В математике ряд теорем о неподвижной точке в бесконечномерных пространствах обобщает теорему Брауэра о неподвижной точке . У них есть приложения, например, к доказательству теорем существования для уравнений в частных производных .
Первым результатом в этой области была теорема Шаудера о неподвижной точке , доказанная в 1930 году Юлиушем Шаудером (предыдущий результат в другом ключе, теорема Банаха о неподвижной точке для сжимающих отображений в полных метрических пространствах была доказана в 1922 году). Последовал ряд дальнейших результатов. Один из способов, которым теоремы о неподвижной точке такого рода оказали большее влияние на математику в целом, заключался в том, что один из подходов состоит в попытке перенести методы алгебраической топологии , впервые доказанные для конечных симплициальных комплексов , на пространства бесконечной размерности. Например, исследование Жана Лере , основавшего теорию пучков. возник в результате попыток расширить работу Шаудера.
Теорема о неподвижной точке Шаудера : Пусть С быть непустого закрыто выпуклого подмножества пространства Банаха V . Если F : C → C является непрерывным с компактным изображением, то F имеет неподвижную точку.
Теорема Тихонова (Тихонова) о неподвижной точке: Пусть V - локально выпуклое топологическое векторное пространство . Для любого непустого компактного выпуклого множества X в V любая непрерывная функция f : X → X имеет неподвижную точку.
Теорема Браудера о неподвижной точке: пусть K - непустое замкнутое ограниченное выпуклое множество в равномерно выпуклом банаховом пространстве . Тогда любая нерасширяющая функция f : K → K имеет неподвижную точку. (Функция называется нерасширяющей, если для каждого и .)
Другие результаты включают теорему Маркова – Какутани о неподвижной точке (1936–1938) и теорему Рыль – Нардзевского о неподвижной точке (1967) для непрерывных аффинных отображений компактных выпуклых множеств, а также теорему Эрла – Гамильтона о неподвижной точке. (1968) для голоморфных отображений открытых областей в себя.
Теорема Какутани о неподвижной точке : каждое соответствие, которое отображает компактное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства в себя с замкнутым графом и выпуклыми непустыми образами, имеет неподвижную точку.
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Василий И. Истратеску, Теория неподвижной точки, Введение , Д. Рейдел, Голландия (1981). ISBN 90-277-1224-7 .
- Анджей Гранас и Джеймс Дугунджи , Теория фиксированной точки (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5 .
- Уильям А. Кирк и Брейли Симс, Справочник по метрической теории фиксированной точки (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2 .
Внешние ссылки [ править ]
