В математике , то равносторонняя размерность из метрического пространства максимального числа точек, которые все на равных расстояниях друг от друга. [1] Равностороннее измерение также называют « метрическим измерением », но термин «метрическое измерение» также имеет много других неэквивалентных употреблений. [1] Равносторонний размер-мерное евклидово пространства является, достигается с помощью регулярного симплекса , а равносторонняя размерность-мерное векторное пространство с чебышёвским расстоянием ( норма) является , достигается гиперкубом . Однако равностороннее измерение пространства с манхэттенским расстоянием (норма) не известно; Гипотеза Куснера , названная в честь Роберта Б. Куснера , утверждает, что это точно, достигается перекрестным многогранником . [2]
Пространства Лебега
Равносторонняя размерность особенно изучена для пространств Лебега , конечномерных нормированных векторных пространств с норма
Равностороннее измерение пространства измерения ведет себя по-разному в зависимости от значения :
Сколько равноудаленных точек существует в пространствах с манхэттенским расстоянием ?
- Для , то норма порождает манхэттенское расстояние . В этом случае можно найтиэквидистантные точки, вершины выровненного по осям поперечного многогранника . Известно, что равносторонний размер в точности равен для , [3] и ограничиваться сверху для всех . [4] Роберт Б. Куснер предположил в 1983 году, что равностороннее измерение для этого случая должно быть точно; [5] это предложение (вместе с соответствующим предложением для равностороннего измерения, когда) стала известна как гипотеза Куснера .
- Для , равносторонний размер не менее где константа, которая зависит от . [6]
- Для , то норма - это знакомое евклидово расстояние . Равностороннее измерение-мерное евклидово пространства является: the вершины равностороннего треугольника , правильного тетраэдра или многомерного правильного симплекса образуют равностороннее множество, и каждое равностороннее множество должно иметь эту форму. [5]
- Для , равносторонний размер не менее : например, базисные векторы векторного пространства вместе с другим вектором вида для подходящего выбора образуют равносторонний набор. Гипотеза Куснера утверждает, что в этих случаях равносторонняя размерность в точности равна. Гипотеза Куснера доказана для частного случая, когда. [6] Когда - целое нечетное число, равносторонняя размерность которого ограничена сверху величиной . [4]
- Для (предельный случай норма для конечных значений , в пределе как растет до бесконечности) нормой становится расстояние Чебышева , максимальное абсолютное значение разностей координат. Для-мерное векторное пространство с расстоянием Чебышева, равносторонняя размерность равна : the вершины выровненного по осям гиперкуба находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, и большее равностороннее множество невозможно. [5]
Нормированные векторные пространства
Равносторонняя размерность также рассматривалась для нормированных векторных пространств с нормами, отличными отнорм. Проблема определения равностороннего измерения для данной нормы тесно связана с проблемой числа поцелуев : число поцелуев в нормированном пространстве - это максимальное количество непересекающихся трансляций единичного шара, который может все касаться единственного центрального шара, тогда как равносторонний Размерность - это максимальное количество непересекающихся трансляций, которые могут соприкасаться друг с другом.
Для нормированного векторного пространства размерности , равносторонний размер не превосходит ; этонорма имеет самую высокую равностороннюю размерность среди всех нормированных пространств. [7] Петти (1971) спросил, каждое ли нормированное векторное пространство размерности имеет равносторонний размер не менее , но это остается неизвестным. Существуют нормированные пространства в любом измерении, для которых определенные наборы из четырех равносторонних точек не могут быть расширены до любого большего равностороннего множества [7], но эти пространства могут иметь более крупные равносторонние множества, которые не включают эти четыре точки. Для норм, достаточно близких по расстоянию Банаха – Мазура к норма, на вопрос Петти есть положительный ответ: равносторонняя размерность не менее . [8]
Для пространств высокой размерности невозможно иметь ограниченную равностороннюю размерность: для любого целого , все нормированные векторные пространства достаточно большой размерности имеют равностороннюю размерность не менее . [9] , более конкретно, в соответствии с изменением теоремы Дворецкого по Alon & Мильман (1983) , каждый-мерное нормированное пространство имеет -мерное подпространство, близкое либо к евклидову, либо к чебышёвскому пространству, где
Римановы многообразия
Для любой -мерного риманова многообразия равносторонняя размерность не менее. [5] Для-мерная сфера , равносторонняя размерность равна, так же, как для евклидова пространства одного более высокого измерения, в которое может быть вложена сфера. [5] В то же время, когда он сформулировал гипотезу Куснера, Куснер спросил, существуют ли римановы метрики с ограниченной размерностью как многообразие, но со сколь угодно высокой равносторонней размерностью. [5]
Заметки
- ^ a b Деза и Деза (2009)
- ^ Гай (1983) ; Кулен, Лоран и Шрайвер (2000) .
- ^ Bandelt, Chepoi & Laurent (1998) ; Кулен, Лоран и Шрайвер (2000) .
- ^ а б Алон и Пудлак (2003) .
- ^ Б с д е е G (1983) .
- ^ a b Свейнпол (2004) .
- ^ а б Петти (1971) .
- ^ a b Свейнпол и Вилла (2008) .
- ^ Braß (1999) ; Свейнпол и Вилла (2008) .
Рекомендации
- Алон, Н .; Мильман, В.Д. (1983), "Вложениев конечномерных банаховых пространствах», Israel Journal математики , 45 (4): 265-280, DOI : 10.1007 / BF02804012 , МР 0720303.
- Алон, Нога ; Пудлак, Павел (2003), «Равносторонние заходит в» Геометрический и функциональный анализ , 13 (3): 467-482, DOI : 10.1007 / s00039-003-0418-7 , МР 1995795.
- Бандельт, Ханс-Юрген; Чепой, Виктор; Лоран, Моники (1998), "Погружение в прямолинейные пространства" (PDF) , дискретная и Вычислительная геометрия , 19 (4): 595-604, DOI : 10.1007 / PL00009370 , МР 1620076.
- Брасс, Питер (1999), "О равносторонних симплексах в нормированных пространствах" , Вклад в алгебру и геометрию , 40 (2): 303–307, MR 1720106.
- Деза, Мишель Мари ; Деза, Елена (2009), Энциклопедия расстояний , Springer-Verlag, стр. 20.
- Гай, Ричард К. (1983), "Об олья-podrida открытых проблем, часто странно позировала", American Mathematical Monthly , 90 (3): 196-200, DOI : 10,2307 / 2975549 , JSTOR 2975549 , MR 1540158.
- Кулен, Джек; Лоран, Моник ; Шриджвер, Александр (2000), "Равносторонняя размерность прямолинейного пространства", Designs, коды и криптография , 21 (1): 149-164, DOI : 10.1023 / A: 1008391712305 , MR 1801196.
- Петти, Клинтон М. (1971), "Равносторонние множеств в пространствах Минковского", Труды Американского математического общества , 29 (2): 369-374, DOI : 10,1090 / S0002-9939-1971-0275294-8 , MR 0275294.
- Свейнпол, Конрад Дж. (2004), «Проблема Куснера на равносторонних множествах», Archiv der Mathematik , 83 (2): 164–170, arXiv : math / 0309317 , doi : 10.1007 / s00013-003-4840-8 , Руководство по ремонту 2104945.
- Swanepoel, Konrad J .; Вилла, Рафаэль (2008), «Нижняя оценка равностороннего числа нормированных пространств», Труды Американского математического общества , 136 (1): 127–131, arXiv : math / 0603614 , doi : 10.1090 / S0002-9939- 07-08916-2 , Руководство по ремонту 2350397.