В математике , то рентгеновское преобразование (также называемое преобразование Джона ) является интегральным преобразованием введено Fritz Джона в 1938 [1] , что является одним из основ современной интегральной геометрии . Он очень тесно связан с преобразованием Радона и совпадает с ним в двух измерениях. В более высоких измерениях рентгеновское преобразование функции определяется интегрированием по линиям, а не по гиперплоскостям, как в преобразовании Радона. Рентгеновское преобразование получило свое название от рентгеновской томографии (используется в компьютерной томографии).) , Так как рентгеновское преобразование функции ƒ представляет данные затухания томографического сканирования через неоднородную среду, плотность которой представлена функция ƒ . Таким образом, инверсия рентгеновского преобразования имеет практическое значение, поскольку позволяет восстановить неизвестную плотность ƒ по известным данным затухания.
Более подробно, если ƒ является компактным носителем непрерывной функции на евклидовом пространстве R п , то Рентгеновский преобразование ƒ является функцией Xƒ , определенная на множестве всех строк в R п по
где х 0 является начальной точкой на линии , и θ представляет собой единичный вектор дает направление линии L . Последний интеграл не рассматриваются в ориентированном смысле: это интеграл по отношению к 1-мерной мере Лебега на евклидовых линии L .
Рентгеновское преобразование удовлетворяет ультрагиперболическому волновому уравнению, называемому уравнением Джона .
Гипергеометрическая функция Гаусса может быть записана в виде рентгеновского преобразования ( Гельфанд, Гиндикиным & Граев 2003 , 2.1.2).
Рекомендации
- ^ Фриц, Джон (1938). «Ультрагиперболическое дифференциальное уравнение с четырьмя независимыми переменными» . Математический журнал герцога . 4 : 300–322. DOI : 10.1215 / S0012-7094-38-00423-5 . Проверено 23 января 2013 года .
- Беренштейн, Карлос А. (2001) [1994], "Рентгеновское преобразование" , Энциклопедия математики , EMS Press.
- Гельфанд И.М.; Гиндикин, С.Г .; Граев, М.И. (2003) [2000], Избранные темы интегральной геометрии , Переводы математических монографий, 220 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2932-5, MR 2000133
- Хелгасон, Сигурдур (2008), Геометрический анализ симметричных пространств , Математические обзоры и монографии, 39 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4530-1, MR 2463854
- Хельгасон, Сигурдур (1999), Преобразование Радона (PDF) , Прогресс в математике (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhauser