Уравнение электромагнитной волны

Уравнение электромагнитной волны - это уравнение в частных производных второго порядка, которое описывает распространение электромагнитных волн через среду или в вакууме . Это трехмерная форма волнового уравнения . Однородная форма уравнения, написанные в терминах либо электрического поля Е или магнитного поля B , принимает вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(v_{ph}^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} &=\mathbf {0} \\\left(v_{ph}^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} &=\mathbf {0} \end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle v_{ph}={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}}$

- скорость света (т.е. фазовая скорость ) в среде с проницаемостью μ и диэлектрической проницаемостью ε , а ∇ ² - оператор Лапласа . В вакууме v _ph = c ₀ = 299 792 458 метров в секунду, фундаментальная физическая константа . ^[1] Уравнение электромагнитной волны происходит из уравнений Максвелла . В более ранней литературе B называется плотностью магнитного потока или магнитной индукцией .

Происхождение уравнения электромагнитной волны [ править ]

Открытка от Максвелла Питеру Тейту .

В своей статье 1865 года под названием «Динамическая теория электромагнитного поля» Максвелл использовал поправку к закону движения Ампера, которую он внес в части III своей статьи 1861 года « О физических силовых линиях» . В части VI своей статье под названием 1864 Электромагнитная теория света , ^[2] Максвелл Комбинированное смещение тока с некоторыми из других уравнений электромагнетизма и получил волновое уравнение со скоростью , равной скорости света. Он прокомментировал:

Согласованность результатов, кажется, показывает, что свет и магнетизм - это воздействия одного и того же вещества, и что свет - это электромагнитное возмущение, распространяющееся через поле в соответствии с электромагнитными законами. ^[3]

Вывод Максвелла уравнения электромагнитной волны был заменен в современном физическом образовании гораздо менее громоздким методом, включающим комбинирование исправленной версии закона движения Ампера с законом индукции Фарадея .

Чтобы получить уравнение электромагнитной волны в вакууме с использованием современного метода, мы начнем с современной формы уравнений Максвелла «Хевисайда» . В пространстве без вакуума и без зарядов эти уравнения таковы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\end{aligned}}}$

Это общие уравнения Максвелла, специально предназначенные для случая с нулевым зарядом и током. Взяв ротор из уравнений ротора, получаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)&=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)&=\nabla \times \left(\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$

Мы можем использовать векторную идентичность

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} }$

где V - любая вектор-функция пространства. И

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {V} =\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {V} \right)}$

где ∇ V - диадика, которая при использовании оператора дивергенции ∇ ⋅ дает вектор. С

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{aligned}}}$

то первый член справа в тождестве обращается в нуль, и мы получаем волновые уравнения:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} &=0\\{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} &=0\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}\;{\textrm {m/s}}}$

это скорость света в свободном пространстве.

Ковариантная форма однородного волнового уравнения [ править ]

Эти релятивистские уравнения можно записать в контравариантной форме как

${\displaystyle \Box A^{\mu }=0}$

где электромагнитный потенциал является

${\displaystyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)}$

с калибровочным условием Лоренца :

${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0,}$

и где

${\displaystyle \Box =\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}$

- оператор Даламбера .

Однородное волновое уравнение в искривленном пространстве-времени [ править ]

Уравнение электромагнитной волны модифицируется двумя способами: производная заменяется ковариантной производной и появляется новый член, который зависит от кривизны.

${\displaystyle -{A^{\alpha ;\beta }}_{;\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }=0}$

где - тензор кривизны Риччи, а точка с запятой указывает на ковариантное дифференцирование.${\displaystyle \scriptstyle {R^{\alpha }}_{\beta }}$

Предполагается обобщение калибровочного условия Лоренца в искривленном пространстве-времени:

${\displaystyle {A^{\mu }}_{;\mu }=0.}$

Неоднородное уравнение электромагнитной волны [ править ]

Локализованные изменяющиеся во времени плотности заряда и тока могут действовать как источники электромагнитных волн в вакууме. Уравнения Максвелла можно записать в виде волнового уравнения с источниками. Добавление источников к волновым уравнениям делает неоднородными уравнения в частных производных .

Решения уравнения однородной электромагнитной волны [ править ]

Общее решение уравнения электромагнитной волны представляет собой линейную суперпозицию волн вида

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}$

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}$

практически для любой корректной функции g безразмерного аргумента φ , где ω - угловая частота (в радианах в секунду), а k = ( k _x , k _y , k _z ) - волновой вектор (в радианах на метр).

