В математике , моноидалъная категория (или тензор категории ) является категория оснащен бифунктором
что ассоциативная до более естественного изоморфизма , и объект I , который является одновременно влево и вправо тождественность для ⊗, снова до естественного изоморфизма. Соответствующие естественные изоморфизмы подчиняются определенным условиям когерентности , которые гарантируют коммутацию всех соответствующих диаграмм.
Обычное тензорное произведение превращает векторные пространства , абелевы группы , R- модули или R -алгебры в моноидальные категории. Моноидальные категории можно рассматривать как обобщение этих и других примеров. Каждую (небольшую) моноидальную категорию можно также рассматривать как « категоризацию » лежащего в основе моноида , а именно моноида, элементы которого являются классами изоморфизма объектов категории и чья бинарная операция задается тензорным произведением категории.
Совсем другое приложение, моноидальные категории которого можно рассматривать как абстракцию, - это система типов данных, закрытая конструктором типа, который принимает два типа и строит агрегированный тип; типы - это объекты иявляется агрегатным конструктором. Тогда ассоциативность с точностью до изоморфизма - это способ выразить разные способы агрегирования одних и тех же данных, например а также - хранить одну и ту же информацию, даже если агрегированные значения не обязательно должны быть одинаковыми. Объекты идентичности аналогичны алгебраическим операциям сложения (тип сумма) и умножения (тип произведения). Для типа продукт - объект идентичности - единица, он тривиально полностью населяет свой тип, поэтому существует только один обитатель этого типа, и поэтому продукт с ним всегда изоморфен другому операнду. Для типа sum объектом идентичности является тип void , который не хранит никакой информации, и его обитателей невозможно адресовать. Концепция моноидальной категории не предполагает, что значения таких агрегированных типов могут быть разделены; напротив, он обеспечивает основу, объединяющую классическую и квантовую теорию информации . [1]
В теории категорий моноидальные категории могут использоваться для определения концепции моноидного объекта и связанного с ним действия над объектами категории. Они также используются в определении расширенной категории .
Моноидальные категории имеют множество приложений за пределами собственно теории категорий. Они используются для определения моделей мультипликативного фрагмента интуиционистской линейной логики . Они также составляют математическую основу топологического порядка в конденсированных средах. Плетеные моноидальные категории имеют применение в квантовой информации , квантовой теории поля и теории струн .
Формальное определение
Моноидальная категория представляет собой категориюоснащен моноидальной структурой. Моноидальная структура состоит из следующего:
- бифунктор называется тензорным произведением или моноидальным произведением ,
- объект называется единичным объектом или объектом идентификации ,
- три естественных изоморфизма при определенных условиях когерентности, выражающих тот факт, что тензорная операция
- ассоциативно: существует естественный (в каждом из трех аргументов , , ) изоморфизм , называемый ассоциатором , с компонентами,
- имеет в качестве левого и правого тождества: существуют два естественных изоморфизма а также , называемые соответственно левым и правым юниторами , с компонентами а также .
Обратите внимание, что это хороший способ запомнить, как а также действие осуществляется аллитерацией; Лямбда ,, отменяет идентичность слева , а Ро ,, отменяет идентификацию справа .
Условиями согласованности этих естественных преобразований являются:
- для всех , , а также в , диаграмма пятиугольника
- для всех а также в , треугольная диаграмма
- ездит на работу.
Строгая моноидальная категория является один , для которых естественные изоморфизмы альфа , λ и ρ тождества. Каждая моноидальная категория моноидально эквивалентна строгой моноидальной категории.
Примеры
- Любая категория с конечными продуктами может рассматриваться как моноидальная с продуктом как моноидальным продуктом и конечным объектом как единицей. Такую категорию иногда называют декартовой моноидальной категорией . Например:
- Набор , категория наборов с декартовым произведением, любой конкретный одноэлементный набор, служащий единицей.
- Cat , категория малых категорий с категорией продукта , где категория с одним объектом и только его идентификационной картой является единицей.
- Соответственно, любая категория с конечными копроизведениями является моноидальной, причем копроизведение является моноидальным продуктом, а исходный объект - единицей. Такая моноидальная категория называется кокартовой моноидальной.
- R -Mod , категория модулей над коммутативным кольцом R , является моноидальной категорией, в которой тензорное произведение модулей ⊗ R служит моноидальным произведением, а кольцо R (рассматриваемое как модуль над самим собой) служит единицей. К частным случаям относятся:
- K -Vect , категория векторных пространств над полем K , с одномерным векторным пространством K, служащим единицей.
