В математике и функциональном анализе прямой интеграл является обобщением понятия прямой суммы . Теория наиболее развита для прямых интегралов гильбертовых пространств и прямых интегралов алгебр фон Неймана . Понятие было введено в 1949 году Джоном фон Нейманом в одной из статей серии « О кольцах операторов».. Одной из целей фон Неймана в этой статье было свести классификацию (тех, что сейчас называют) алгебр фон Неймана на сепарабельных гильбертовых пространствах к классификации так называемых факторов. Факторы аналогичны полным матричным алгебрам над полем, и фон Нейман хотел доказать непрерывный аналог теоремы Артина-Веддерберна, классифицирующей полупростые кольца.
Результаты о прямых интегралах можно рассматривать как обобщение результатов о конечномерных С*-алгебрах матриц; в этом случае результаты легко доказываются непосредственно. Бесконечномерный случай усложняется техническими особенностями теории меры.
Теория прямого интеграла также использовалась Джорджем Макки в его анализе систем импримитивности и его общей теории индуцированных представлений локально компактных сепарабельных групп.
Простейшим примером прямого интеграла являются пространства L 2 , ассоциированные с (σ-конечной) счетно-аддитивной мерой µ на измеримом пространстве X . В несколько более общем виде можно рассмотреть сепарабельное гильбертово пространство H и пространство квадратично-интегрируемых H - значных функций
Терминологическое примечание . Здесь следует терминология, принятая в литературе по данному вопросу, согласно которой измеримое пространство X называется борелевским пространством , а элементы выделенной σ-алгебры X — борелевскими множествами, независимо от того, основная σ-алгебра исходит из топологического пространства (в большинстве примеров это так). Борелевское пространство является стандартным тогда и только тогда , когда оно изоморфно основному борелевскому пространству польского пространства ; все польские пространства данной мощности изоморфны друг другу (как борелевские пространства). Для заданной счетно-аддитивной меры µ на X измеримым множеством называется множество, отличающееся от борелевского нанулевой набор . Мера µ на X является стандартной мерой тогда и только тогда, когда существует нулевое множество E такое, что его дополнение X − E является стандартным борелевским пространством . [ требуется уточнение ] Все рассматриваемые здесь меры являются σ-конечными.
Определение . Пусть X — борелевское пространство со счетно-аддитивной мерой µ. Измеримым семейством гильбертовых пространств на ( X , µ) называется семейство { H x } x ∈ X , которое локально эквивалентно тривиальному семейству в следующем смысле: существует счетное разбиение