Хотя функция g может быть и часто является монохроматической синусоидальной волной , она не обязательно должна быть синусоидальной или даже периодической. На практике g не может иметь бесконечную периодичность, потому что любая реальная электромагнитная волна всегда должна иметь конечную протяженность во времени и пространстве. В результате и, исходя из теории разложения Фурье , реальная волна должна состоять из суперпозиции бесконечного набора синусоидальных частот.

Кроме того, для правильного решения волновой вектор и угловая частота не являются независимыми; они должны придерживаться дисперсионного соотношения :

${\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$

где k - волновое число, а λ - длина волны . Переменная c может использоваться в этом уравнении только тогда, когда электромагнитная волна находится в вакууме.

Монохроматический, синусоидальный стационарный [ править ]

Простейший набор решений волнового уравнения получается из допущения синусоидальных сигналов одной частоты в разделимой форме:

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\Re \left\{\mathbf {E} (\mathbf {r} )e^{i\omega t}\right\}}$

куда

i - мнимая единица ,

ω = 2 π  f  - угловая частота в радианах в секунду ,

 f  - частота в герцах , а

${\displaystyle \scriptstyle e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)}$является формула Эйлера .

Решения плоских волн [ править ]

Рассмотрим плоскость, заданную единичным вектором нормали

${\displaystyle \mathbf {n} ={\mathbf {k} \over k}.}$

Тогда плоские решения бегущей волны волновых уравнений имеют вид

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=\mathbf {E} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\mathbf {B} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$

где r = ( x , y , z ) - вектор положения (в метрах).

Эти решения представляют собой плоские волны, распространяющиеся в направлении вектора нормали n . Если мы определим направление z как направление n . а направление x - как направление E , то по закону Фарадея магнитное поле лежит в направлении y и связано с электрическим полем соотношением

${\displaystyle c^{2}{\partial B \over \partial z}={\partial E \over \partial t}.}$

Поскольку расходимость электрического и магнитного полей равна нулю, в направлении распространения нет полей.

Это решение является линейно поляризованным решением волновых уравнений. Существуют также решения с круговой поляризацией, в которых поля вращаются вокруг вектора нормали.

Спектральное разложение [ править ]

Из-за линейности уравнений Максвелла в вакууме решения могут быть разложены на суперпозицию синусоид . Это основа метода преобразования Фурье для решения дифференциальных уравнений. Синусоидальное решение уравнения электромагнитной волны принимает вид

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})}$

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})}$

куда

t - время (в секундах),

ω - угловая частота (в радианах в секунду),

k = ( k _x , k _y , k _z ) - волновой вектор (в радианах на метр), а

${\displaystyle \scriptstyle \phi _{0}}$- фазовый угол (в радианах).

Волновой вектор связан с угловой частотой соотношением

${\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$

где k - волновое число, а λ - длина волны .

Электромагнитный спектр представляет собой график полевых величин (или энергии) в зависимости от длины волны.

Многополюсное расширение [ править ]

Предполагая, что монохроматические поля меняются во времени, например , если использовать уравнения Максвелла для исключения B , уравнение электромагнитной волны сводится к уравнению Гельмгольца для E :${\displaystyle e^{-i\omega t}}$

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} =0,\,\mathbf {B} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} ,}$

с k = ω / c, как указано выше. В качестве альтернативы можно исключить E в пользу B, чтобы получить:

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {B} =0,\,\mathbf {E} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} .}$

Обычное электромагнитное поле с частотой ω может быть записано как сумма решений этих двух уравнений. Эти трехмерные решения уравнения Гельмгольца можно представить в виде разложения по сферическим гармоникам с коэффициентами , пропорциональными сферических функций Бесселя . Однако применение этого расширения для каждого векторного компонента Е или B даст решения, которые не являются в общем бездивергентное ( ∇ · E = ∇ · B = 0 ), и , следовательно , требуют дополнительных ограничений на коэффициенты.

Мультипольное разложение позволяет обойти эту трудность, расширяя не E или B , а r · E или r · B в сферические гармоники. Эти разложения до сих пор решить исходные уравнения Гельмгольца для E и B , потому что для поля бездивергентного F , ∇ ² ( г · F ) = г · (∇ ² F ) . Результирующие выражения для типичного электромагнитного поля:

${\displaystyle \mathbf {E} =e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}\right]}$

${\displaystyle \mathbf {B} =e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}\right]}$,

где и являются электрическими многополюсными полями порядка (л, м) , а также и являются соответствующими магнитными полями многополюсных и _Е ( л , м ) и _М ( л , м ) являются коэффициентами разложения. Мультипольные поля имеют вид${\displaystyle \mathbf {E} _{l,m}^{(E)}}$${\displaystyle \mathbf {B} _{l,m}^{(E)}}$${\displaystyle \mathbf {E} _{l,m}^{(M)}}$${\displaystyle \mathbf {B} _{l,m}^{(M)}}$

