Теорема Фредгольма

---

В математике теоремы Фредгольма представляют собой набор знаменитых результатов Ивара Фредгольма в теории интегральных уравнений Фредгольма . Есть несколько тесно связанных теорем, которые могут быть сформулированы в терминах интегральных уравнений, в терминах линейной алгебры или в терминах оператора Фредгольма в банаховых пространствах .

Теорема Фредгольма в линейной алгебре такова: если M — матрица , то ортогональное дополнение к пространству строк M — это нулевое пространство M :

Теорема Фредгольма для интегральных уравнений выражается следующим образом. Пусть — интегральное ядро ​​и рассмотрим однородные уравнения${\ Displaystyle К (х, у)}$

Здесь обозначает комплексное сопряжение комплексного числа , и аналогично для . Тогда теорема Фредгольма состоит в том, что при любом фиксированном значении эти уравнения имеют либо тривиальное решение , либо одинаковое число линейно независимых решений , .${\ displaystyle {\ overline {\ lambda}}}$ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\overline {K(x,y)}}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \psi (x)=\phi (x)=0}$${\displaystyle \phi _{1}(x),\cdots ,\phi _{n}(x)}$${\displaystyle \psi _{1}(y),\cdots ,\psi _{n}(y)}$

Достаточным условием выполнения этой теоремы является интегрируемость с квадратом на прямоугольнике (где a и/или b могут быть минус или плюс бесконечность).${\displaystyle K(x,y)}$${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$

Здесь интеграл выражается как одномерный интеграл на действительной числовой прямой. В теории Фредгольма этот результат обобщается на интегральные операторы на многомерных пространствах, включая, например, римановы многообразия .

---