унитарными делителей из и множества , определенного выше. Пусть обозначим через мультипликативный обратный по модулю , а именно наименьшее целое положительное число такое , что и для каждого унитарного делителя из пусть и . Тогда функция является биекцией из множества унитарных делителей на множество . В частности, число входит в набор тогда и только тогда, когда для некоторого унитарного делителя числа . $N-1$ $K(N)$ ${\text{Inv}}(a,c)$ $a$ $c$ $m$ $am=1{\bmod {c}}$ $d$ $N-1$ $e={\frac {N-1}{d}}$ $\zeta (d)=d\ {\text{Inv}}(d,e)$ $\zeta$ $N-1$ $K(N)$ $X$ $K(N)$ $X=d\ {\text{Inv}}(d,e)$ $d$ $N-1$

Числа в входят в дополнительные пары, и . Если - унитарный делитель, то так и есть , а если - то . $K(N)$ $X$ $N-X$ $d$ $N-1$ $e={\frac {N-1}{d}}$ $X=d\ {\text{Inv}}(d,e)$ $N-X=e\ {\text{Inv}}(e,d)$

Числа Капрекара для $F_{p,b}$ [ править ]

b = 4 k + 3 и p = 2 n + 1 [ править ]

Позвольте и быть натуральными числами, основанием числа и . Потом: $k$ $n$ $b=4k+3=2(2k+1)+1$ $p=2n+1$

$X_{1}={\frac {b^{p}-1}{2}}=(2k+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}$ является числом Капрекара.

Доказательство -

Позволять

${\begin{aligned}X_{1}&={\frac {b^{p}-1}{2}}\\&={\frac {b-1}{2}}\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}\\&={\frac {4k+3-1}{2}}\sum _{i=0}^{2n+1-1}b^{i}\\&=(2k+1)\sum _{i=0}^{2n}b^{i}\\\end{aligned}}$

Потом,

${\begin{aligned}X_{1}^{2}&=\left({\frac {b^{p}-1}{2}}\right)^{2}\\&={\frac {b^{2p}-2b^{p}+1}{4}}\\&={\frac {b^{p}(b^{p}-2)+1}{4}}\\&={\frac {(4k+3)^{2n+1}(b^{p}-2)+1}{4}}\\&={\frac {(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)(4k+4)-(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)+1}{4}}\\&={\frac {-(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)+1}{4}}+(k+1)(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)\\&={\frac {-(4k+3)^{2n-1}(b^{p}-2)(4k+4)+(4k+3)^{2n-1}(b^{p}-2)+1}{4}}+(k+1)b^{2n}(b^{2n+1}-2)\\&={\frac {(4k+3)^{2n-1}(b^{p}-2)+1}{4}}+(k+1)b^{2n}(b^{p}-2)-(k+1)b^{2n-1}(b^{2n+1}-2)\\&={\frac {(4k+3)^{p-2}(b^{p}-2)+1}{4}}+\sum _{i=p-2}^{p-1}(-1)^{i}(k+1)b^{i}(b^{p}-2)\\&={\frac {(4k+3)^{p-2}(b^{p}-2)+1}{4}}+(b^{p}-2)(k+1)\sum _{i=p-2}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&={\frac {(4k+3)^{1}(b^{p}-2)+1}{4}}+(b^{p}-2)(k+1)\sum _{i=1}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&={\frac {-(b^{p}-2)+1}{4}}+(b^{p}-2)(k+1)\sum _{i=0}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+{\frac {-b^{2n+1}+3}{4}}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+{\frac {-4b^{2n+1}+3b^{2n+1}+3}{4}}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {3b^{2n+1}+3}{4}}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {3(4k+3)^{p-2}+3}{4}}+3(k+1)\sum _{i=p-2}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {3(4k+3)^{1}+3}{4}}+3(k+1)\sum _{i=1}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {-3+3}{4}}+3(k+1)\sum _{i=0}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+3(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}\\&=(b^{p}-2+3)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}\\&=(b^{p}+1)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}\\&=(b^{p}+1)\left(-1+(k+1)\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+(k+1)\sum _{i=1}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+(k+1)\sum _{i=1}^{n}b^{2i}-b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+(k+1)\sum _{i=1}^{n}(b-1)b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+\sum _{i=1}^{n}((k+1)b-k-1)b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(4k+3)-k-1)b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+1\\&=b^{p}\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\\\end{aligned}}$

Два числа и являются $\alpha$ $\beta$

\beta =X_{1}^{2}{\bmod {b}}^{p}=k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}

