Экзистенциально закрытая модель
В теории моделей , разделе математической логики , понятие экзистенциально замкнутой модели (или экзистенциально полной модели ) теории обобщает понятия алгебраически замкнутых полей (для теории полей ), вещественных замкнутых полей (для теории упорядоченных поля ), экзистенциально замкнутые группы (для теории групп ) и плотные линейные порядки без концов (для теории линейных порядков).
Подструктура M структуры N называется экзистенциально замкнутой в (или экзистенциально полной в ) , если для каждой бескванторной формулы φ ( x 1 ,…, x n , y 1 ,…, y n ) и всех элементов b 1 ,…, bn множества M такие, что φ( x1 ,… , xn , b1 , … , bn ) реализуется в N, то φ( x 1 ,…, x n , b 1 ,…, b n ) также реализуется в M . Другими словами: если существует набор a 1 ,…, an в N такой , что φ( a 1 ,…, an , b 1 ,…, b n ) выполняется в N , то такой набор существует и в M . Это понятие часто обозначают .
Модель М теории Т называется экзистенциально замкнутой в Т , если она экзистенциально замкнута в каждой надстройке N , которая сама является моделью Т. В более общем смысле структура M называется экзистенциально замкнутой в классе K структур (в котором она содержится как член), если M экзистенциально замкнута в каждой надстройке N , которая сама является членом K .
Экзистенциальное замыкание в K члена M из K , когда оно существует, является с точностью до изоморфизма наименьшей экзистенциально замкнутой надстройкой M . Точнее, это любая экстенсионально замкнутая надстройка M ∗ из M такая, что для каждой экзистенциально замкнутой надстройки N из M , M ∗ изоморфна подструктуре N через изоморфизм, который является тождеством на M .
Пусть σ = (+,×,0,1) — сигнатура полей, т. е. + и × — бинарные функциональные символы, а 0 и 1 — константные символы. Пусть K — класс структур сигнатуры σ , являющихся полями. Если A является подполем B , то A экзистенциально замкнуто в B тогда и только тогда, когда каждая система многочленов над A , имеющая решение в B , также имеет решение в A. Отсюда следует, что экзистенциально замкнутые элементы K — это в точности алгебраически замкнутые поля.
Точно так же в классе упорядоченных полей экзистенциально замкнутые структуры являются реальными замкнутыми полями . В классе линейных порядков экзистенциально замкнутыми структурами являются те, которые плотны без концов, а экзистенциальное замыкание любого счетного (в том числе и пустого ) линейного порядка есть с точностью до изоморфизма счетно-плотный тотальный порядок без концов, а именно тип порядка из рациональных .