Теорема Уитни о расширении

В математике , в частности в математическом анализе , теорема Уитни о продолжении является частичным обращением теоремы Тейлора . Грубо говоря, теорема утверждает , что если замкнутое подмножество евклидова пространства, то можно расширить данную функцию А таким образом, чтобы иметь заданные производные в точках А . Это результат Хасслера Уитни .

Заявление

Точная формулировка теоремы требует внимательного рассмотрения того, что значит предписывать производную функции на замкнутом множестве. Одна из трудностей, например, состоит в том, что замкнутые подмножества евклидова пространства вообще лишены дифференцируемой структуры. Таким образом, отправной точкой является рассмотрение утверждения теоремы Тейлора.

Для вещественной C ^m- функции f ( x ) на R ⁿ теорема Тейлора утверждает, что для каждого a , x , y ∈ R ⁿ существует функция R _α ( x , y ), равномерно приближающаяся к 0 при x , y → таким образом, что

${\displaystyle f({\mathbf {x} })=\sum _{|\alpha |\leq m}{\frac {D^{\alpha }f({\mathbf {y} })}{\alpha !}}\cdot ({\mathbf {x} }-{\mathbf {y} })^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=m}R_{\alpha }({\mathbf {x} },{\mathbf {y} }){\frac {({\mathbf {x} }-{\mathbf {y} })^{\alpha }}{\alpha !}}}$

( 1 )

где сумма ведется по мультииндексам  α .

Пусть f _α = D ^α f для каждого мультииндекса α . Дифференцируя (1) по x и, возможно, заменяя R по мере необходимости, получаем

${\displaystyle f_{\alpha }({\mathbf {x} })=\sum _{|\beta |\leq m-|\alpha |}{\frac {f_{\alpha +\beta }({\mathbf {y} })}{\beta !}}({\mathbf {x} }-{\mathbf {y} })^{\beta }+R_{\alpha }({\mathbf {x} },{\mathbf {y} })}$

( 2 )

где R _α равно o (| x  -  y | ^{m - | α |} ) равномерно при x , y → a .

Отметим, что ( 2 ) можно рассматривать как чисто условие совместимости между функциями f _α, которое должно быть выполнено, чтобы эти функции были коэффициентами ряда Тейлора функции f . Именно это понимание позволяет сделать следующее утверждение:

Теорема. Предположит , что п _α представляет собой набор функций на замкнутое подмножество А из R ^п для всех мультииндексов а с удовлетворяющим условием совместимости ( 2 ) во всех точках х , у , и из A . Тогда существует функция F ( x ) класса C ^m такая, что:${\displaystyle |\alpha |\leq m}$

1. F = F ₀ на А .
2. D ^{& alpha} ; F = F _α на A .
3. F вещественно-аналитический в каждой точке R ^п  -  А .

Доказательства приведены в оригинальной статье Уитни (1934) и в Малгранже (1967) , Бирстоне (1980) и Хёрмандере (1990) .

Расширение в полупространство

Сили (1964) доказал усиление теоремы Уитни о продолжении в частном случае полупространства. Гладкая функция на полупространстве R ^{n , +} точек, где x _n ≥ 0, является гладкой функцией f на внутренней части x _n, для которой производные ∂ ^α f продолжаются до непрерывных функций на полупространстве. На границе x _n = 0 функция f ограничивается гладкой функцией. По лемме Борель , е может быть расширен до гладкой функции на всем R ^п. Поскольку лемма Бореля носит локальный характер, то же рассуждение показывает, что если является (ограниченной или неограниченной) областью в R ⁿ с гладкой границей, то любую гладкую функцию на замыкании можно продолжить до гладкой функции на R ⁿ .${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$

Результат Сили для половинной линии дает равномерную карту расширения

${\displaystyle \displaystyle {E:C^{\infty }(\mathbf {R} ^{+})\rightarrow C^{\infty }(\mathbf {R} ),}}$

который является линейным, непрерывным (для топологии равномерной сходимости функций и их производных на компактах) и переводит функции с носителями в [0, R ] в функции с носителями в [- R , R ]

