В математике теорема Данжуа дает достаточное условие для того, чтобы диффеоморфизм окружности был топологически сопряжен диффеоморфизму специального вида, а именно иррациональному вращению . Данжуа ( 1932 ) доказал теорему в ходе своей топологической классификации гомеоморфизмов окружности. Он также привел пример диффеоморфизма C 1 с иррациональным числом вращения , не сопряженным с вращением.
Пусть ƒ : S1 → S1 — сохраняющий ориентацию диффеоморфизм окружности, число вращения которого θ = ρ ( ƒ ) иррационально . Предположим, что она имеет положительную производную ƒ ′ ( x ) > 0, которая является непрерывной функцией с ограниченной вариацией на отрезке [0,1). Тогда ƒ топологически сопряжено иррациональному вращению на θ . Более того, каждая орбита плотна и каждый нетривиальный интервал Iкруга пересекает его прямой образ ƒ ° q ( I ) для некоторого q > 0 (это означает, что неблуждающее множество ƒ — это весь круг).
Если ƒ является отображением C 2 , то выполняется гипотеза о производной; однако для любого иррационального числа вращения Данжуа построил пример, показывающий, что это условие нельзя ослабить до C 1 , непрерывной дифференцируемости ƒ .
Владимир Арнольд показал, что сопрягающее отображение не обязательно должно быть гладким даже для аналитического диффеоморфизма окружности. Позже Мишель Герман доказал, что, тем не менее, сопрягающее отображение аналитического диффеоморфизма само по себе является аналитическим для «большинства» чисел вращения, образуя множество полной меры Лебега , а именно для тех, которые плохо аппроксимируются рациональными числами. Его результаты носят еще более общий характер и определяют класс дифференцируемости сопрягающего отображения для диффеоморфизмов C r с любым r ⩾ 3.