3. Подалгебра Бореля - это максимальная разрешимая подалгебра.
4. Теорема Бореля-Ботта-Вейля.
Брюа
1. Разложение Брюа.
C [ править ]
Картан
1. Эли Картан (1869 - 1951), французский математик.
2. Подалгебра Картана алгебры Ли - это нильпотентная подалгебра, удовлетворяющая условиям .
3. Критерий Картана разрешимости : алгебра Ли разрешима тогда и только тогда .
4. Критерий Картана полупростоты : (1) Если невырожден, то полупрост. (2) Если полупростое поле имеет характеристику 0, то невырождено.
5. Матрица Картана корневой системы - это матрица , где - набор простых корней .
6. Подгруппа Картана
7. Разложение Картана.
Казимир
Инвариант Казимира , выдающийся элемент универсальной обертывающей алгебры.
Коэффициенты Клебша – Гордана
Коэффициенты Клебша – Гордана
центр
2. Централизатор подмножества алгебры Ли есть .
центр
1. Центр группы Ли - это центр группы.
2. Центр алгебры Ли является централизатором самой себя:
центральная серия
1. Нисходящая центральная серия (или нижняя центральная серия) - это последовательность идеалов алгебры Ли, определяемая формулой
2. Восходящий центральный ряд (или верхний центральный ряд) - это последовательность идеалов алгебры Ли, определяемая (центром L),, где - естественный гомоморфизм
Chevalley
1. Клод Шевалле (1909 - 1984), французский математик.
2. Базис Шевалле - это базис, построенный Клодом Шевалле с тем свойством, что все структурные константы являются целыми числами. Шевалле использовал эти базисы для построения аналогов групп Ли над конечными полями , названных группами Шевалле .
комплексная группа отражений
комплексная группа отражений
корут
корут
Coxeter
1. HSM Coxeter (1907–2003), канадский геометр британского происхождения.
2. Группа Кокстера
3. Число Кокстера
D [ править ]
производная алгебра
1. Производная алгебра алгебры Ли есть . Это подалгебра (на самом деле идеал).
2. Производная серия - это последовательность идеалов алгебры Ли, полученная многократным взятием производных алгебр; то есть .
Дынкин
1. Евгений Борисович Дынкин (1924-2014), советский и американский математик.
2.
Диаграммы Дынкина
Диаграммы Дынкина .
E [ править ]
расширение
Точная последовательность или называется алгеброй Ли расширением из пути .
экспоненциальная карта
Экспоненциальное отображение для группы Ли G с представляет собой карту , которая не обязательно является гомоморфизмом , но удовлетворяют некоторое универсальное свойство.
экспоненциальный
E6 , E7 , E7½ , E8 , En , исключительная алгебра Ли
F [ править ]
свободная алгебра Ли
F
F4
фундаментальный
Чтобы узнать о « основной камере Вейля », см. #Weyl .
G [ править ]
грамм
G2
обобщенный
1. Для « Обобщенной матрицы Картана » см. #Cartan .
2. Относительно « Обобщенной алгебры Каца – Муди » см. # Алгебра Каца – Муди .
3. Для " Обобщенного модуля Verma " см. #Verma .
H [ править ]
гомоморфизм
1. Гомоморфизм групп Ли - это гомоморфизм групп, который также является гладким отображением.
2. Гомоморфизм алгебр Ли - это линейное отображение, такое что
Хариш-Чандра
1. Хариш-Чандра (1923 - 1983), индейский американский математик и физик.
2. Гомоморфизм Хариш-Чандры.
самый высокий
1. Теорема о старшем весе , утверждающая, что старшие веса классифицируют неприводимые представления.
2. наибольший вес
3. модуль наибольшего веса
Я [ править ]
идеальный
Идеал алгебры Ли является подпространством таким образом, что в отличие от теории колец, нет различимости левого идеала и правого идеала.
показатель
Индекс алгебры Ли
инвариантный выпуклый конус
Инвариант выпуклого конус является выпуклым замкнутым конусом в алгебре Ли связной группы Ли, инвариантные относительно внутренних автоморфизмов.
