В математике , особенно в теории групп , подгруппа Фраттини из группы G является пересечением всех максимальных подгрупп в G . Для случая, когда G не имеет максимальных подгрупп, например тривиальной группы { e } или группы Прюфера , она определяется формулой. Он аналогичен радикалу Джекобсона в теории колец и интуитивно может рассматриваться как подгруппа «малых элементов» (см. Характеристику «не образующих» ниже). Он назван в честь Джованни Фраттини , который определил эту концепцию в статье, опубликованной в 1885 году [1].
Некоторые факты
- равно множеству всех не-генераторов или не-порождающих элементов из G . Непроизводящий элемент группы G - это элемент, который всегда можно удалить из генераторной установки ; то есть элемент a группы G такой, что всякий раз, когда X является порождающим множеством G, содержащим a ,Также порождающее множество G .
- всегда характеристическая подгруппа группы G ; в частности, это всегда нормальная подгруппа из G .
- Если G конечно, тоявляется нильпотентной .
- Если G конечная p -группа , то. Таким образом, подгруппа Фраттини является наименьшей (по включению) нормальной подгруппой N такой, что фактор-группа является элементарной абелевой группой , т.е. изоморфно на прямую сумму из циклических групп с порядка р . Более того, если фактор-группа(также называемый фактором Фраттини группы G ) имеет порядок, то k - наименьшее количество образующих для G (то есть наименьшее количество образующих для G ). В частности, конечная p -группа циклическая тогда и только тогда, когда ее фактор Фраттини циклический (порядка p ). Конечная p -группа элементарна абелева тогда и только тогда, когда ее подгруппа Фраттини является тривиальной группой ,.
- Если H и K конечны, то.
Примером группы с нетривиальной подгруппой Фраттини является циклическая группа G порядка, где p простое число, порожденное , скажем, a ; здесь,.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Фраттини, Джованни (1885). "Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni" (PDF) . Accademia dei Lincei, Rendiconti . (4). I : 281–285, 455–457. JFM 17.0097.01 .
- Холл, Маршалл (1959). Теория групп . Нью-Йорк: Макмиллан. (См. Главу 10, особенно раздел 10.4.)