Приближение Дерягина

Приближение Дерягина связывает силу между двумя сферами (вверху) и энергию взаимодействия между двумя пластинами (внизу).

Приближение Дерягина (иногда также называют приближение близости ) из - за российские ученый Б. Дерягин выражает сила профиля , действующий между телами конечных размеров с точкой зрения профиля силы между двумя плоскими полубесконечный стенками. ^[1] Это приближение широко используется для оценки сил между коллоидными частицами , поскольку силы между двумя плоскими телами часто намного легче вычислить. Приближение Дерягина выражает силу F ( h ) между двумя телами как функцию разделения поверхностей как ^[2]

${\ Displaystyle F (h) = 2 \ pi R _ {\ rm {eff}} W (h),}$

где W ( h ) - энергия взаимодействия на единицу площади между двумя плоскими стенками, а R _eff - эффективный радиус. Когда два тела представляют собой две сферы с радиусами R ₁ и R ₂ , соответственно, эффективный радиус определяется выражением

${\ displaystyle R _ {\ rm {eff}} ^ {- 1} = R_ {1} ^ {- 1} + R_ {2} ^ {- 1}.}$

Экспериментальные профили сил между макроскопическими телами, измеренные с помощью прибора для измерения поверхностных сил (SFA) ^[3] или метода коллоидного зонда ^[4] , часто указываются как отношение F ( h ) / R _eff .

Вовлеченные количества и срок действия [ править ]

Сила F ( h ) между двумя телами связана со свободной энергией взаимодействия U ( h ) соотношением

${\ displaystyle F (h) = - {dU \ over dh},}$

где h - расстояние от поверхности до поверхности. И наоборот, когда известен профиль силы, можно оценить энергию взаимодействия как

${\ Displaystyle U (h) = \ int _ {h} ^ {\ infty} F (h ') \, dh'.}$

Если рассматривать две плоские стены, соответствующие количества выражаются на единицу площади. Расклинивающее давление - это сила на единицу площади, которая может быть выражена производной

${\ displaystyle \ Pi (h) = - {dW \ over dh},}$

где W ( h ) - свободная энергия поверхности на единицу площади. Наоборот, есть

${\ displaystyle W (h) = \ int _ {h} ^ {\ infty} \ Pi (h ') \, dh'.}$

Основное ограничение приближения Дерягина состоит в том, что оно справедливо только на расстояниях, намного меньших, чем размер задействованных объектов, а именно h ≪ R ₁ и h ≪ R ₂ . Кроме того, это приближение континуума и, следовательно, справедливо на расстояниях, превышающих масштаб молекулярной длины. Было показано, что даже когда речь идет о шероховатых поверхностях, это приближение справедливо во многих ситуациях. ^[5] Диапазон его применимости ограничен расстояниями, превышающими характерный размер шероховатости поверхности (например, среднеквадратичная шероховатость).

Особые случаи [ править ]

Часто используемые геометрии для приближения Дерягина. Две одинаковые сферы, плоская стенка и сфера, а также два перпендикулярно пересекающихся цилиндра (слева направо).

Часто рассматриваемые геометрии предполагают взаимодействие двух одинаковых сфер радиуса R, где эффективный радиус становится равным

${\displaystyle R_{\rm {eff}}=R/2.}$

В случае взаимодействия сферы радиуса R с плоской поверхностью имеем

${\displaystyle R_{\rm {eff}}=R.}$

Эти два соотношения могут быть получены как частные случаи выражения для R _eff, приведенного выше. Для ситуации перпендикулярно пересекающихся цилиндров, как используется в аппарате поверхностных сил, есть

${\displaystyle R_{\rm {eff}}={\sqrt {R_{1}R_{2}}},}$

где R ₁ и R ₂ - радиусы кривизны двух задействованных цилиндров.

Упрощенный вывод [ править ]

Пояснения к выводу приближения Дерягина для двух одинаковых сфер.

