В абстрактной алгебре , то основная теорема о гомоморфизмах , также известная как теорема фундаментального гомоморфизма , связывает структуру двух объектов , между которыми гомоморфизмом даются, а из ядра и образом гомоморфизма.
Теорема о гомоморфизме используется для доказательства теорем об изоморфизме .
Теоретико-групповая версия
Для двух групп G и H и группового гомоморфизма f : G → H пусть K - нормальная подгруппа в G, а φ - естественный сюръективный гомоморфизм G → G / K (где G / K - фактор-группа ). Если K - подмножество ker ( f ), то существует единственный гомоморфизм h : G / K → H такой, что f = h φ.
Другими словами, естественная проекция φ универсальна среди гомоморфизмов на G , отображающих K в единичный элемент.
Ситуация описывается следующей коммутативной диаграммой :
Полагая K = ker ( f ), мы сразу получаем первую теорему об изоморфизме .
Мы можем записать утверждение основной теоремы о гомоморфизмах групп в следующем виде: «Каждый гомоморфный образ группы изоморфен фактор-группе».
Другие версии
Подобные теоремы верны для моноидов , векторных пространств , модулей и колец .
Смотрите также
Рекомендации
- Бичи, Джон А. (1999), «Теорема 1.2.7 (Теорема о фундаментальном гомоморфизме)», Вводные лекции по кольцам и модулям , Тексты студентов Лондонского математического общества, 47 , Cambridge University Press, с. 27, ISBN 9780521644075.
- Гроув, Ларри К. (2012), «Теорема 1.11 (Теорема о фундаментальном гомоморфизме)», Алгебра , Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, стр. 11, ISBN 9780486142135.
- Джейкобсон, Натан (2012), "Основная теорема о гомоморфизмах Ω-алгебр", Базовая алгебра II , Dover Books on Mathematics (2-е изд.), Courier Corporation, стр. 62, ISBN 9780486135212.
- Роуз, Джон С. (1994), «3.24 Фундаментальная теорема о гомоморфизмах», курс теории групп [перепечатка оригинала 1978 года] , Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, стр. 44–45, ISBN 0-486-68194-7, MR 1298629.