\alpha ={\frac {X_{1}^{2}-\beta }{b^{p}}}=k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}

и их сумма

${\begin{aligned}\alpha +\beta &=\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+2(3k+2))b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(6k+4))b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(4k+3))b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k+1)b)b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}(2k+1)b^{2i}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=\sum _{i=0}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=(2k+1)\sum _{i=0}^{2n}b^{i}\\&=X_{1}\\\end{aligned}}$

Таким образом, это число Капрекара. $X_{1}$

$X_{2}={\frac {b^{p}+1}{2}}=X_{1}+1$ является числом Капрекара для всех натуральных чисел . $n$

Доказательство -

Позволять

${\begin{aligned}X_{2}&={\frac {b^{2n+1}+1}{2}}\\&={\frac {b^{2n+1}-1}{2}}+1\\&=X_{1}+1\\\end{aligned}}$

Потом,

${\begin{aligned}X_{2}^{2}&=(X_{1}+1)^{2}\\&=X_{1}^{2}+2X_{1}+1\\&=X_{1}^{2}+2X_{1}+1\\&=b^{p}\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+b^{p}-1+1\\&=b^{p}\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\\\end{aligned}}$

Два числа и являются $\alpha$ $\beta$

\beta =X_{2}^{2}{\bmod {b}}^{p}=k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}

\alpha ={\frac {X_{2}^{2}-\beta }{b^{p}}}=k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}

и их сумма

${\begin{aligned}\alpha +\beta &=\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+2(3k+2))b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(6k+4))b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(4k+3))b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k+1)b)b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}(2k+1)b^{2i}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=1+\sum _{i=0}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=1+(2k+1)\sum _{i=0}^{2n}b^{i}\\&=1+X_{1}\\&=X_{2}\\\end{aligned}}$

Таким образом, это число Капрекара. $X_{2}$

b = m ²k + m + 1 и p = mn + 1 [ править ]

Позвольте , и быть натуральными числами, основанием числа и степенью . Потом: $m$ $k$ $n$ $b=m^{2}k+m+1$ $p=mn+1$

$X_{1}={\frac {b^{p}-1}{m}}=(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}$ является числом Капрекара.
$X_{2}={\frac {b^{p}+m-1}{m}}=X_{1}+1$ является числом Капрекара.

b = m ²k + m + 1 и p = mn + m - 1 [ править ]

Позвольте , и быть натуральными числами, основанием числа и степенью . Потом: $m$ $k$ $n$ $b=m^{2}k+m+1$ $p=mn+m-1$

$X_{1}={\frac {m(b^{p}-1)}{4}}=(m-1)(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}$ является числом Капрекара.
$X_{2}={\frac {mb^{p}+1}{4}}=X_{3}+1$ является числом Капрекара.

b = m ²k + m ² - m + 1 и p = mn + 1 [ править ]

Позвольте , и быть натуральными числами, основанием числа и степенью . Потом: $m$ $k$ $n$ $b=m^{2}k+m^{2}-m+1$ $p=mn+m-1$

$X_{1}={\frac {(m-1)(b^{p}-1)}{m}}=(m-1)(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}$ является числом Капрекара.
$X_{2}={\frac {(m-1)b^{p}+1}{m}}=X_{1}+1$ является числом Капрекара.

b = m ²k + m ² - m + 1 и p = mn + m - 1 [ править ]

Позвольте , и быть натуральными числами, основанием числа и степенью . Потом: $m$ $k$ $n$ $b=m^{2}k+m^{2}-m+1$ $p=mn+m-1$

$X_{1}={\frac {b^{p}-1}{m}}=(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}$ является числом Капрекара.
$X_{2}={\frac {b^{p}+m-1}{m}}=X_{3}+1$ является числом Капрекара.

Числа Капрекара и циклы для конкретного , $F_{p,b}$ $p$ $b$ [ править ]

