В математике непрерывная функция — это такая функция , что непрерывное изменение (то есть изменение без скачка) аргумента вызывает непрерывное изменение значения функции. Это означает, что нет резких изменений стоимости, известных как разрывы . Точнее, функция непрерывна, если можно обеспечить сколь угодно малые изменения ее значения, ограничиваясь достаточно малыми изменениями ее аргумента. Разрывная функция — это функция, которая не является непрерывной . Вплоть до 19 века математики в основном полагались на интуицию .понятия непрерывности, и рассматривались только непрерывные функции. Эпсилон - дельта-определение предела было введено для формализации определения непрерывности.
Непрерывность — одно из основных понятий исчисления и математического анализа , где аргументами и значениями функций являются действительные и комплексные числа. Концепция была обобщена на функции между метрическими пространствами и между топологическими пространствами . Последние являются наиболее общими непрерывными функциями, и их определение лежит в основе топологии .
Более сильной формой непрерывности является равномерная непрерывность . В теории порядка , особенно в теории предметной области , родственным понятием непрерывности является непрерывность Скотта .
Например, функция H ( t ) , обозначающая высоту растущего цветка в момент времени t , будет считаться непрерывной. Напротив, функция M ( t ) , обозначающая сумму денег на банковском счете в момент времени t , будет считаться прерывистой, поскольку она «прыгает» в каждый момент времени, когда деньги депонируются или снимаются.
Форма определения непрерывности эпсилон-дельта была впервые дана Бернаром Больцано в 1817 году . Огюстен-Луи Коши определил непрерывность следующим образом: бесконечно малое приращение независимой переменной x всегда вызывает бесконечно малое изменение зависимой переменной y ( см., например , Cours d'Analyse , стр. 34). Коши определил бесконечно малые величины в терминах переменных величин, и его определение непрерывности очень близко к определению бесконечно малых величин, используемому сегодня (см. микронепрерывность ). Формальное определение и различие между поточечной непрерывностью и равномерной непрерывностьюбыли впервые даны Больцано в 1830-х годах, но работа не была опубликована до 1930-х годов. Как и Больцано, [1] Карл Вейерштрасс [2] отрицал непрерывность функции в точке c , если только она не была определена в точке c и по обе стороны от нее , но Эдуард Гурса [3] допускал определение функции только в точке и по одну сторону для c , а Камилла Джордан [4] допускала это, даже если функция была определена только в c . Все три из этих неэквивалентных определений поточечной непрерывности все еще используются. [5] Эдуард Гейнепредоставил первое опубликованное определение равномерной непрерывности в 1872 году, но основывал эти идеи на лекциях, прочитанных Петером Густавом Леженом Дирихле в 1854 году.
Действительная функция , то есть функция от действительных чисел к действительным числам, может быть представлена графиком на декартовой плоскости ; такая функция непрерывна, если, грубо говоря, график представляет собой одну непрерывную кривую , областью определения которой является вся вещественная прямая. Ниже дано более строгое с математической точки зрения определение. [7]