В математике , особенно в гомологической алгебре , дифференциальная градуированная категория , часто сокращаемая до dg-категории или DG категории , представляет собой категорию , множества морфизмов которой наделены дополнительной структурой дифференциального градуированного -модуля.
Подробно это означает , что морфизмы от любого объекта A к другому объекту B категории являются прямой суммой
и на этой градуированной группе существует дифференциал d , т. е. для каждого n существует линейное отображение
- ,
который должен удовлетворять . Это эквивалентно тому, что это комплекс коцепей . Кроме того, композиция морфизмов должна быть картой комплексов, а для всех объектов A категории требуется .
Примеры [ править ]
- Любую аддитивную категорию можно рассматривать как DG-категорию, налагая тривиальную градуировку (т.е. все обращаются в ноль для ) и тривиальный дифференциал ( ).
- Немного сложнее категория комплексов над аддитивной категорией . По определению, это группа отображений, которые не должны уважать дифференциалы комплексов A и B , т. Е.
- .
- Дифференциал такого морфизма степени n определяется как
- ,
- где - дифференциалы A и B соответственно. Это относится к категории комплексов квазикогерентных пучков на схеме над кольцом.
- DG-категория с одним объектом - это то же самое, что DG-кольцо. DG-кольцо над полем называется DG-алгеброй или дифференциальной градуированной алгеброй .
Другие свойства [ править ]
Категория малых dg-категорий может быть наделена такой структурой модельной категории , что слабые эквивалентности - это те функторы, которые индуцируют эквивалентность производных категорий . [1]
Учитывая дециграмм-категорию C над некоторым кольцом R , существует понятие гладкости и собственно о С , что сводится к обычным представлениям о гладких и собственных морфизмах в случае C является категорией квазикогерентных пучков на некоторую схему X над R .
Связь с триангулированными категориями [ править ]
DG-категория C называется пред-триангулированной, если у нее есть функтор надстройки и класс выделенных треугольников, совместимых с надстройкой, причем ее гомотопическая категория Ho ( C ) является триангулированной категорией . Триангулированная категория Т называется иметь дг повышение С , если С является pretriangulated дг категория, гомотопической категория эквивалентен Т . [2] Аналогично определяются расширения точного функтора между триангулированными категориями. В общем, нет необходимости в dg расширениях триангулированных категорий или функторов между ними, например стабильной гомотопической категории можно показать, что они не возникают из категории dg таким образом. Однако существуют различные положительные результаты, например, производная категория D ( A ) абелевой категории Гротендика A допускает уникальное расширение dg.
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Tabuada, Гонсало (2005), "Инварианты additifs де DG-РУБРИКИ", Международная Mathematics Research Извещения , 2005 (53): 3309-3339, DOI : 10,1155 / IMRN.2005.3309 , ISSN 1073-7928 , S2CID 119162782
- ^ См. Альберто Канонако; Паоло Стеллари (2017), «Экскурсия о существовании и уникальности расширений и подъемов dg», Journal of Geometry and Physics , 122 : 28–52, arXiv : 1605.00490 , Bibcode : 2017JGP ... 122 ... 28C , doi : 10.1016 / j.geomphys.2016.11.030 , S2CID 119326832 для обзора существования и уникальности результатов расширений dg Расширения dg.
- Keller, Бернхард (1994), "Выводя DG категории" , Annales Scientifiques де l'Эколь Нормаль , Série 4, 27 (1): 63-102, DOI : 10,24033 / asens.1689 , ISSN 0012-9593 , MR 1258406 , заархивировано из оригинала 05.06.2011 , получено 11.08.2011
Внешние ссылки [ править ]
- http://ncatlab.org/nlab/show/dg-category