Кросс-многогранник

Кросс-многогранники размерности от 2 до 5

2-х мерный квадрат	3-х мерный октаэдр
4 размера, 16 ячеек	5 размеров 5-ортоплекс

В геометрии , в поперечном многогранника , ^[1] гипероктаэдра , orthoplex , ^[2] или cocube является регулярным , выпуклый многогранник , который существует в п - размеры . Двумерный кросс-многогранник - это квадрат, 3-мерный кросс-многогранник - это правильный октаэдр , а 4-мерный кросс-многогранник - это 16-ячеечный . Его грани - это симплексы предыдущего измерения, а фигура вершины кросс-многогранника - это еще один кросс-многогранник из предыдущего измерения.

Вершины кросс-многогранника могут быть выбраны в качестве единичных векторов, указывающих вдоль каждой координатной оси, т.е. все перестановки (± 1, 0, 0,…, 0) . Кросс-многогранник - это выпуклая оболочка его вершин. П - мерное кроссполитоп также может быть определен как замкнутый единичный шар (или, по мнению некоторых авторов, ее граничных) в ℓ ₁ -норме на R ^н :

${\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \ | x \ | _ {1} \ leq 1 \}.}$

В одном измерении кросс-политоп - это просто отрезок [-1, +1], в двух измерениях - квадрат (или ромб) с вершинами {(± 1, 0), (0, ± 1)}. В трех измерениях это октаэдр - один из пяти выпуклых правильных многогранников, известных как Платоновы тела . Это можно обобщить на более высокие измерения с n-ортоплексом, построенным как бипирамида с (n-1) -ортоплексным основанием.

Кроссполитоп является двойной многогранник из гиперкуба . 1- скелет из п - мерного кросс-многогранника является Туран граф Т (2 н , п ).

4 измерения [ править ]

Четырехмерный кросс-политоп также известен под названием гексадекахорон или 16-элементный . Это один из шести выпуклых правильных 4-многогранников . Эти 4-многогранники впервые были описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19 века.

Высшие измерения [ править ]

Семейство кросс-многогранников - одно из трех семейств правильных многогранников , обозначенных Кокстером как β _n , два других - это семейство гиперкубов , обозначенных как γ _n , и симплексов , обозначенных как α _n . Четвертое семейство, бесконечные мозаики гиперкубов , он обозначил как δ _n . ^[3]

П - мерный кроссполитоп имеет 2 п вершин, и 2 ^н граней ( п -1 номерных узлов) , все из которых являются п -1 симплекс . Эти цифры вершинных все п  - 1 кросс-многогранники. Символ Шлефли кросс-многогранника равен {3,3, ..., 3,4}.

Двугранный угол из п - мерного поперечного многогранника . Это дает: δ ₂ = arccos (0/2) = 90 °, δ ₃ = arccos (-1/3) = 109,47 °, δ ₄ = arccos (-2/4) = 120 °, δ ₅ = arccos (- 3/5) = 126,87 °, ... δ _∞ = arccos (-1) = 180 °.${\ displaystyle \ delta _ {n} = \ arccos \ left ({\ frac {2-n} {n}} \ right)}$

Гиперобъем n- мерного кросс-многогранника равен

${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {n}} {n!}}.}$

Для каждой пары не противоположных вершин есть ребро, соединяющее их. В более общем смысле, каждый набор из k + 1 ортогональных вершин соответствует отдельному k -мерному компоненту, который их содержит. Количество k -мерных компонентов (вершин, ребер, граней, ..., фасет) в n- мерном кросс-многограннике, таким образом, определяется выражением (см. Биномиальный коэффициент ):

${\ displaystyle 2 ^ {k + 1} {n \ choose {k + 1}}}$^[4]

Существует множество возможных орфографических проекций, которые могут отображать кросс-многогранники в виде двумерных графов. Проекции многоугольника Петри отображают точки в правильный 2n -угольник или регулярные многоугольники более низкого порядка. Вторая проекция берет 2 (n-1) -угольный многоугольник Петри нижнего измерения, рассматриваемый как бипирамида , спроецированный вниз по оси, с двумя вершинами, отображенными в центре.