- Ab , категория абелевых групп с группой целых чисел Z, служащей единицей.
- Для любого коммутативного кольца R категория R -алгебр моноидальна с тензорным произведением алгебр в качестве произведения и R в качестве единицы.
- Категория заостренных пространств (ограничивается компактно порожденные пространствами , например) является моноидальной с разбивала продуктом , служащий в качестве продукта и заостренной 0-сферы (в двух точках дискретного пространства) , служащей в качестве блока.
- Категория всех эндофункторов в категории C является строгой моноидальной категорией с композицией функторов в качестве произведения и тождественного функтора в качестве единицы.
- Как и для любой категории E , полная подкатегория, охватываемая любым заданным объектом, является моноидом, это случай, когда для любой 2-категории E и любого объекта C в Ob ( E ) полная 2-подкатегория E, охватываемая { C } - моноидальная категория. В случае E = Cat мы получаем пример с эндофункторами выше.
- Ограниченные сверху пересекающиеся полурешетки являются строгими симметричными моноидальными категориями : произведение - пересечение, а единица - верхний элемент.
- Любой обычный моноид это небольшая моноидальная категория с набором объектов , только тождества для морфизмов , как тензорное произведение и как объект идентичности. И наоборот, множество классов изоморфизма (если это имеет смысл) моноидальной категории является моноидом относительно тензорного произведения.
Моноидальные предзаказы
Моноидальные предзаказы, также известные как «предупорядоченные моноиды», являются частными случаями моноидальных категорий. Подобная структура встречается в теории систем перезаписи струн , но ее также много и в чистой математике. Например, набориз натуральных чисел имеет как структуру моноидной (используя + и 0) и структуру предпорядка (используя ≤), которые вместе образуют моноидалъный предпорядок, в основном потому , что а также подразумевает . Приведем теперь общий случай.
Хорошо известно, что предварительный заказ можно рассматривать как категорию C , так что для каждых двух объектов, существует не более одного морфизмав C . Если случится морфизм от c до c ' , мы могли бы написать, но в текущем разделе нам удобнее выразить этот факт в виде стрелки . Поскольку существует не более одного такого морфизма, нам никогда не нужно давать ему имя, например. В рефлексивность и транзитивность свойства заказа, соответственно объясняется тождественного морфизма и формулы композиции в C . Мы пишем если только а также , То есть , если они изоморфны в C . Обратите внимание, что в частичном порядке любые два изоморфных объекта фактически равны.
Двигаясь вперед, мы хотим , чтобы добавить моноидалъную структуру в предзаказа С . Для этого мы должны выбрать
- объект , называемый моноидальной единицей , и
- функтор , который мы будем обозначать просто точкой "", называемое моноидальным умножением .
Таким образом, для любых двух объектов у нас есть объект . Мы должны выбрать а также быть ассоциативным и унитальным с точностью до изоморфизма. Это означает, что мы должны иметь:
- а также .
Более того, тот факт, что · требуется, чтобы быть функтором, означает - в данном случае, когда C - предпорядок - не более чем следующее:
- если а также тогда .
Дополнительные условия когерентности для моноидальных категорий в этом случае бессмысленны, потому что каждая диаграмма коммутирует в предпорядке.
Обратите внимание, что если C является частичным порядком, приведенное выше описание упрощается еще больше, потому что изоморфизмы ассоциативности и унитальности становятся равенствами. Другое упрощение происходит, если мы предполагаем, что набор объектов является свободным моноидом на образующей множестве. В этом случае мы могли бы написать, где * обозначает звезду Клини, а моноидальная единица I обозначает пустую строку. Если мы начнем с набора порождающих морфизмов R (фактов о ≤), мы восстановим обычное понятие полусистемы Туэ , где R называется «правилом переписывания».
Чтобы вернуться к нашему примеру, пусть N будет категорией, объектами которой являются натуральные числа 0, 1, 2, ... с одним морфизмом если в обычном порядке (и без морфизмов от i до j в противном случае) и моноидальная структура с моноидальной единицей, заданной 0, и моноидальным умножением, заданным обычным сложением,. Тогда N - моноидальный предпорядок; фактически это тот, который свободно порождается одним объектом 1 и одним морфизмом 0 ≤ 1, где снова 0 - моноидальная единица.