Чтобы определить набор ^[1]${\displaystyle E,}$

${\displaystyle \displaystyle {E(f)(x)=\sum _{m=1}^{\infty }a_{m}f(-b_{m}x)\varphi (-b_{m}x)\,\,\,(x<0),}}$

где φ - гладкая функция компактного носителя на R, равная 1 около 0, а последовательности ( a _m ), ( b _m ) удовлетворяют:

• ${\displaystyle b_{m}>0}$имеет тенденцию ;${\displaystyle \infty }$
• ${\displaystyle \sum a_{m}b_{m}^{j}=(-1)^{j}}$для с суммой абсолютно сходящейся.${\displaystyle j\geq 0}$

Решение этой системы уравнений может быть получено путем поиска целой функции${\displaystyle b_{n}=2^{n}}$

${\displaystyle g(z)=\sum _{m=1}^{\infty }a_{m}z^{m}}$

таким образом, что это такая функция может быть построена следует из теоремы Вейерштрасса и теоремы М.-Л. . ^[2]${\displaystyle g\left(2^{j}\right)=(-1)^{j}.}$

Это можно увидеть напрямую, установив ^[3]

${\displaystyle W(z)=\prod _{j\geq 1}(1-z/2^{j}),}$

целая функция с простыми нулями в точке . Производные W '(2 ^j ) ограничены сверху и снизу. Аналогично функция${\displaystyle 2^{j}.}$

${\displaystyle M(z)=\sum _{j\geq 1}{(-1)^{j} \over W^{\prime }(2^{j})(z-2^{j})}}$

мероморфный с простыми полюсами и заданными вычетами при ${\displaystyle 2^{j}.}$

По конструкции

${\displaystyle \displaystyle {g(z)=W(z)M(z)}}$

- это целая функция с необходимыми свойствами.

Определение полупространства в R ⁿ применением оператора R к последней переменной x _n . Точно так же, используя гладкое разбиение единицы и локальную замену переменных, результат для полупространства подразумевает существование аналогичного расширяющегося отображения

${\displaystyle \displaystyle {C^{\infty }({\overline {\Omega }})\rightarrow C^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})}}$

для любой области в R ⁿ с гладкой границей.${\displaystyle \Omega }$

Смотрите также

• Теорема Кирсбрауна дает расширения липшицевых функций.
• Теорема Титце о расширении  - Непрерывные функции на замкнутом подмножестве нормального топологического пространства могут быть расширены
• Теорема Хана – Банаха  - Теорема о продолжении ограниченных линейных функционалов

Примечания

использованная литература

• МакШейн, Эдвард Джеймс (1934), "Расширение диапазона функций", Bull. Амер. Математика. Soc. , 40 (12): 837-842, DOI : 10,1090 / s0002-9904-1934-05978-0 , МР  1562984 , Zbl  +0010,34606
• Уитни, Hassler (1934), "Аналитические расширения дифференцируемых функций , определенных в замкнутых множеств", Труды Американского математического общества , Американского математического общества, 36 (1): 63-89, DOI : 10,2307 / 1989708 , JSTOR  1989708
• Bierstone, Эдвард (1980), "дифференцируемые функции", Вестник бразильского математического общества , 11 (2): 139-189, DOI : 10.1007 / bf02584636
• Мальгранж, Бернар (1967), Идеалы дифференцируемых функций , Институт фундаментальных исследований в области математики Тата, 3 , Oxford University Press
• Сили, RT (1964), "Расширение функций C∞, определенных в полупространстве", Proc. Амер. Математика. Soc. , 15 : 625–626, DOI : 10.1090 / s0002-9939-1964-0165392-8
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных. I. Теория распределения и анализ Фурье , Springer-Verlag, ISBN 3-540-00662-1
• Chazarain, Жак; Пириу, Ален (1982), Введение в теорию линейных дифференциальных уравнений с частными производными , Исследования по математике и ее приложениям, 14 , Elsevier, ISBN 0444864520
• Ponnusamy, S .; Сильверман, Херб (2006), Комплексные переменные с приложениями , Биркхойзер, ISBN 0-8176-4457-1
• Фефферман, Чарльз (2005), "Острая форма теоремы Уитни о продолжении", Annals математики , 161 (1): 509-577, DOI : 10.4007 / annals.2005.161.509 , MR  2150391