Преобразование радона

В математике , то преобразование Радона является интегральное преобразование , которое принимает функцию F , определенная на плоскости к функции Rf , определенной на (двумерной) пространстве прямых в плоскости, величина которого на определенной линии равна интегралу линии функции над этой строкой. Преобразование было введено в 1917 году Иоганна Радона , ^[1] , который также предоставил формулу для обратного преобразования. Радон также включил формулы для преобразования в трех измерениях , в которых интеграл берется по плоскостям (интегрирование по линиям известно как рентгеновское преобразование). Позже он был обобщен на многомерные евклидовы пространства и в более широком смысле в контексте интегральной геометрии . Комплекс аналог преобразования Радона известен как преобразование Пенроуза . Преобразование Радона широко применяется в томографии , создании изображения из данных проекции, связанных со сканированием поперечного сечения объекта.

Объяснение [ править ]

Если функция представляет неизвестную плотность, тогда преобразование Радона представляет данные проекции, полученные в результате томографического сканирования. Следовательно, обратное преобразованию Радона можно использовать для восстановления исходной плотности из данных проекции, и, таким образом, оно формирует математическую основу для томографической реконструкции , также известной как итеративная реконструкция .${\ displaystyle f}$

Данные преобразования Радона часто называют синограммой, потому что преобразование Радона смещенного от центра точечного источника является синусоидой. Следовательно, преобразование Радона ряда небольших объектов отображается графически как ряд размытых синусоидальных волн с разными амплитудами и фазами.

Преобразование Радона полезно в компьютерной осевой томографии (CAT сканирования), штрих - код сканеры, электронная микроскопия из макромолекулярных узлов , таких как вирусы и белковых комплексов , отражения сейсмологии и в решении гиперболических дифференциальных уравнений .

Определение [ править ]

Позвольте быть функцией, которая удовлетворяет трем условиям регулярности: ^[2]${\ displaystyle f ({\ textbf {x}}) = f (x, y)}$

1. ${\ displaystyle f ({\ textbf {x}})}$ непрерывно;
2. двойной интеграл , проходящий по всей плоскости, сходится;${\ displaystyle \ iint {\ dfrac {\ vert f ({\ textbf {x}}) \ vert} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} dxdy}$
3. для любой произвольной точки на плоскости выполняется${\ Displaystyle (х, у)}$${\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f (x + r \ cos \ phi, y + r \ sin \ phi) d \ phi = 0.}$

Преобразование Радона, является функция , определенная на пространстве прямых линий со стороны интеграла линии вдоль каждой такой линии , как:${\ displaystyle Rf}$${\ Displaystyle L \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$

Конкретно, параметризацию любой прямой по длине дуги всегда можно записать:${\ displaystyle L}$${\ displaystyle z}$где - расстояние от начала координат и - угол, который вектор нормали образует с осью. Отсюда следует, что величины можно рассматривать как координаты на пространстве всех линий в , и преобразование Радона может быть выражено в этих координатах как:${\ displaystyle s}$${\ displaystyle L}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle L}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (\alpha ,s)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$В более общем смысле, в -мерном евклидовом пространстве преобразование Радона функции, удовлетворяющей условиям регулярности, является функцией на пространстве всех гиперплоскостей в . Это определяется:${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Rf}$${\displaystyle \Sigma _{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

где интеграл берется по отношению к природной гиперповерхности меры , (обобщающий термин из - мерный случай). Заметьте, что любой элемент характеризуется как геометрическое место решения уравнения , где - единичный вектор и . Таким образом, -мерное преобразование Радона может быть переписано как функция через:${\displaystyle d\sigma }$${\displaystyle \vert d\mathbf {x} \vert }$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \Sigma _{n}}$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \alpha =s}$${\displaystyle \alpha \in S^{n-1}}$${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }$Также возможно еще больше обобщить преобразование Радона, интегрируя вместо этого надмерные аффинные подпространства . X-лучевое преобразование является наиболее широко используется частный случай этой конструкции, и получается путем интегрирования по прямым линиям.${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Связь с преобразованием Фурье [ править ]

Преобразование Радона тесно связано с преобразованием Фурье . Здесь мы определяем одномерное преобразование Фурье как:

Для функции -вектора одномерное преобразование Фурье:${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y)}$Для удобства обозначим . Затем теорема Фурье-среза гласит:${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\alpha }[f](s)={\mathcal {R}}[f](\alpha ,s)}$ где ${\displaystyle \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha ).}$