Свойства и связанные с ними понятия
Из трех определяющих условий когерентности следует, что большой класс диаграмм (т. Е. Диаграмм, морфизмы которых построены с использованием, , , тождества и тензорное произведение) коммутируют: это « теорема когерентности » Мак Лейна . Иногда неточно утверждают, что все такие диаграммы коммутируют.
Существует общее понятие моноидного объекта в моноидальной категории, которое обобщает обычное понятие моноида из абстрактной алгебры . Обычные моноиды - это в точности моноидные объекты в декартовой моноидальной категории Set . Кроме того, любая строго моноидальная категория может рассматриваться как моноидный объект в категории категорий Cat (с моноидальной структурой, индуцированной декартовым произведением).
Моноидальные функторы - это функторы между моноидальными категориями, которые сохраняют тензорное произведение, а моноидальные естественные преобразования - это естественные преобразования между теми функторами, которые «совместимы» с тензорным произведением.
Каждую моноидальную категорию можно рассматривать как категорию B (∗, ∗) бикатегории B только с одним объектом, обозначаемым ∗.
Категория С обогащен в моноидальной категории М заменяет понятие множества морфизмов между парами объектов в C с понятием М -объекта морфизмов между каждыми двумя объектами в C .
Бесплатная строгая моноидальная категория
Для каждой категории С , то свободная строгая моноидальная категория Σ ( C ) может быть построена следующим образом :
- его объектами являются списки (конечные последовательности) A 1 , ..., A n объектов C ;
- есть стрелки между двумя объектами A 1 , ..., A m и B 1 , ..., B n, только если m = n , и тогда стрелки представляют собой списки (конечные последовательности) стрелок f 1 : A 1 → B 1 , ..., f n : A n → B n в C ;
- тензорное произведение двух объектов A 1 , ..., A n и B 1 , ..., B m является конкатенацией A 1 , ..., A n , B 1 , ..., B m двух списки, и, аналогично, тензорное произведение двух морфизмов задается конкатенацией списков. Объект идентификации - это пустой список.
Эта операция Σ, отображающая категорию C в Σ ( C ), может быть расширена до строгой 2- монады на Cat .
Специализации
- Если в моноидальной категории а также естественно изоморфны до некоторой степени, совместимой с условиями когерентности, мы говорим о сплетенной моноидальной категории . Если, кроме того, этот естественный изоморфизм является обратным самому себе, мы имеем симметричную моноидальную категорию .
- Закрытая моноидальная категория является моноидальной категорией , где функторимеет правый сопряженный элемент , который называется «внутренним Hom-функтором». Примеры включают декартовы замкнутые категории, такие как Set , категория множеств, и компактные замкнутые категории, такие как FdVect , категория конечномерных векторных пространств.
- Автономные категории (или компактные замкнутые категории или жесткие категории ) - это моноидальные категории, в которых существуют двойственные с хорошими свойствами; они абстрагируют идею FdVect .
- Симметричные моноидальные категории кинжала , оснащенные дополнительным функтором кинжала, абстрагирующие идею FdHilb , конечномерных гильбертовых пространств. К ним относятся категории компактных кинжалов .
- Категории Таннаки - это моноидальные категории, обогащенные над полем, которые очень похожи на категории представлений линейных алгебраических групп.
Смотрите также
- Скелет (теория категорий)
- Сферическая категория
- Моноидальное действие категории
Рекомендации
- ^ Баэз, Джон ; Останься, Майк (2011). «Физика, топология, логика и вычисления: Розеттский камень». В Коке, Боб (ред.). Новые структуры для физики . Конспект лекций по физике. 813 . Спрингер, Берлин. С. 95–172. arXiv : 0903.0340 . ISBN 9783642128219. ISSN 0075-8450 .
- Хоял, Андре ; Улица, Росс (1993). «Плетеные тензорные категории». Успехи в математике 102 , 20–78.
- Хоял, Андре ; Улица, Росс (1988). « Планарные диаграммы и тензорная алгебра ».
- Келли, Г. Макс (1964). «Об условиях Маклейна для когерентности естественных ассоциативностей, коммутаций и т. Д.» Журнал алгебры 1 , 397–402.
- Келли, Г. Макс (1982). Основные понятия теории обогащенных категорий (PDF) . Серия лекций Лондонского математического общества № 64. Издательство Кембриджского университета.
- Мак-Лейн, Сондерс (1963). «Естественная ассоциативность и коммутативность». Исследования Университета Райса 49 , 28–46.
- Мак-Лейн, Сондерс (1998), Категории для рабочего математика (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag.
- Моноидальная категория в nLab