В качестве иллюстрации рассмотрим силу F ( h ) между двумя идентичными сферами радиуса R. Считается, что поверхности двух соответствующих сфер нарезаны на бесконечно малые диски шириной dr и радиусом r, как показано на рисунке. Сила определяется суммой соответствующих давлений набухания между двумя дисками.

${\displaystyle F=\int \Pi (x)\,dA,}$

где x - расстояние между дисками, а dA - площадь одного из этих дисков. Это расстояние можно выразить как x = h +2 y . Рассматривая теорему Пифагора о сером треугольнике, показанном на рисунке, мы имеем

${\displaystyle R^{2}=(R-y)^{2}+r^{2}.}$

Расширение этого выражения и понимая , что у « R можно обнаружить , что область диска может быть выражена как

${\displaystyle dA=2\pi r\,dr=2\pi R\,dy=\pi R\,dx.}$

Теперь силу можно записать как

${\displaystyle F(h)=\pi R\int _{h}^{\infty }\Pi (x)\,dx=\pi RW(h),}$

где W ( h ) - указанная выше свободная энергия поверхности на единицу площади. При введении уравнения выше, верхний предел интегрирования был заменен на бесконечности, что примерно правильно до тех пор , как ч « R .

Общий случай [ править ]

В общем случае двух выпуклых тел эффективный радиус можно выразить следующим образом ^[6]

${\displaystyle {\frac {1}{R_{\rm {eff}}^{2}}}=\left({\frac {1}{R'_{1}}}+{\frac {1}{R'_{2}}}\right)\left({\frac {1}{R''_{1}}}+{\frac {1}{R''_{2}}}\right)+\left({\frac {1}{R'_{1}}}-{\frac {1}{R''_{1}}}\right)\left({\frac {1}{R'_{2}}}-{\frac {1}{R''_{2}}}\right)\sin ^{2}\varphi ,}$

где R ' _i и R' _i - главные радиусы кривизны для поверхностей i = 1 и 2, вычисленные в точках ближайшего расстояния сближения, а φ - угол между плоскостями, образованными кругами с меньшими радиусами кривизны. тела не имеют сферической формы вокруг позиции наибольшего сближения, крутящий момент между двумя телами развивается и задается формулой ^[6]

${\displaystyle T=\pi R_{\rm {eff}}^{3}V(h)\left({\frac {1}{R'_{1}}}-{\frac {1}{R''_{1}}}\right)\left({\frac {1}{R'_{2}}}-{\frac {1}{R''_{2}}}\right)\sin 2\varphi ,}$

где

${\displaystyle V(h)=\int _{h}^{\infty }W(h')\,dh'.}$

Вышеупомянутые выражения для двух сфер восстанавливаются путем установки R ' _i = R " _i = R _i . В этом случае крутящий момент исчезает.

Выражение для двух перпендикулярно пересекающихся цилиндров получается из R ' _i = R _i и R " _i → ∞. В этом случае крутящий момент будет направлять цилиндры перпендикулярно для сил отталкивания. Для сил притяжения крутящий момент будет стремиться выровнять их .

Эти общие формулы использовались для приблизительной оценки сил взаимодействия между эллипсоидами. ^[7]

Помимо приближения Дерягина [ править ]

Приближение Дерягина уникально ввиду своей простоты и общности. Чтобы улучшить это приближение, были предложены метод интегрирования элементов поверхности, а также подход интегрирования поверхностей для получения более точных выражений сил между двумя телами. Эти процедуры также учитывают относительную ориентацию приближающихся поверхностей. ^{[8] [9]}

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Зипман, FR (2006). «Точные выражения для сил и энергий взаимодействия коллоидных плоскостей и частиц с приложениями к атомно-силовой микроскопии». J. Phys .: Condens. Материя . 8 (10): 2795–2803. Bibcode : 2006JPCM ... 18.2795Z . DOI : 10.1088 / 0953-8984 / 18/10/005 .