Элементы кросс-многогранника

п	β н к 11	Имя (я) График	График 2n-угольник	Schläfli	Кокстер-Дынкин диаграмма	Вершины	Края	Лица	Клетки	4 лица	5- граней	6 -граней	7 -граней	8 -граней	9 -лицы	10 -лицы
0	β 0	Точка 0-ортоплекс	.	()		1
1	β 1	Отрезок 1-ортоплекс		{}		2	1
2	β 2 −1 11	квадратный 2-ортоплекс Bicross		{4} 2 {} = {} + {}		4	4	1
3	β 3 0 11	октаэдр 3-ортоплекс Трикросс		{3,4} {3 1,1 } 3 {}		6	12	8	1
4	β 4 1 11	16-секционный 4-х ортоплексный тетракросс		{3,3,4} {3,3 1,1 } 4 {}		8	24	32	16	1
5	β 5 2 11	5-ортоплекс Пентакросс		{3 3 , 4} {3,3,3 1,1 } 5 {}		10	40	80	80	32	1
6	β 6 3 11	6-ортоплекс Hexacross		{3 4 , 4} {3 3 , 3 1,1 } 6 {}		12	60	160	240	192	64	1
7	β 7 4 11	7-ортоплекс Гептакросс		{3 5 , 4} {3 4 , 3 1,1 } 7 {}		14	84	280	560	672	448	128	1
8	β 8 5 11	8-ортоплекс Octacross		{3 6 , 4} {3 5 , 3 1,1 } 8 {}		16	112	448	1120	1792	1792	1024	256	1
9	β 9 6 11	9-ортоплекс Эннеакросс		{3 7 , 4} {3 6 , 3 1,1 } 9 {}		18	144	672	2016 г.	4032	5376	4608	2304	512	1
10	β 10 7 11	10-ортоплекс Decacross		{3 8 , 4} {3 7 , 3 1,1 } 10 {}		20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024	1
...
п	β н к 11	п -orthoplex п -cross		{3 n  - 2 , 4} {3 n  - 3 , 3 1,1 } n {}	... ... ...	2 п 0-граней , ... к -граней ..., 2 п (п-1) -граней${\ displaystyle 2 ^ {k + 1} {n \ select k + 1}}$

Все вершины выровненного по осям поперечного многогранника находятся на равном расстоянии друг от друга на манхэттенском расстоянии ( норма L 1 ). Гипотеза Куснера утверждает, что этот набор из 2 d точек является наибольшим из возможных эквидистантных наборов для этого расстояния. ^[5]

Обобщенный ортоплекс [ править ]

Регулярные комплексные многогранники могут быть определены в комплексном гильбертовом пространстве, называемом обобщенными ортоплексами (или кросс-многогранниками), β^п
_п= ₂ {3} ₂ {3} ... ₂ {4} _p , или... Реальные решения существуют с p = 2, т. Е. Β²
_п= β _n = ₂ {3} ₂ {3} ... ₂ {4} ₂ = {3,3, .., 4}. При p > 2 они существуют в . Р -generalized п -orthoplex имеет р - п вершин. Обобщенные ортоплексы имеют правильные симплексы (действительные) в качестве фасетов . ^[6] Обобщенные ортоплексы составляют полные многодольные графы , β${\ Displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^ {п}}$^п
₂сделаем K _{p , p} для полного двудольного графа , β^стр.
₃сделайте K _{p , p , p} для полных трехчастных графов. β^п
_псоздает K _{p ⁿ} . Ортогональная проекция может быть определена , что отображает все вершины равномерно разнесенных по кругу, со всеми парами вершин , соединенных, за исключением кратных п . Правильный многоугольник периметр в этих ортогональных проекций называется Petrie многоугольник .

Обобщенные ортоплексы

	р = 2		р = 3	р = 4	р = 5	р = 6	р = 7	р = 8
${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$	2 {4} 2 = {4} = К 2,2	${\ Displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^ {2}}$	2 {4} 3 = К 3,3	2 {4} 4 = К 4,4	2 {4} 5 = К 5,5	2 {4} 6 = К 6,6	2 {4} 7 = К 7,7	2 {4} 8 = К 8,8
${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$	2 {3} 2 {4} 2 = {3,4} = К 2,2,2	${\ Displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^ {3}}$	2 {3} 2 {4} 3 = К 3,3,3	2 {3} 2 {4} 4 = К 4,4,4	2 {3} 2 {4} 5 = К 5,5,5	2 {3} 2 {4} 6 = К 6,6,6	2 {3} 2 {4} 7 = К 7,7,7	2 {3} 2 {4} 8 = К 8,8,8
${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3,3,4} = К 2,2,2,2	${\ Displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^ {4}}$	2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 К 3,3,3,3	2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 К 4,4,4,4	2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 К 5,5,5,5	2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 К 6,6,6,6	2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 К 7,7,7,7	2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 К 8,8,8,8
${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {5}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 2 {3,3,3,4} = К 2,2,2,2,2	${\ Displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^ {5}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 К 3,3,3,3,3	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 К 4,4,4,4,4	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 К 5,5,5,5,5	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 К 6,6,6,6,6	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 К 7,7,7,7,7	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 К 8,8,8,8,8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 2 {3,3,3,3,4} = К 2,2,2,2,2,2	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{6}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 К 3,3,3,3,3,3	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 К 4,4,4,4,4,4	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 К 5,5,5,5,5,5	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 К 6,6,6,6,6,6	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 К 7,7,7,7,7,7	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 К 8,8,8,8,8,8

Связанные семейства многогранников [ править ]

Кросс-многогранники можно комбинировать со своими двойными кубами, чтобы образовать составные многогранники:

• В двух измерениях, мы получаем octagrammic звезды фигуры { ⁸ / ₂ },
• В трех измерениях мы получаем соединение куба и октаэдра ,
• В четырех измерениях мы получаем соединение тессеракта и 16 ячеек .

См. Также [ править ]

• Список правильных многогранников
• Группа гипероктаэдра, группа симметрии кросс-политопа

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Кокстер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
  • С. 121-122, §7.21. см. иллюстрацию Рис. 7.2 B
  • п. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерном пространстве (n≥5)

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с графами кросс-многогранников .

• Вайсштейн, Эрик В. «Кросс-многогранник» . MathWorld .