${\displaystyle \mathbf {B} _{l,m}^{(E)}={\sqrt {l(l+1)}}\left[B_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+B_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _{l,m}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{l,m}^{(E)}={\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} _{l,m}^{(E)}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{l,m}^{(M)}={\sqrt {l(l+1)}}\left[E_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+E_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _{l,m}}$

${\displaystyle \mathbf {B} _{l,m}^{(M)}=-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} _{l,m}^{(M)}}$,

где h _l ^(1,2) ( x ) - сферические функции Ганкеля , E _l ^(1,2) и B _l ^(1,2) определяются граничными условиями, а

${\displaystyle \mathbf {\Phi } _{l,m}={\frac {1}{\sqrt {l(l+1)}}}(\mathbf {r} \times \nabla )Y_{l,m}}$

- векторные сферические гармоники, нормированные так, что

${\displaystyle \int \mathbf {\Phi } _{l,m}^{*}\cdot \mathbf {\Phi } _{l',m'}d\Omega =\delta _{l,l'}\delta _{m,m'}.}$

Многополюсное расширение электромагнитного поля находит применение в ряде задач, связанных со сферической симметрией, например диаграммами направленности антенн или ядерным гамма-распадом . В этих приложениях часто интересует мощность, излучаемая в дальней зоне . В этих областях поля E и B асимптотически равны

${\displaystyle \mathbf {B} \approx {\frac {e^{i(kr-\omega t)}}{kr}}\sum _{l,m}(-i)^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}+a_{M}(l,m)\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\Phi } _{l,m}\right]}$

${\displaystyle \mathbf {E} \approx \mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} .}$

Угловое распределение усредненной по времени излучаемой мощности определяется выражением

${\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2k^{2}}}\left|\sum _{l,m}(-i)^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\times \mathbf {\hat {r}} +a_{M}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\right]\right|^{2}.}$

См. Также [ править ]

Теория и эксперимент [ править ]

Приложения [ править ]

Биографии [ править ]

Примечания [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Электромагнетизм [ править ]

Статьи журнала [ править ]

• Максвелл, Джеймс Клерк, « Динамическая теория электромагнитного поля », Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155, 459-512 (1865). (Эта статья сопровождала выступление Максвелла 8 декабря 1864 г. перед Королевским обществом.)

Учебники для бакалавриата [ править ]

• Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.) . Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-X.
• Типлер, Пол (2004). Физика для ученых и инженеров: электричество, магнетизм, свет и элементарная современная физика (5-е изд.) . WH Freeman. ISBN 0-7167-0810-8.
• Эдвард М. Перселл, Электричество и магнетизм (McGraw-Hill, Нью-Йорк, 1985). ISBN 0-07-004908-4 . 
• Герман А. Хаус и Джеймс Р. Мельчер, Электромагнитные поля и энергия (Прентис-Холл, 1989) ISBN 0-13-249020-X . 
• Банеш Хоффманн, Относительность и ее корни (Фриман, Нью-Йорк, 1983). ISBN 0-7167-1478-7 . 
• Дэвид Х. Сталин , Энн В. Моргенталер и Джин Ау Конг, Электромагнитные волны (Прентис-Холл, 1994) ISBN 0-13-225871-4 . 
• Чарльз Ф. Стивенс, Шесть основных теорий современной физики , (MIT Press, 1995) ISBN 0-262-69188-4 . 
• Маркус Зан, Теория электромагнитного поля: подход к решению проблем , (John Wiley & Sons, 1979) ISBN 0-471-02198-9 

Учебники для выпускников [ править ]

• Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.) . Вайли. ISBN 0-471-30932-X.
• Ландау Л. Д. , Классическая теория полей ( Курс теоретической физики : Том 2), (Баттерворта-Heinemann: Oxford, 1987). ISBN 0-08-018176-7 . 
• Максвелл, Джеймс С. (1954). Трактат об электричестве и магнетизме . Дувр. ISBN 0-486-60637-6.
• Чарльз В. Миснер, Кип С. Торн , Джон Арчибальд Уиллер , Гравитация , (1970) WH Freeman, Нью-Йорк; ISBN 0-7167-0344-0 . (Обеспечивает трактовку уравнений Максвелла в терминах дифференциальных форм.) 

Векторное исчисление [ править ]

• PC Matthews Vector Calculus , Springer 1998, ISBN 3-540-76180-2 
• HM Schey, Div Grad Curl и все такое: неофициальный текст по векторному исчислению , 4-е издание (WW Norton & Company, 2005) ISBN 0-393-92516-1 .