Дифференциальный оператор

В математике дифференциальный оператор — это оператор, определяемый как функция оператора дифференцирования . Полезно сначала с точки зрения обозначений рассматривать дифференцирование как абстрактную операцию, которая принимает функцию и возвращает другую функцию (в стиле функции более высокого порядка в информатике ).

В данной статье рассматриваются в основном линейные дифференциальные операторы, которые являются наиболее распространенным типом. Однако существуют и нелинейные дифференциальные операторы, такие как производная Шварца .

Предположим, что существует карта из функционального пространства в другое функциональное пространство и функция , которая является образом т . е . . Дифференциальный оператор представляется как линейная комбинация, конечно порожденная и ее производные, содержащие более высокие степени, такие как${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle u\in {\mathcal {F}}_{1}}$${\displaystyle f=A(u)}$${\displaystyle u}$

Наиболее распространенный дифференциальный оператор действия взятия производной . Общие условные обозначения для приема первой производной по переменной х , включают:

Использование и создание нотации D приписывают Оливеру Хевисайду , который рассматривал дифференциальные операторы формы

Это иногда также называют оператором однородности , потому что его собственные функции являются мономами от z :

Гармоническая функция, заданная на кольце . Гармонические функции — это именно те функции, которые лежат в ядре оператора Лапласа — важного дифференциального оператора.