Все числа в базе . $b$

Основание $b$	Мощность $p$	Нетривиальные числа Капрекара , $n\neq 0$ $n\neq 1$	Циклы
2	1	10	$\varnothing$
3	1	2, 10	$\varnothing$
4	1	3, 10	$\varnothing$
5	1	4, 5, 10	$\varnothing$
6	1	5, 6, 10	$\varnothing$
7	1	3, 4, 6, 10	$\varnothing$
8	1	7, 10	2 → 4 → 2
9	1	8, 10	$\varnothing$
10	1	9, 10	$\varnothing$
11	1	5, 6, А, 10	$\varnothing$
12	1	Б, 10	$\varnothing$
13	1	4, 9, С, 10	$\varnothing$
14	1	Д, 10	$\varnothing$
15	1	7, 8, E, 10	2 → 4 → 2 9 → B → 9
16	1	6, А, Ж, 10	$\varnothing$
2	2	11	$\varnothing$
3	2	22, 100	$\varnothing$
4	2	12, 22, 33, 100	$\varnothing$
5	2	14, 31, 44, 100	$\varnothing$
6	2	23, 33, 55, 100	15 → 24 → 15 41 → 50 → 41
7	2	22, 45, 66, 100	$\varnothing$
8	2	34, 44, 77, 100	4 → 20 → 4 11 → 22 → 11 45 → 56 → 45
2	3	111, 1000	10 → 100 → 10
3	3	111, 112, 222, 1000	10 → 100 → 10
2	4	110, 1010, 1111, 10000	$\varnothing$
3	4	121, 2102, 2222, 10000	$\varnothing$
2	5	11111, 100000	10 → 100 → 10000 → 1000 → 10 111 → 10010 → 1110 → 1010 → 111
3	5	11111, 22222, 100000	10 → 100 → 10000 → 1000 → 10
2	6	11100, 100100, 111111, 1000000	100 → 10000 → 100 1001 → 10010 → 1001 100101 → 101110 → 100101
3	6	10220, 20021, 101010, 121220, 202202, 212010, 222222, 1000000	100 → 10000 → 100 122012 → 201212 → 122012
2	7	1111111, 10000000	10 → 100 → 10000 → 10 1000 → 1000000 → 100000 → 1000 100110 → 101111 → 110010 → 1010111 → 1001100 → 111101 → 100110
3	7	1111111, 1111112, 2222222, 10000000	10 → 100 → 10000 → 10 1000 → 1000000 → 100000 → 1000 1111121 → 1111211 → 1121111 → 1111121
2	8	1010101, 1111000, 10001000, 10101011, 11001101, 11111111, 100000000	$\varnothing$
3	8	2012021, 10121020, 12101210, 21121001, 20210202, 22222222, 100000000	$\varnothing$
2	9	10010011, 101101101, 111111111, 1000000000	10 → 100 → 10000 → 100000000 → 10000000 → 100000 → 10 1000 → 1000000 → 1000 10011010 → 11010010 → 10011010

Расширение до отрицательных целых чисел [ править ]

Числа Капрекара могут быть расширены до отрицательных целых чисел путем использования представления цифр со знаком для представления каждого целого числа.

Упражнение по программированию [ править ]

В приведенном ниже примере реализуется функция Капрекара, описанная в определении выше, для поиска чисел и циклов Капрекара в Python .

def  kaprekarf ( x :  int ,  p :  int ,  b :  int )  ->  int :  beta  =  pow ( x ,  2 )  %  pow ( b ,  p )  alpha  =  ( pow ( x ,  2 )  -  beta )  //  pow ( б ,  п )  у  =  альфа  +  бета вернуть  yЗащиту  kaprekarf_cycle ( х :  ИНТ ,  р :  INT ,  б :  ИНТ )  ->  Список [ ИНТ ]:  видел  =  [] ,  а  х  <  Пау ( б ,  р )  и  х  не  в  видел :  видел . append ( x )  x  =  kaprekarf ( x ,  p ,  b ),  если  x >  pow ( b ,  p ):  return  []  cycle  =  []  пока  x  не находится  в  цикле :  cycle . append ( x )  x  =  kaprekarf ( x ,  p ,  b )  цикл возврата

См. Также [ править ]

Арифметическая динамика
Автоморфный номер
Номер Дудени
Факторион
Счастливый номер
Постоянная Капрекара
Число Меертенса
Нарциссическое число
Идеальный инвариант между цифрами
Идеальный цифровой инвариант
Сумма-номер продукта

Примечания [ править ]

^ а б Ианнуччи ( 2000 )

Ссылки [ править ]

Д. Р. Капрекар (1980–1981). «О числах Капрекара». Журнал развлекательной математики . 13 : 81–82.
М. Чарош (1981–1982). «Некоторые приложения изгнания 999 ...». Журнал развлекательной математики . 14 : 111–118.
Ианнуччи, Дуглас Э. (2000). «Числа Капрекара» . Журнал целочисленных последовательностей . 3 : 00.1.2.CS1 maint: ref=harv (link)

[iannucci-1] а б Ианнуччи ( 2000 )

[1]