В математике максимальный оператор Харди-Литтлвуда M является важным нелинейным оператором, используемым в реальном анализе и гармоническом анализе . Он принимает локально интегрируемую функцию f : Rd → C и возвращает другую функцию Mf , которая в каждой точке x ∈ Rd дает максимальное среднее значение , которое f может иметь на шарах с центром в этой точке. Точнее,
где B ( x , r ) — шар радиуса r с центром в точке x , а | Е | обозначает d - мерную меру Лебега множества E ⊂ R d .
Средние совместно непрерывны по x и r , поэтому максимальная функция Mf , являющаяся супремумом по r > 0 , измерима . Не очевидно, что Mf конечно почти всюду. Это следствие максимального неравенства Харди – Литтлвуда .
Эта теорема Г. Х. Харди и Дж. Э. Литтлвуда утверждает, что M ограничен как сублинейный оператор из L p ( R d ) в себя при p > 1. То есть, если f ∈ L p ( R d ), то максимальная функция Mf равна слабая L1 - ограниченность и Mf ∈ Lp ( Rd ) . Прежде чем конкретизировать теорему, для простоты пусть { f >t } обозначим множество { x | f ( x ) > t }. Теперь у нас есть:
Теорема (слабая оценка типа). Для d ≥ 1 существует константа C d > 0 такая, что для всех λ > 0 и f ∈ L 1 ( R d ) имеем:
Имея в руках максимальное неравенство Харди – Литтлвуда, следующая оценка сильного типа является непосредственным следствием интерполяционной теоремы Марцинкевича :