Разложение Ивасавы
Разложение Ивасавы
J [ править ]
Личность Якоби
1.
Карл Густав Джейкоб Якоби
Карл Густав Якоб Якоби (1804 - 1851), немецкий математик.
2. Учитывая бинарную операцию , в тождества Якоби состояний: [[ х , у ], г ] + [[ у , г ], х ] + [[ г , х ], у ] = 0.
K [ править ]
Алгебра Каца – Муди
Алгебра Каца – Муди
Убийство
1. Вильгельм Киллинг (1847-1923), немецкий математик.
2. Форма Киллинга на алгебре Ли - это симметричная ассоциативная билинейная форма, определяемая формулой .
Кириллов
Формула характера Кириллова
L [ править ]
Langlands
Разложение Ленглендса
Двойной Ленглендс
Ложь
1.
Софус Ли
Софус Ли (1842 - 1899), норвежский математик
2. Группа Ли - это группа, имеющая согласованную структуру гладкого многообразия.
3. алгебры Ли является векторным пространством над полем с бинарной операцией [·, ·] (называется скобка Ли или сокр. Кронштейн ), которая удовлетворяет следующие условия: ,
( билинейность )
( попеременно )
( Тождество Якоби )
4. Соответствие группы Ли и алгебры Ли.
5. Теорема Ли.
Пусть будет конечномерная комплексная алгебра разрешимой Ли над алгебраически замкнутым полем из характеристики , и пусть ненулевое конечномерное представление о . Тогда существует элемент, который является одновременным собственным вектором для всех элементов .
6. Компактная группа Ли .
7. Полупростая группа Ли ; см. # полупростой .
Леви
Разложение Леви
N [ править ]
нильпотентный
1. Нильпотентная группа Ли .
2. Нильпотентная алгебра Ли - это алгебра Ли, нильпотентная как идеал; то есть, какая - то сила равна нулю: .
3. Нильпотентным элементом полупростой алгебры Ли [1] называется такой элемент x , что присоединенный эндоморфизм является нильпотентным эндоморфизмом.
4. Нильпотентный конус.
нормализатор
Нормализатор подпространства алгебры Ли равен .
M [ править ]
максимальный
1. Относительно « максимальной компактной подгруппы » см. #Compact .
2. Относительно « максимального тора » см. #Torus .
P [ править ]
параболический
1. Параболическая подгруппа .
2. Параболическая подалгебра .
положительный
Для " положительного корня " см. #Positive .
Q [ править ]
квант
квантовая группа .
квантованный
квантованная обертывающая алгебра .
R [ править ]
радикальный
1. Радикал группы Ли .
2. Радикал алгебры Ли является наибольшим (т. Е. Единственным максимальным) разрешимым идеалом алгебры .
настоящий
реальная форма .
редуктивный
1. Редуктивная группа .
2. Редуктивная алгебра Ли .
отражение
Группа отражений, группа , порожденная отражениями.
обычный
1. Регулярный элемент алгебры Ли .
2. Регулярный элемент по отношению к корневой системе.
Позвольте быть корневой системой. называется регулярным, если .
Для каждого набора простых корней из , существует регулярный элемент таким образом, что , наоборот , для каждого регулярно существует единственный набор базовых корней таким образом, что предыдущее условие выполнено для . Это можно определить следующим образом: пусть . Вызов элемента из разложит , если где , то есть множество всех неразложимых элементов
корень
1. корень полупростой алгебры Ли :
Пусть - полупростая алгебра Ли, - подалгебра Картана в . Ибо пусть . называется корнем, если он не равен нулю и
Множество всех корней обозначается ; образует корневую систему.
2. Корневая система
Подмножество евклидова пространства называется корневой системой, если оно удовлетворяет следующим условиям:
конечно, и .
Для всех и , если и только .
Для всех , представляет собой целое число.
Для всех , где есть отражение через гиперплоскость нормали к , т .
3. Корневые данные
4. Положительный корень корневой системы относительно набора простых корней - это корень, который представляет собой линейную комбинацию элементов с неотрицательными коэффициентами.
5. Отрицательный корень корневой системы относительно набора простых корней - это корень, который представляет собой линейную комбинацию элементов с неположительными коэффициентами.
6. длинный корень
7. короткий корень
8. Обратная корневая система: данная корневая система . Определите , называется обратной корневой системой.
снова является корневой системой и имеет ту же группу Вейля, что и .
9. Основа корневой системы: синоним «множества простых корней».
Теорема Серра утверждает, что для данной (конечной приведенной) корневой системы существует единственная (с точностью до выбора базы) полупростая алгебра Ли с корневой системой .
просто
1. Простая группа Ли - это неабелева связная группа Ли, не имеющая нетривиальных связных нормальных подгрупп.
2. Простая алгебра Ли - это неабелева алгебра Ли, имеющая только два идеала: сама и .
3. просто связанная группа (простая группа Ли просто связанная, если ее диаграмма Дынкина не имеет кратных ребер).
4. простой рут . Подмножество корневой системы называется набором простых корней, если оно удовлетворяет следующим условиям:
является линейным базисом .
Каждый элемент представляет собой линейную комбинацию элементов с коэффициентами, которые либо все неотрицательны, либо все неположительны.
5. Классификация простых алгебр Ли.
Классические алгебры Ли :
Специальная линейная алгебра
( бесследные матрицы)
Ортогональная алгебра
Симплектическая алгебра
Ортогональная алгебра
Исключительные алгебры Ли :
Корневая система
измерение
G 2
14
П 4
52
E 6
78
E 7
133
E 8
248
полупростой
1. Полупростая группа Ли.
2. Полупростая алгебра Ли - это ненулевая алгебра Ли, не имеющая ненулевого абелевого идеала.
3. Полупростым элементом полупростой алгебры Ли является
разрешимый
1. Разрешимая группа Ли.
2. Разрешимая алгебра Ли - это такая алгебра Ли , что для некоторых ; где обозначает производную алгебру .
расколоть
Штифель
Диаграмма Штифеля компактной связной группы Ли.
подалгебра
Подпространство алгебры Ли называется подалгеброй алгебры, если оно замкнуто относительно скобки, т. Е.
Т [ править ]
Сиськи
Конус сисек .
торал
1. торальная алгебра Ли
2. максимальная торная подалгебра
U [ править ]
Унитарный трюк
V [ править ]
Модуль Верма
W [ править ]
Weyl
1. Герман Вейль (1885-1955), немецкий математик.
2. Камера Вейля - это одна из связных компонент дополнения в V , вещественном векторном пространстве, на котором определена корневая система, когда гиперплоскости, ортогональные корневым векторам, удалены.
3. Формула характера Вейля дает в замкнутой форме характеры неприводимых комплексных представлений простых групп Ли.
4. Группа Вейля : группа Вейля корневой системы - это (обязательно конечная) группа ортогональных линейных преобразований , порожденная отражениями через гиперплоскости, нормальные к корням системы.
Ссылки [ править ]
^ От редакции: определение нильпотентного элемента в общей алгебре Ли кажется неясным.
Бурбаки, Н. (1981), Groupes et algèbres de Lie , Éléments de Mathématique, Hermann
Эрдманн, Карин и Вильдон, Марк. Введение в алгебры Ли , 1-е издание, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
Хамфрис, Джеймс Э. Введение в алгебры Ли и теорию представлений , второе издание, исправленное. Тексты для выпускников по математике, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
Джейкобсон, Натан , алгебры Ли , переиздание оригинала 1962 года. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1979. ISBN 0-486-63832-4
Кац, Виктор (1990). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46693-8.
Клаудио Прочези (2007) Группы Ли: подход через инварианты и представление , Springer, ISBN 9780387260402 .
Серр, Жан-Пьер (2000), полупростые комплексы Альжебра де Ли [ Комплексные полупростые алгебры Ли ], переведенный Джонс, Г.А., Спрингер, ISBN 978-3-540-67827-4.
Ж.-П. Серр, "Алгебры Ли и группы Ли", Бенджамин (1965) (пер. С французского)