Таким образом, двумерное преобразование Фурье исходной функции вдоль линии под углом наклона является преобразованием Фурье с одной переменной для преобразования Радона (полученного под углом ) этой функции. Этот факт можно использовать для вычисления как преобразования Радона, так и его обратного. Результат можно обобщить на n измерений:${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

Двойное преобразование [ править ]

Двойственное преобразование Радона является своего рода дополнением к преобразованию Радона. Начиная с функции g на пространстве , двойственное преобразование Радона - это функция на R ^n, определяемая следующим образом:${\displaystyle \Sigma _{n}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g}$

Интеграл здесь берется по множеству всех гиперплоскостей, инцидентных точке , а мера является единственной вероятностной мерой на множестве, инвариантной относительно поворотов вокруг точки .${\displaystyle {\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle d\mu }$${\displaystyle \{\xi |x\in \xi \}}$${\displaystyle x}$

Конкретно, для двумерного преобразования Радона двойственное преобразование задается следующим образом:

В контексте обработки изображений двойное преобразование обычно называется обратной проекцией ^[3], поскольку оно принимает функцию, определенную для каждой линии на плоскости, и «размазывает» или проецирует ее обратно на линию для создания изображения.

Свойство переплетения [ править ]

Обозначим через лапласиан на :${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Это естественный вращательно-инвариантный дифференциальный оператор второго порядка . На "радиальная" вторая производная также инвариантна относительно вращения. Преобразование Радона и двойственное к нему операторы сплетаются для этих двух дифференциальных операторов в том смысле, что: ^[4]${\displaystyle \Sigma _{n}}$${\displaystyle Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s)}$ При анализе решений волнового уравнения в нескольких пространственных измерениях свойство переплетения приводит к трансляционному представлению Лакса и Филипса. ^[5] При построении изображений ^[6] и численном анализе ^[7] это используется для сведения многомерных задач к одномерным в качестве метода разделения измерений.

Подходы к реконструкции [ править ]

В процессе реконструкции изображение (или функция, описанная в предыдущем разделе) создается на основе данных его проекции. Реконструкция - обратная задача .${\displaystyle f}$

Формула обращения радона [ править ]

В двумерном случае наиболее часто используемой аналитической формулой для восстановления его преобразования Радона является формула отфильтрованной обратной проекции или формула инверсии Радона ^[8] :${\displaystyle f}$

где такое что . ^[9] Ядро свертки в некоторой литературе называется фильтром линейного изменения.${\displaystyle h}$${\displaystyle {\hat {h}}(k)=|k|}$${\displaystyle h}$

Некорректность [ править ]

Интуитивно в формуле отфильтрованной обратной проекции по аналогии с дифференцированием, для которого мы видим, что фильтр выполняет операцию, аналогичную производной. Грубо говоря, фильтр делает объекты более уникальными. Количественное заявление о некорректности инверсии радона выглядит следующим образом:${\displaystyle \left({\widehat {{\frac {d}{dx}}f}}\right)\!(k)=ik{\widehat {f}}(k)}$

где - ранее определенное сопряженное преобразование Радона. Таким образом , мы имеем:${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}}$${\displaystyle g(\mathbf {x} )=e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }}$Таким образом, комплексная экспонента является собственной функцией функции с собственным значением . Таким образом, сингулярные значения равны . Поскольку эти особые значения стремятся к , не ограничено. ^[9]${\displaystyle e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }}$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\frac {1}{||\mathbf {k_{0}} ||}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{||\mathbf {k} ||}}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}}$

Итерационные методы реконструкции [ править ]

По сравнению с методом обратной проекции с фильтром , итеративная реконструкция требует больших затрат времени на вычисления, что ограничивает ее практическое использование. Однако из-за некорректности инверсии радона метод обратной проекции с фильтром может оказаться невозможным при наличии неоднородности или шума. Методы итерационной реконструкции ( например, итерационная разреженная асимптотическая минимальная дисперсия ^[10] ) могут обеспечить уменьшение металлических артефактов, снижение шума и дозы для восстановленного результата, что вызывает большой интерес исследователей во всем мире.

