В теоретической физике , то преобразование Пенроуза , введенный Роджер Пенроуз ( 1967 , 1968 , 1969 ), представляет собой сложный аналог преобразования Радона , связывающая безмассовых полей на пространстве - времени к когомологиям из пучков на комплексном проективном пространстве . Рассматриваемое проективное пространство - это твисторное пространство , геометрическое пространство, естественно связанное с исходным пространством-временем, и твисторное преобразование также геометрически естественно в смысле интегральной геометрии . Преобразование Пенроуза - главный компонент классическойтвисторная теория .
Обзор
Абстрактно преобразование Пенроуза действует на двойное расслоение пространства Y над двумя пространствами X и Z
В классическом преобразовании Пенроуза Y - спиновое расслоение , X - компактифицированная и комплексифицированная форма пространства Минковского, а Z - твисторное пространство. Более общие примеры происходят из двойных расслоений формы
где G - комплексная полупростая группа Ли, а H 1 и H 2 - параболические подгруппы.
Преобразование Пенроуза работает в два этапа. Сначала мы стягиваем группы когомологий пучков H r ( Z , F ) до когомологий пучков H r ( Y , η −1 F ) на Y ; во многих случаях, когда представляет интерес преобразование Пенроуза, этот откат оказывается изоморфизмом. Затем сдвигаются полученные классы когомологий до X ; т. е. исследуется прямой образ класса когомологий с помощью спектральной последовательности Лерэ . Полученное прямое изображение затем интерпретируется в терминах дифференциальных уравнений. В случае классического преобразования Пенроуза результирующие дифференциальные уравнения являются в точности уравнениями безмассового поля для данного спина.
Пример
Классический пример дается следующим образом.
- «Твисторное пространство» Z - это комплексное проективное 3 -мерное пространство CP 3 , которое также является грассманианом Gr 1 ( C 4 ) прямых в 4-мерном комплексном пространстве.
- X = Gr 2 ( C 4 ), грассманиан 2-плоскостей в 4-мерном комплексном пространстве. Это компактификация комплексного пространства Минковского.
- Y - многообразие флагов , элементы которого соответствуют прямой на плоскости C 4 .
- G - это группа SL 4 ( C ), а H 1 и H 2 - параболические подгруппы, фиксирующие прямую или плоскость, содержащую эту прямую.
Отображения из Y в X и Z являются естественными проекциями.
Преобразование Пенроуза – Уорда
Преобразование Пенроуза – Уорда является нелинейной модификацией преобразования Пенроуза, введенного Уордом (1977) , которое (среди прочего) связывает голоморфные векторные расслоения на 3-мерном комплексном проективном пространстве CP 3 с решениями самодвойственной Янга – Миллса уравнения на S 4 . Atiyah & Ward (1977) использовали это для описания инстантонов в терминах алгебраических векторных расслоений на комплексном проективном 3-пространстве, а Atiyah (1979) объяснил, как это можно использовать для классификации инстантонов на 4-сфере.
Рекомендации
- Атья, Майкл Фрэнсис ; Уорд, Р.С. (1977), "Инстантоны и алгебраическая геометрия" , Сообщения в области математической физики , Springer Berlin / Heidelberg, 55 (2): 117–124, Bibcode : 1977CMaPh..55..117A , doi : 10.1007 / BF01626514 , ISSN 0010-3616 , MR 0494098
- Атья, Майкл Фрэнсис (1979), Геометрия полей Янга-Миллса , Lezioni Fermiane, Scuola Normale Superiore Pisa, Пиза, ISBN 978-88-7642-303-1, Руководство по ремонту 0554924
- Бастон, Роберт Дж .; Иствуд, Майкл Г. (1989), преобразование Пенроуза , Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853565-2, MR 1038279.
- Иствуд, Майкл (1993), «Введение в преобразование Пенроуза» , в Иствуде, Майкл; Вольф, Иосиф; Zierau., Роджер (ред.), Преобразование Пенроуза и аналитические когомологии в теории представлений (South Hadley, MA, 1992) , Contemp. Math., 154 , Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 71–75, ISBN. 978-0-8218-5176-0, MR 1246377
- Иствуд, MG (2001) [1994], "Преобразование Пенроуза" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Дэвид, Лиана (2001), Преобразование Пенроуза и его приложения (PDF) , Эдинбургский университет; Докторская диссертация.
- Пенроуз, Роджер (1967), "Твисторная алгебра" , Журнал математической физики , 8 (2): 345-366, Bibcode : 1967JMP ..... 8..345P , DOI : 10,1063 / 1,1705200 , ISSN 0022-2488 , MR 0216828 , архивировано с оригинала 12.01.2013
- Пенроуз, Роджер (1968), "Твисторное квантование и искривленное пространство-время", Международный журнал теоретической физики , Springer, Нидерланды, 1 (1): 61–99, Bibcode : 1968IJTP .... 1 ... 61P , doi : 10.1007 / BF00668831 , ISSN 0020-7748
- Пенроуз, Роджер (1969), "Решения уравнений нулевой массы покоя" , журнал математической физики , 10 (1): 38–39, Bibcode : 1969JMP .... 10 ... 38P , doi : 10.1063 / 1.1664756 , ISSN 0022-2488 , архивируются с оригинала на 2013-01-12
- Пенроуз, Роджер ; Риндлер, Вольфганг (1986), Спиноры и пространство-время. Vol. 2 , Кембриджские монографии по математической физике, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-25267-6, Руководство по ремонту 0838301.
- Уорд, Р.С. (1977), "О самодуальных калибровочных полях", Physics Letters A , 61 (2): 81–82, Bibcode : 1977PhLA ... 61 ... 81W , doi : 10.1016 / 0375-9601 (77 ) 90842-8 , ISSN 0375-9601 , MR 0443823