В математике , в двоично кубы представляют собой набор кубов в R п различных размеров или шкал , такие , что множество кубов каждого масштаб разбиение R п и каждый куб в одном масштабе может быть записано в виде объединения кубов меньшего масштаба. Они часто используются в математике (особенно в гармоническом анализе ) как способ дискретизации объектов, чтобы упростить вычисления или анализ. Например, чтобы изучить произвольное подмножество А в евклидовом пространстве , можно вместо того, чтобы заменить его объединением двоичных кубов определенного размера , что крышканабор. Можно рассматривать этот набор как pixelized версию исходного набора, а также небольшие кубики используются один получает более четкое изображение множества A . Наиболее заметные появления диадических кубов включают теорему о расширении Уитни и лемму Кальдерона – Зигмунда .
Диадические кубы в евклидовом пространстве
В евклидовом пространстве диадические кубы могут быть построены следующим образом: для каждого целого числа k пусть Δ k будет набором кубов в R n со стороной 2 - k и углами в наборе
и пусть Δ - объединение всех Δ k .
Наиболее важные особенности этих кубиков следующие:
- Для каждого целого k Δ k разбивает R n .
- Все кубики в Δ k имеют одинаковую длину стороны, а именно 2 - k .
- Если интерьер двух кубов Q и R в А имеют непустое пересечение, то либо Q содержится в R или R содержится в Q .
- Каждый Q в Δ k может быть записан как объединение 2 n кубов в Δ k +1 с непересекающимися внутренностями.
Мы используем слово «разбиение» несколько вольно: хотя их объединение состоит из всего R n , кубы в Δ k могут перекрываться на их границах. Однако эти перекрытия имеют нулевую меру Лебега , и поэтому в большинстве приложений эта немного более слабая форма разбиения не является помехой.
Также может показаться странным, что больший k соответствует меньшим кубам. Можно думать о k как о степени увеличения. На практике, однако, выбор Δ k набором кубов со стороной 2 k или 2 - k является вопросом предпочтения или удобства.
Уловка на одну треть
Одним из недостатков диадических кубов в евклидовом пространстве является то, что они слишком сильно зависят от конкретного положения кубов. Например, для диадических кубов Δ, описанных выше, невозможно содержать произвольный шар внутри некоторого Q в Δ (рассмотрим, например, единичный шар с центром в нуле). В качестве альтернативы может быть такой куб, который содержит мяч, но размеры шара и куба сильно различаются. Из-за этого предостережения иногда бывает полезно работать с двумя или более коллекциями диадических кубов одновременно.
Определение
Следующее известно как уловка одной трети : [1]
Пусть Δ k - диадические кубы масштаба k, как указано выше. Определять
Это набор диадических кубов в Δ k, сдвинутых вектором α. Для каждого такого α пусть Δ α объединение Δ k α над k .
- Существует универсальная константа C > 0 такая, что для любого шара B с радиусом r <1/3 существует α в {0,1 / 3} n и куб Q в Δ α, содержащий B , диаметр которого не больше Cr .
- В более общем смысле , если B является шар с любым радиусом г > 0, то α в {0, 1/3, 4/3, 4 2 /3, ...} п и куб Q в А & alpha ;, содержащей B , чей диаметр не более Cr .
Пример приложения
Привлекательность уловки одной трети состоит в том, что можно сначала доказать диадические версии теоремы, а затем вывести из них «недиадические» теоремы. Например, вспомним максимальную функцию Харди-Литтлвуда
где f - локально интегрируемая функция и | B ( x , r ) | обозначает меру шара B ( x , r ). В Харди-Литтлвуд максимального неравенство утверждает , что для интегрируемой функции F ,
для λ> 0, где C n - некоторая константа, зависящая только от размерности.
Эта теорема обычно доказывается с помощью леммы Витали о покрытии . Однако можно избежать использования этой леммы, если сначала докажем указанное выше неравенство для диадических максимальных функций
Доказательство аналогично доказательству исходной теоремы, однако свойства диадических кубов избавляют нас от необходимости использовать лемму Витали о покрытии. Затем мы можем вывести исходное неравенство, используя прием одной трети.
Диадические кубы в метрических пространствах
Аналоги диадических кубов могут быть построены в некоторых метрических пространствах . [2] В частности, пусть X - метрическое пространство с метрикой d, которое поддерживает удваивающую меру µ, то есть такую меру, что для x ∈ X и r > 0 выполняется:
где C > 0 - универсальная постоянная, не зависящая от выбора x и r .
Если X поддерживает такую меру, то существуют наборы множеств ∆ k такие, что они (и их объединение ∆) удовлетворяют следующему:
- Для каждого целого k Δ k разбивает X в том смысле, что
- Все множества Q в Δ k имеют примерно одинаковый размер. Более конкретно, каждый такой Q имеет центр z Q такой, что
- где C 1 , C 2 , и δ положительные константы , зависящие только от удвоения постоянной C меры ц и не зависит от Q .
- Каждый Q в Δ k содержится в единственном множестве R в Δ k −1 .
- Существуют постоянные C 3 , η> 0, зависящие только от µ, такие, что для всех k и t > 0
Эти условия очень похожи на свойства обычных евклидовых кубов, описанных ранее. Последнее условие гласит, что область у границы «куба» Q в Δ мала, что является само собой разумеющимся свойством в евклидовом случае, хотя очень важно для распространения результатов гармонического анализа на метрическое пространство.