В теории групп , разделе математики , аргумент Фраттини является важной леммой в структурной теории конечных групп . Он назван в честь Джованни Фраттини , который использовал его в статье 1885 года при определении подгруппы Фраттини в группе. Аргумент был взят Фраттини, как он сам признает, из статьи Альфредо Капелли, датированной 1884 годом [1].
Аргумент Фраттини
Заявление
Если конечная группа с нормальной подгруппой , и если является силовской p -подгруппой в, тогда
где обозначает нормализатор из в а также означает произведение групповых подмножеств .
Доказательство
Группа силовский -подгруппа , так что каждый силов -подгруппа является -конъюгат , то есть имеет вид , для некоторых (см. теоремы Силова ). Позволять быть любым элементом . С нормально в , подгруппа содержится в . Это значит, что силовский -подгруппа . Тогда, согласно вышесказанному, это должно быть-сопряжен с : то есть для некоторых
- ,
и другие
- .
Таким образом,
- ,
и поэтому . Но было произвольно, и поэтому
Приложения
- Аргумент Фраттини может использоваться как часть доказательства того, что любая конечная нильпотентная группа является прямым произведением своих силовских подгрупп.
- Применяя аргумент Фраттини к , можно показать, что в любое время конечная группа и силовский -подгруппа .
- В более общем смысле, если подгруппа содержит для некоторых силовских -подгруппа из , тогда является самонормализуемым, т. е. .
Внешние ссылки
- Аргумент Фраттини на ProofWiki
Рекомендации
- ^ М. Брешиа, Ф. де Джованни, М. Тромбетти, «Правдивая история аргументов Фраттини» , « Успехи в теории групп и приложениях» 3 , DOI: 10.4399 / 97888255036928
- Холл, Маршалл (1959). Теория групп . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Макмиллан. (См. Главу 10, особенно раздел 10.4.)