Формулы обращения [ править ]

Доступны явные и эффективные в вычислительном отношении формулы обращения для преобразования Радона и двойственного к нему. Преобразование Радона в размерностях можно инвертировать по формуле: ^[11]${\displaystyle n}$

где , а степень лапласиана определяется как псевдодифференциальный оператор, если необходимо, с помощью преобразования Фурье :${\displaystyle c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}}$${\displaystyle (-\Delta )^{(n-1)/2}}$Для вычислительных целей мощность лапласиана коммутируется с двойственным преобразованием, чтобы получить: ^[12]${\displaystyle R^{*}}$ где - преобразование Гильберта по переменной s . В двух измерениях оператор появляется при обработке изображений как линейный фильтр . ^[13] Непосредственно из теоремы Фурье о срезах и замены переменных для интегрирования можно доказать, что для непрерывной функции двух переменных с компактным носителем:${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}}$${\displaystyle f}$Таким образом, в контексте обработки изображения исходное изображение может быть восстановлено из данных «синограммы» путем применения линейного фильтра (в переменной) и последующего обратного проецирования. Поскольку этап фильтрации может выполняться эффективно (например, с использованием методов цифровой обработки сигналов ), а этап обратного проецирования представляет собой просто накопление значений в пикселях изображения, это приводит к высокоэффективному и, следовательно, широко используемому алгоритму.${\displaystyle f}$${\displaystyle Rf}$${\displaystyle s}$

В явном виде формула обращения, полученная вторым методом, имеет следующий вид: ^[3]

Двойное преобразование также можно инвертировать по аналогичной формуле:

Преобразование Радона в алгебраической геометрии [ править ]

В алгебраической геометрии преобразование Радона (также известное как преобразование Брылинского – Радона ) строится следующим образом.

Писать

${\displaystyle \mathbf {P} ^{d}{\stackrel {p_{1}}{\gets }}H{\stackrel {p_{2}}{\to }}\mathbf {P} ^{\vee ,d}}$

для универсальной гиперплоскости , т.е. H состоит из пар ( x , h ), где x - точка в d -мерном проективном пространстве, а h - точка в двойственном проективном пространстве (другими словами, x - прямая, проходящая через начало координат в ( d +1) -мерное аффинное пространство , и h является гиперплоскостью в этом пространстве) такая, что x содержится в h .${\displaystyle \mathbf {P} ^{d}}$

Тогда преобразование Brylinksi-Радон функтор между соответствующим производными категориями из этальных пучков

${\displaystyle Rad:=Rp_{2,*}p_{1}^{*}:D(\mathbf {P} ^{d})\to D(\mathbf {P} ^{\vee ,d}).}$

Основная теорема об этом преобразовании состоит в том, что это преобразование индуцирует эквивалентность категорий извращенных пучков на проективном пространстве и его двойственном проективном пространстве с точностью до постоянных пучков. ^[14]

См. Также [ править ]

• Периодограмма
• Соответствующий фильтр
• Деконволюция
• Рентгеновское преобразование
• Преобразование фанка
• Преобразование Хафа , записанное в непрерывной форме, очень похоже, если не эквивалентно, преобразованию Радона. ^[15]
• Теорема Коши-Крофтона является тесно связанной формулой для вычисления длины кривых в пространстве.
• Быстрое преобразование Фурье

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Локенат Дебнат; Дамбару Бхатта (19 апреля 2016 г.). Интегральные преобразования и их приложения . CRC Press. ISBN 978-1-4200-1091-6.
• Динс, Стэнли Р. (1983), Преобразование Радона и некоторые его приложения , Нью-Йорк: John Wiley & Sons
• Хелгасон, Сигурдур (2008), Геометрический анализ симметричных пространств , Математические обзоры и монографии, 39 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , DOI : 10.1090 / Surv / 039 , ISBN 978-0-8218-4530-1, Руководство по ремонту  2463854
• Герман, Габор Т. (2009), Основы компьютерной томографии: реконструкция изображения по проекциям (2-е изд.), Springer, ISBN 978-1-85233-617-2
• Минлос, Р.А. (2001) [1994], "Преобразование Радона" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Наттерер, Франк (июнь 2001 г.), Математика компьютерной томографии , Классика прикладной математики, 32 , Общество промышленной и прикладной математики, ISBN 0-89871-493-1
• Наттерер, Франк; Wübbeling, Франк (2001), Математические методы реконструкции изображений , Общество промышленной и прикладной математики, ISBN 0-89871-472-9
• Киль, Рейнхардт ; Вайссауэр, Райнер (2001), гипотезы Вейля, извращенные пучки и адическое преобразование Фурье , Springer, DOI : 10.1007 / 978-3-662-04576-3 , ISBN 3-540-41457-6, Руководство по ремонту  1855066 CS1 maint: discouraged parameter (link)

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Преобразование Радона» . MathWorld .
• Аналитическая проекция (преобразование Радона) (видео). Часть курса «Компьютерная томография и ASTRA Toolbox». Университет Антверпена . 10 сентября 2015 года.