Бесплатная категория

В математике , то свободная категория или путь категория порожден ориентированный графом или колчан является категорией , что результаты свободно конкатенация стрелки вместе, всякий раза , когда цель одной стрелки является источником следующего.

Точнее, объекты категории - это вершины колчана, а морфизмы - это пути между объектами. Здесь путь определяется как конечная последовательность

{\ Displaystyle V_ {0} {\ xrightarrow {\; \; E_ {0} \; \;}} V_ {1} {\ xrightarrow {\; \; E_ {1} \; \;}} \ cdots { \ xrightarrow {E_ {n-1}}} V_ {n}}

где - вершина колчана, - край колчана, а n пробегает неотрицательные целые числа. Для каждой вершины колчана существует «пустой путь», который составляет тождественные морфизмы категории. ${\ displaystyle V_ {k}}$ ${\ displaystyle E_ {k}}$ ${\ displaystyle V}$

Операция композиции - это объединение путей. Указанные пути

{\ displaystyle V_ {0} {\ xrightarrow {E_ {0}}} \ cdots {\ xrightarrow {E_ {n-1}}} V_ {n}, \ quad V_ {n} {\ xrightarrow {F_ {0} }} W_ {0} {\ xrightarrow {F_ {1}}} \ cdots {\ xrightarrow {F_ {n-1}}} W_ {m},}

их состав

\left(V_{n}{\xrightarrow {F_{0}}}W_{0}{\xrightarrow {F_{1}}}\cdots {\xrightarrow {F_{n-1}}}W_{m}\right)\circ \left(V_{0}{\xrightarrow {E_{0}}}\cdots {\xrightarrow {E_{n-1}}}V_{n}\right):=V_{0}{\xrightarrow {E_{0}}}\cdots {\xrightarrow {E_{n-1}}}V_{n}{\xrightarrow {F_{0}}}W_{0}{\xrightarrow {F_{1}}}\cdots {\xrightarrow {F_{n-1}}}W_{m}

. ^[1]^[2]

Обратите внимание, что результат композиции начинается с правого операнда композиции и заканчивается ее левым операндом.

Примеры [ править ]

Если Q - колчан с одной вершиной и одним ребром f, ведущим от этого объекта к самому себе, то свободная категория на Q имеет в качестве стрелок 1 , f , f ∘ f , f ∘ f ∘ f и т. Д. ^[2]
Пусть Q - колчан с двумя вершинами a , b и двумя ребрами e , f от a до b и b до a соответственно. Тогда свободная категория на Q имеет две тождественные стрелки и стрелку для каждой конечной последовательности чередующихся e s и f s, включая: e , f , e ∘ f , f ∘ e , f ∘ e ∘ f , e ∘ f∘ е и т. Д. ^[1]
Если Q - колчан , то свободная категория на Q имеет (помимо трех тождественных стрелок) стрелки f , g и g ∘ f . $a{\xrightarrow {f}}b{\xrightarrow {g}}c$
Если колчан Q имеет только одну вершины, то свободная категория на Q имеет только один объект, и соответствует свободному моноиду по краям Q . ^[1]

Свойства [ править ]

Категории малых категорий Cat имеют пренебрегающий функтор U в колчане категории Quiv :

U : Кот → Quiv

который переводит объекты в вершины и морфизмы в стрелки. Интуитивно U «[забывает], какие стрелки являются составными, а какие - идентичными». ^[2] Этот забывчивый функтор сопряжен справа с функтором, переводящим колчан в соответствующую свободную категорию.

Универсальное свойство [ править ]

Свободная категорию на колчан можно описать до изоморфизма с помощью универсального свойства . Пусть C : Quiv → Cat - функтор, переводящий колчан в свободную категорию на этом колчане (как описано выше), пусть U - функтор забывчивости, определенный выше, и пусть G - любой колчан. Тогда существует гомоморфизм графов I : G → U ( C ( G )) и для любой категории D и любого гомоморфизма графов F : G → U (D)существует единственный функтор F ' : C ( G ) → D такой, что U ( F' ) ∘ I = F , т.е. следующая диаграмма коммутирует :

Функтор C является левым сопряженным к забывчивым функтора U . ^[1]^[2]^[3]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ ^a ^b ^c ^d Awodey, Стив (2010). Теория категорий (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. С. 20–24. ISBN 978-0199237180. OCLC 740446073 .
^ а б в г Мак-Лейн, Сондерс (1978). Категории для рабочего математика (второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. С. 49–51. ISBN 1441931236. OCLC 851741862 .
^ "Бесплатная категория в nLab" . ncatlab.org . Проверено 12 сентября 2017 .

[:0-1] Awodey, Стив (2010). Теория категорий (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. С. 20–24. ISBN 978-0199237180. OCLC 740446073 .

[:1-2] а б в г Мак-Лейн, Сондерс (1978). Категории для рабочего математика (второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. С. 49–51. ISBN 1441931236. OCLC 851741862 .

[3] "Бесплатная категория в nLab" . ncatlab.org . Проверено 12 сентября 2017 .

[1]